Statisticsसांख्यिकीStatistics (Sankhyiki)
Class 10 Maths · Chapter 13 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 13 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 13 · UP Board
Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.
📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine
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🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
Statistics gives sure marks: one 4-mark question on mean, median or mode of grouped data, plus a few MCQs. Learn the three formulas and make a neat table with columns. The empirical formula 3 Median = Mode + 2 Mean solves many MCQs in one line.सांख्यिकी पक्के अंक देती है: वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य, माध्यक या बहुलक पर 4 अंक का एक प्रश्न, साथ में कुछ MCQ। तीनों सूत्र याद कीजिए और स्तम्भों वाली साफ़ सारणी बनाइए। आनुभविक सूत्र 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य कई MCQ एक पंक्ति में हल कर देता है।Statistics pakke marks deti hai: grouped data ke mean, median ya mode par 4 marks ka ek sawaal, saath mein kuch MCQ. Teeno formulas yaad kijiye aur columns wali saaf table banaiye. Empirical formula 3 Median = Mode + 2 Mean kai MCQ ek line mein solve kar deta hai.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn the three formulas: mean (step deviation), median and mode.
- Practise one table fully: find mean, median and mode of the same data.
- Learn 3 Median = Mode + 2 Mean for MCQs.
- Modal class = class with the highest frequency; median class = first class with cf ≥ n/2.
- तीनों सूत्र याद कीजिए: माध्य (पद-विचलन), माध्यक और बहुलक।
- एक सारणी पूरी हल कीजिए: उसी आँकड़े का माध्य, माध्यक और बहुलक।
- MCQ के लिए 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य याद कीजिए।
- बहुलक वर्ग = सबसे अधिक बारम्बारता वाला वर्ग; माध्यक वर्ग = पहला वर्ग जिसकी cf ≥ n/2।
- Teeno formulas yaad kijiye: mean (step deviation), median aur mode.
- Ek table poori solve kijiye: usi data ka mean, median aur mode.
- MCQ ke liye 3 Median = Mode + 2 Mean yaad kijiye.
- Modal class = sabse zyada frequency wali class; median class = pehli class jiski cf ≥ n/2.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Mean 20.5, median 21 ⇒ mode 22; mean 27, median 29 ⇒ mode 33.
- Assumed-mean and step-deviation methods are short forms of the direct method.
- Modal class = class with the highest frequency.
- Median of the first 10 natural numbers = 5.5; mean of 1 to 9 = 5.
- Standard deviation is not a measure of central tendency.
- Mean of 12 persons is 45.6 kg ⇒ total = 547.2 kg.
- 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।
- माध्य 20.5, माध्यक 21 ⇒ बहुलक 22; माध्य 27, माध्यक 29 ⇒ बहुलक 33।
- कल्पित माध्य और पद-विचलन विधियाँ प्रत्यक्ष विधि के छोटे रूप हैं।
- बहुलक वर्ग = सबसे अधिक बारम्बारता वाला वर्ग।
- पहली 10 प्राकृत संख्याओं का माध्यक = 5.5; 1 से 9 का माध्य = 5।
- मानक विचलन केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है।
- 12 व्यक्तियों का माध्य 45.6 किग्रा ⇒ योग = 547.2 किग्रा।
- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Mean 20.5, median 21 ⇒ mode 22; mean 27, median 29 ⇒ mode 33.
- Assumed mean aur step deviation, direct method ke chhote roop hain.
- Modal class = sabse zyada frequency wali class.
- Pehli 10 natural numbers ka median = 5.5; 1 se 9 ka mean = 5.
- Standard deviation central tendency ka measure nahi hai.
- 12 logon ka mean 45.6 kg ⇒ total = 547.2 kg.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Median of grouped dataवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यकGrouped data ka median
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h.
- l = lower limit of the median class; n = total frequency; cf = cumulative frequency of the class BEFORE the median class; f = frequency of the median class; h = class width.
