PolynomialsबहुपदPolynomials (Bahupad)
Class 10 Maths · Chapter 2 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 2 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 2 · UP Board
Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.
📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine
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🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
This chapter is mostly about one idea: the link between the zeroes of a quadratic polynomial and its coefficients (α + β = −b/a, αβ = c/a). Learn it first; it gives MCQs and the 4-mark 'find the zeroes and verify the relation' question. Then learn how to read the number of zeroes from a graph.यह अध्याय मुख्यतः एक बात पर है: द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों का संबंध (α + β = −b/a, αβ = c/a)। इसे सबसे पहले सीखिए; इससे MCQ और 4 अंक का 'शून्यक ज्ञात कीजिए और संबंध की सत्यता जाँचिए' वाला प्रश्न बनता है। फिर आलेख से शून्यकों की संख्या पढ़ना सीखिए।Yeh chapter mainly ek baat par hai: quadratic polynomial ke zeroes aur coefficients ka relation (α + β = −b/a, αβ = c/a). Ise sabse pehle seekhiye; isse MCQ aur 4 marks ka 'zeroes nikaliye aur relation verify kijiye' wala sawaal banta hai. Phir graph se zeroes ki sankhya padhna seekhiye.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn α + β = −b/a and αβ = c/a by heart. Practise 5 MCQs with different signs.
- Practise one 'find zeroes by splitting the middle term and verify' question fully, with both checks written.
- Learn: number of zeroes = number of points where the graph meets the x-axis