- Method: (1) Make a cumulative frequency (cf) column. (2) Find n/2. (3) The median class is the first class whose cf is equal to or more than n/2. (4) Put the values in the formula.
- If classes are not continuous (like 10–19, 20–29), make them continuous first (9.5–19.5, 19.5–29.5).
- Missing frequency with median given: write Σf = n to get one equation and the median formula to get the second, then solve.
- Median of ungrouped data: arrange in order; n odd ⇒ middle value; n even ⇒ average of the two middle values. Median of the first 10 natural numbers = 5.5.
- माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f] × h।
- l = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा; n = कुल बारम्बारता; cf = माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता; f = माध्यक वर्ग की बारम्बारता; h = वर्ग माप।
- विधि: (1) संचयी बारम्बारता (cf) का स्तम्भ बनाइए। (2) n/2 निकालिए। (3) माध्यक वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी cf, n/2 के बराबर या अधिक हो। (4) सूत्र में मान रखिए।
- यदि वर्ग सतत न हों (जैसे 10–19, 20–29), तो पहले उन्हें सतत बनाइए (9.5–19.5, 19.5–29.5)।
- माध्यक दिया हो और बारम्बारता छूटी हो: Σf = n से एक समीकरण और माध्यक सूत्र से दूसरा समीकरण लिखकर हल कीजिए।
- अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक: क्रम में रखिए; n विषम ⇒ बीच का मान; n सम ⇒ बीच के दो मानों का औसत। पहली 10 प्राकृत संख्याओं का माध्यक = 5.5।
- Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h.
- l = median class ki lower limit; n = total frequency; cf = median class se PEHLE wali class ki cumulative frequency; f = median class ki frequency; h = class width.
- Method: (1) Cumulative frequency (cf) ka column banaiye. (2) n/2 nikaliye. (3) Median class woh pehli class hai jiski cf, n/2 ke barabar ya zyada ho. (4) Formula mein values rakhiye.
- Agar classes continuous na hon (jaise 10–19, 20–29), to pehle unhe continuous banaiye (9.5–19.5, 19.5–29.5).
- Median diya ho aur frequency missing ho: Σf = n se ek equation aur median formula se doosri equation likh kar solve kijiye.
- Ungrouped data ka median: order mein rakhiye; n odd ⇒ beech ki value; n even ⇒ beech ki do values ka average. Pehli 10 natural numbers ka median = 5.5.
Find the median of the following data. Table: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60).निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए। सारणी: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60)।Neeche diye data ka median nikaliye. Table: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60).
- Cumulative frequencies: 0–10: 6, 10–20: 15, 20–30: 33, 30–40: 47, 40–50: 55, 50–60: 60.
- n = 60, so n/2 = 30. The first cf ≥ 30 is 33, so the median class is 20–30.
- l = 20, cf = 15 (class before), f = 18, h = 10.
- Median = 20 + [(30 − 15)/18] × 10 = 20 + 150/18 = 20 + 8.33 = 28.33.
- Answer: median ≈ 28.33.
- संचयी बारम्बारताएँ: 0–10: 6, 10–20: 15, 20–30: 33, 30–40: 47, 40–50: 55, 50–60: 60।
- n = 60, अतः n/2 = 30। पहली cf ≥ 30 है 33, अतः माध्यक वर्ग 20–30 है।
- l = 20, cf = 15 (पहले वाला वर्ग), f = 18, h = 10।
- माध्यक = 20 + [(30 − 15)/18] × 10 = 20 + 150/18 = 20 + 8.33 = 28.33।
- उत्तर: माध्यक ≈ 28.33।
- Cumulative frequencies: 0–10: 6, 10–20: 15, 20–30: 33, 30–40: 47, 40–50: 55, 50–60: 60.
- n = 60, isliye n/2 = 30. Pehli cf ≥ 30 hai 33, isliye median class 20–30 hai.
- l = 20, cf = 15 (pehle wali class), f = 18, h = 10.
- Median = 20 + [(30 − 15)/18] × 10 = 20 + 150/18 = 20 + 8.33 = 28.33.
- Answer: median ≈ 28.33.
💡 Take cf of the class BEFORE the median class, not of the median class itself. This is the most common mistake.माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की cf लीजिए, माध्यक वर्ग की नहीं। यही सबसे आम गलती है।Median class se PEHLE wali class ki cf lijiye, median class ki nahi. Yahi sabse aam galti hai.
Mean of grouped data (direct, assumed mean, step deviation)वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य, पद-विचलन)Grouped data ka mean (direct, assumed mean, step deviation)
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Class mark x = (lower limit + upper limit)/2.
- Direct method: x̄ = Σfx/Σf.
- Assumed mean method: d = x − a, x̄ = a + Σfd/Σf (a = a middle class mark).
- Step-deviation method: u = (x − a)/h, x̄ = a + (Σfu/Σf) × h. Best when numbers are big.
- All three methods give the same answer. The assumed-mean and step-deviation methods are short forms of the direct method.
- Table columns to draw: Class | f | x | u | fu. Write the totals Σf and Σfu at the bottom.
- Mean of ungrouped data = sum ÷ number. Mean of 1 to 9 = 5; mean 45.6 kg of 12 persons ⇒ total weight = 547.2 kg.
- वर्ग चिह्न x = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2।
- प्रत्यक्ष विधि: x̄ = Σfx/Σf।
- कल्पित माध्य विधि: d = x − a, x̄ = a + Σfd/Σf (a = बीच का कोई वर्ग चिह्न)।
- पद-विचलन विधि: u = (x − a)/h, x̄ = a + (Σfu/Σf) × h। बड़ी संख्याओं में सबसे अच्छी।
- तीनों विधियाँ एक ही उत्तर देती हैं। कल्पित माध्य और पद-विचलन विधियाँ प्रत्यक्ष विधि के छोटे रूप हैं।
- सारणी के स्तम्भ: वर्ग | f | x | u | fu। नीचे योग Σf और Σfu लिखिए।
- अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्य = योग ÷ संख्या। 1 से 9 का माध्य = 5; 12 व्यक्तियों का माध्य भार 45.6 किग्रा ⇒ कुल भार = 547.2 किग्रा।
- Class mark x = (lower limit + upper limit)/2.
- Direct method: x̄ = Σfx/Σf.
- Assumed mean method: d = x − a, x̄ = a + Σfd/Σf (a = beech ka koi class mark).
- Step-deviation method: u = (x − a)/h, x̄ = a + (Σfu/Σf) × h. Bade numbers mein sabse achha.
- Teeno methods ek hi answer dete hain. Assumed mean aur step deviation, direct method ke chhote roop hain.
- Table ke columns: Class | f | x | u | fu. Neeche total Σf aur Σfu likhiye.
- Ungrouped data ka mean = jod ÷ sankhya. 1 se 9 ka mean = 5; 12 logon ka mean weight 45.6 kg ⇒ total weight = 547.2 kg.
The daily wages (₹) of 50 workers are: 100–120: 12, 120–140: 14, 140–160: 8, 160–180: 6, 180–200: 10. Find the mean daily wage by the step-deviation method.50 मज़दूरों की दैनिक मज़दूरी (₹): 100–120: 12, 120–140: 14, 140–160: 8, 160–180: 6, 180–200: 10। पद-विचलन विधि से माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।50 mazdooron ki daily wages (₹): 100–120: 12, 120–140: 14, 140–160: 8, 160–180: 6, 180–200: 10. Step-deviation method se mean daily wage nikaliye.
- Class marks x: 110, 130, 150, 170, 190. Take a = 150, h = 20, u = (x − 150)/20.
- u: −2, −1, 0, 1, 2.
- fu: 12 × (−2) = −24; 14 × (−1) = −14; 8 × 0 = 0; 6 × 1 = 6; 10 × 2 = 20.
- Σf = 50, Σfu = −24 − 14 + 0 + 6 + 20 = −12.
- x̄ = a + (Σfu/Σf) × h = 150 + (−12/50) × 20 = 150 − 4.8 = 145.2.
- Answer: mean daily wage = ₹145.20.
- वर्ग चिह्न x: 110, 130, 150, 170, 190। a = 150, h = 20, u = (x − 150)/20 लीजिए।
- u: −2, −1, 0, 1, 2।
- fu: 12 × (−2) = −24; 14 × (−1) = −14; 8 × 0 = 0; 6 × 1 = 6; 10 × 2 = 20।
- Σf = 50, Σfu = −24 − 14 + 0 + 6 + 20 = −12।
- x̄ = a + (Σfu/Σf) × h = 150 + (−12/50) × 20 = 150 − 4.8 = 145.2।
- उत्तर: माध्य दैनिक मज़दूरी = ₹145.20।
- Class marks x: 110, 130, 150, 170, 190. a = 150, h = 20, u = (x − 150)/20 lijiye.
- u: −2, −1, 0, 1, 2.
- fu: 12 × (−2) = −24; 14 × (−1) = −14; 8 × 0 = 0; 6 × 1 = 6; 10 × 2 = 20.
- Σf = 50, Σfu = −24 − 14 + 0 + 6 + 20 = −12.
- x̄ = a + (Σfu/Σf) × h = 150 + (−12/50) × 20 = 150 − 4.8 = 145.2.
- Answer: mean daily wage = ₹145.20.
💡 Check Σf against the total given in the question. If it does not match, a frequency was copied wrongly.Σf को प्रश्न में दिए कुल से मिलाइए। मेल न खाए तो कोई बारम्बारता गलत उतरी है।Σf ko sawaal mein diye total se milaiye. Match na kare to koi frequency galat utri hai.
Mode of grouped dataवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलकGrouped data ka mode
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Modal class: the class with the highest frequency.
- Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h.
- l = lower limit of the modal class; f₁ = frequency of the modal class; f₀ = frequency of the class before it; f₂ = frequency of the class after it; h = class width.
- If the modal class is the first class, f₀ = 0. If it is the last class, f₂ = 0.
- Mode of ungrouped data: the value that occurs most often.
- MCQ: 'the modal class is …' → just pick the class with the largest frequency.
- बहुलक वर्ग: सबसे अधिक बारम्बारता वाला वर्ग।
- बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h।
- l = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा; f₁ = बहुलक वर्ग की बारम्बारता; f₀ = उससे पहले वाले वर्ग की बारम्बारता; f₂ = उसके बाद वाले वर्ग की बारम्बारता; h = वर्ग माप।
- बहुलक वर्ग पहला वर्ग हो तो f₀ = 0; अंतिम वर्ग हो तो f₂ = 0।
- अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक: सबसे अधिक बार आने वाला मान।
- MCQ: 'बहुलक वर्ग है …' → बस सबसे बड़ी बारम्बारता वाला वर्ग चुनिए।
- Modal class: sabse zyada frequency wali class.
- Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h.
- l = modal class ki lower limit; f₁ = modal class ki frequency; f₀ = usse pehle wali class ki frequency; f₂ = uske baad wali class ki frequency; h = class width.
- Modal class pehli class ho to f₀ = 0; aakhri class ho to f₂ = 0.
- Ungrouped data ka mode: sabse zyada baar aane wali value.
- MCQ: 'modal class hai …' → bas sabse badi frequency wali class chuniye.
Find the mode of the same data. Table: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60).इन्हीं आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। सारणी: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60)।Isi data ka mode nikaliye. Table: 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60).
- Highest frequency = 18, so the modal class is 20–30.
- l = 20, f₁ = 18, f₀ = 9, f₂ = 14, h = 10.
- Mode = 20 + [(18 − 9)/(36 − 9 − 14)] × 10 = 20 + (9/13) × 10.
- = 20 + 6.92 = 26.92.
- Answer: mode ≈ 26.92.
- सबसे अधिक बारम्बारता = 18, अतः बहुलक वर्ग 20–30 है।
- l = 20, f₁ = 18, f₀ = 9, f₂ = 14, h = 10।
- बहुलक = 20 + [(18 − 9)/(36 − 9 − 14)] × 10 = 20 + (9/13) × 10।
- = 20 + 6.92 = 26.92।
- उत्तर: बहुलक ≈ 26.92।
- Sabse zyada frequency = 18, isliye modal class 20–30 hai.
- l = 20, f₁ = 18, f₀ = 9, f₂ = 14, h = 10.
- Mode = 20 + [(18 − 9)/(36 − 9 − 14)] × 10 = 20 + (9/13) × 10.
- = 20 + 6.92 = 26.92.
- Answer: mode ≈ 26.92.
💡 Write f₀, f₁, f₂ with their values before the formula. A wrong f₀ or f₂ is the usual reason marks are lost.सूत्र से पहले f₀, f₁, f₂ उनके मानों के साथ लिखिए। गलत f₀ या f₂ ही अंक कटने का आम कारण है।Formula se pehle f₀, f₁, f₂ unki values ke saath likhiye. Galat f₀ ya f₂ hi marks katne ka aam kaaran hai.
Empirical relation: 3 Median = Mode + 2 Meanआनुभविक सम्बन्ध: 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्यEmpirical relation: 3 Median = Mode + 2 Mean
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Mode = 3 Median − 2 Mean.
- Mean = (3 Median − Mode)/2.
- Median = (Mode + 2 Mean)/3.
- Mean 20.5, median 21 ⇒ mode = 63 − 41 = 22.
- Mean 27, median 29 ⇒ mode = 87 − 54 = 33. Mean 30, median 35 ⇒ mode = 45.
- Mode 42, median 38.1 ⇒ mean = (114.3 − 42)/2 = 36.15.
- 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।
- बहुलक = 3 माध्यक − 2 माध्य।
- माध्य = (3 माध्यक − बहुलक)/2।
- माध्यक = (बहुलक + 2 माध्य)/3।
- माध्य 20.5, माध्यक 21 ⇒ बहुलक = 63 − 41 = 22।
- माध्य 27, माध्यक 29 ⇒ बहुलक = 87 − 54 = 33। माध्य 30, माध्यक 35 ⇒ बहुलक = 45।
- बहुलक 42, माध्यक 38.1 ⇒ माध्य = (114.3 − 42)/2 = 36.15।
- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Mode = 3 Median − 2 Mean.
- Mean = (3 Median − Mode)/2.
- Median = (Mode + 2 Mean)/3.
- Mean 20.5, median 21 ⇒ mode = 63 − 41 = 22.
- Mean 27, median 29 ⇒ mode = 87 − 54 = 33. Mean 30, median 35 ⇒ mode = 45.
- Mode 42, median 38.1 ⇒ mean = (114.3 − 42)/2 = 36.15.
Find the missing frequency when the mean is givenमाध्य दिया हो तो छूटी बारम्बारता ज्ञात करनाMean diya ho to missing frequency nikalna
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Method: make the table with x and fx, keeping the unknown (f or p) in it.
- Write Σf and Σfx in terms of the unknown.
- Put them in x̄ = Σfx/Σf with the given mean and solve the linear equation.
- Check: put the value back and see that the mean comes out right.
- विधि: x और fx के साथ सारणी बनाइए, अज्ञात (f या p) को उसमें रखिए।
- Σf और Σfx को अज्ञात के रूप में लिखिए।
- दिए गए माध्य के साथ x̄ = Σfx/Σf में रखकर रैखिक समीकरण हल कीजिए।
- जाँच: मान वापस रखकर देखिए कि माध्य सही आता है।
- Method: x aur fx ke saath table banaiye, anjaan (f ya p) ko usmein rakhiye.
- Σf aur Σfx ko anjaan ke roop mein likhiye.
- Diye gaye mean ke saath x̄ = Σfx/Σf mein rakh kar linear equation solve kijiye.
- Check: value wapas rakh kar dekhiye ki mean sahi aata hai.
The mean of the following data is 25. Find the missing frequency x. 0–10: 5, 10–20: x, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4.निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य 25 है। छूटी बारम्बारता x ज्ञात कीजिए। 0–10: 5, 10–20: x, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4।Neeche diye data ka mean 25 hai. Missing frequency x nikaliye. 0–10: 5, 10–20: x, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4.
- Class marks: 5, 15, 25, 35, 45.
- fx: 25, 15x, 250, 210, 180.
- Σf = 25 + x; Σfx = 665 + 15x.
- Mean = Σfx/Σf ⇒ 25 = (665 + 15x)/(25 + x).
- 625 + 25x = 665 + 15x ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4.
- Check: Σf = 29, Σfx = 725, 725/29 = 25. ✓
- वर्ग चिह्न: 5, 15, 25, 35, 45।
- fx: 25, 15x, 250, 210, 180।
- Σf = 25 + x; Σfx = 665 + 15x।
- माध्य = Σfx/Σf ⇒ 25 = (665 + 15x)/(25 + x)।
- 625 + 25x = 665 + 15x ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4।
- जाँच: Σf = 29, Σfx = 725, 725/29 = 25। ✓
- Class marks: 5, 15, 25, 35, 45.
- fx: 25, 15x, 250, 210, 180.
- Σf = 25 + x; Σfx = 665 + 15x.
- Mean = Σfx/Σf ⇒ 25 = (665 + 15x)/(25 + x).
- 625 + 25x = 665 + 15x ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4.
- Check: Σf = 29, Σfx = 725, 725/29 = 25. ✓
Basics: class mark, cumulative frequency, measures of central tendencyमूल बातें: वर्ग चिह्न, संचयी बारम्बारता, केन्द्रीय प्रवृत्ति के मापBasics: class mark, cumulative frequency, central tendency ke measures
Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal- Mean, median and mode are measures of central tendency. Frequency and standard deviation are not.
- Class mark = (lower limit + upper limit)/2; class width h = upper limit − lower limit.
- Cumulative frequency of a class = its frequency + the frequencies of all classes before it.
- Mean of 3, 4, 6, x is 5 ⇒ 13 + x = 20 ⇒ x = 7.
- Mean of the first n natural numbers = (n + 1)/2.
- माध्य, माध्यक और बहुलक केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप हैं। बारम्बारता और मानक विचलन नहीं।
- वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा)/2; वर्ग माप h = उच्च सीमा − निम्न सीमा।
- किसी वर्ग की संचयी बारम्बारता = उसकी बारम्बारता + उससे पहले के सभी वर्गों की बारम्बारताएँ।
- 3, 4, 6, x का माध्य 5 ⇒ 13 + x = 20 ⇒ x = 7।
- पहली n प्राकृत संख्याओं का माध्य = (n + 1)/2।
- Mean, median aur mode central tendency ke measures hain. Frequency aur standard deviation nahi.
- Class mark = (lower limit + upper limit)/2; class width h = upper limit − lower limit.
- Kisi class ki cumulative frequency = uski frequency + usse pehle ki saari classes ki frequencies.
- 3, 4, 6, x ka mean 5 ⇒ 13 + x = 20 ⇒ x = 7.
- Pehli n natural numbers ka mean = (n + 1)/2.
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
The median of the following distribution is 26 and the total frequency is 50. Find x and y. 0–10: 4, 10–20: x, 20–30: 15, 30–40: 12, 40–50: y, 50–60: 3.निम्नलिखित बंटन का माध्यक 26 है और कुल बारम्बारता 50 है। x और y ज्ञात कीजिए। 0–10: 4, 10–20: x, 20–30: 15, 30–40: 12, 40–50: y, 50–60: 3।Neeche diye distribution ka median 26 hai aur total frequency 50 hai. x aur y nikaliye. 0–10: 4, 10–20: x, 20–30: 15, 30–40: 12, 40–50: y, 50–60: 3.
- Σf = 34 + x + y = 50 ⇒ x + y = 16 …(1)
- Median 26 lies in 20–30, so l = 20, f = 15, cf (before) = 4 + x, h = 10, n/2 = 25.
- 26 = 20 + [(25 − 4 − x)/15] × 10 ⇒ 6 = (21 − x) × 2/3 ⇒ 21 − x = 9 ⇒ x = 12.
- From (1): y = 4.
- Check: cf before 20–30 = 16 and cf up to 20–30 = 31, so 25 lies in 20–30. ✓
- Σf = 34 + x + y = 50 ⇒ x + y = 16 …(1)
- माध्यक 26, वर्ग 20–30 में है, अतः l = 20, f = 15, cf (पहले) = 4 + x, h = 10, n/2 = 25।
- 26 = 20 + [(25 − 4 − x)/15] × 10 ⇒ 6 = (21 − x) × 2/3 ⇒ 21 − x = 9 ⇒ x = 12।
- (1) से: y = 4।
- जाँच: 20–30 से पहले cf = 16 और 20–30 तक cf = 31, अतः 25 वर्ग 20–30 में है। ✓
- Σf = 34 + x + y = 50 ⇒ x + y = 16 …(1)
- Median 26, class 20–30 mein hai, isliye l = 20, f = 15, cf (pehle) = 4 + x, h = 10, n/2 = 25.
- 26 = 20 + [(25 − 4 − x)/15] × 10 ⇒ 6 = (21 − x) × 2/3 ⇒ 21 − x = 9 ⇒ x = 12.
- (1) se: y = 4.
- Check: 20–30 se pehle cf = 16 aur 20–30 tak cf = 31, isliye 25 class 20–30 mein hai. ✓
For the data 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60), find the mean and check the empirical relation with the median (28.33) and the mode (26.92).आँकड़ों 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60) का माध्य ज्ञात कीजिए और माध्यक (28.33) व बहुलक (26.92) के साथ आनुभविक सम्बन्ध जाँचिए।Data 0–10: 6, 10–20: 9, 20–30: 18, 30–40: 14, 40–50: 8, 50–60: 5 (n = 60) ka mean nikaliye aur median (28.33) va mode (26.92) ke saath empirical relation check kijiye.
- Class marks: 5, 15, 25, 35, 45, 55. fx: 30, 135, 450, 490, 360, 275.
- Σfx = 1740, Σf = 60, mean = 1740/60 = 29.
- Empirical relation: mode ≈ 3 × 28.33 − 2 × 29 = 85 − 58 = 27.
- The calculated mode is 26.92, very close to 27. The relation is approximate, so a small difference is normal.
- वर्ग चिह्न: 5, 15, 25, 35, 45, 55। fx: 30, 135, 450, 490, 360, 275।
- Σfx = 1740, Σf = 60, माध्य = 1740/60 = 29।
- आनुभविक सम्बन्ध: बहुलक ≈ 3 × 28.33 − 2 × 29 = 85 − 58 = 27।
- निकाला गया बहुलक 26.92 है, 27 के बहुत पास। सम्बन्ध लगभग वाला है, अतः थोड़ा अन्तर सामान्य है।
- Class marks: 5, 15, 25, 35, 45, 55. fx: 30, 135, 450, 490, 360, 275.
- Σfx = 1740, Σf = 60, mean = 1740/60 = 29.
- Empirical relation: mode ≈ 3 × 28.33 − 2 × 29 = 85 − 58 = 27.
- Nikala gaya mode 26.92 hai, 27 ke bahut paas. Relation approximate hai, isliye thoda antar normal hai.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Taking cf of the median class itself instead of the class before it.
- Using the class with the highest cf as the modal class → modal class has the highest f, not cf.
- Wrong f₀/f₂ (taking the wrong neighbouring classes).
- Forgetting to multiply by h in the step-deviation method.
- Using non-continuous classes (10–19, 20–29) directly in the median/mode formula → make them continuous first.
- Sign mistakes in u (values below a are negative).
- माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की जगह माध्यक वर्ग की ही cf ले लेना।
- सबसे बड़ी cf वाले वर्ग को बहुलक वर्ग मानना → बहुलक वर्ग में सबसे बड़ी f होती है, cf नहीं।
- गलत f₀/f₂ (गलत पड़ोसी वर्ग लेना)।
- पद-विचलन विधि में h से गुणा करना भूल जाना।
- असतत वर्ग (10–19, 20–29) सीधे माध्यक/बहुलक सूत्र में लगाना → पहले उन्हें सतत बनाइए।
- u में चिह्न की गलती (a से छोटे मान ऋणात्मक)।
- Median class se pehle wali class ki jagah median class ki hi cf le lena.
- Sabse badi cf wali class ko modal class maanna → modal class mein sabse badi f hoti hai, cf nahi.
- Galat f₀/f₂ (galat padosi class lena).
- Step-deviation method mein h se multiply karna bhool jaana.
- Non-continuous classes (10–19, 20–29) seedhe median/mode formula mein lagana → pehle unhe continuous banaiye.
- u mein sign ki galti (a se chhoti values negative).
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- 'Less than' type tables (cumulative) must be changed back into ordinary frequencies before using the formulas.
- If class widths are unequal, use the actual width of the median/modal class as h.
- The mean is affected by very large or very small values; the median is not.
- 'से कम' प्रकार की (संचयी) सारणी को सूत्र लगाने से पहले साधारण बारम्बारताओं में बदलिए।
- वर्ग माप असमान हों तो माध्यक/बहुलक वर्ग का वास्तविक माप h लीजिए।
- माध्य बहुत बड़े या बहुत छोटे मानों से प्रभावित होता है; माध्यक नहीं।
- 'Less than' type (cumulative) table ko formula lagane se pehle normal frequencies mein badliye.
- Class widths alag-alag hon to median/modal class ki asli width h lijiye.
- Mean bahut badi ya bahut chhoti values se prabhavit hota hai; median nahi.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Class mark = (lower + upper)/2.
- x̄ = Σfx/Σf.
- x̄ = a + Σfd/Σf.
- x̄ = a + (Σfu/Σf)h.
- Median = l + [(n/2 − cf)/f]h.
- Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]h.
- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Median class: first cf ≥ n/2.
- Modal class: highest f.
- Mean of first n natural numbers = (n + 1)/2.
- वर्ग चिह्न = (निम्न + उच्च)/2।
- x̄ = Σfx/Σf।
- x̄ = a + Σfd/Σf।
- x̄ = a + (Σfu/Σf)h।
- माध्यक = l + [(n/2 − cf)/f]h।
- बहुलक = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]h।
- 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।
- माध्यक वर्ग: पहली cf ≥ n/2।
- बहुलक वर्ग: सबसे बड़ी f।
- पहली n प्राकृत संख्याओं का माध्य = (n + 1)/2।
- Class mark = (lower + upper)/2.
- x̄ = Σfx/Σf.
- x̄ = a + Σfd/Σf.
- x̄ = a + (Σfu/Σf)h.
- Median = l + [(n/2 − cf)/f]h.
- Mode = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)]h.
- 3 Median = Mode + 2 Mean.
- Median class: pehli cf ≥ n/2.
- Modal class: sabse badi f.
- Pehli n natural numbers ka mean = (n + 1)/2.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Cumulative frequency graphs (ogives) and finding the median from a graph — removed from the rationalised NCERT book. Skip.संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण) और वक्र से माध्यक निकालना — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटाया गया। छोड़ दीजिए।Cumulative frequency graphs (ogive) aur graph se median nikalna — rationalised NCERT book se hataya gaya. Chhod dijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.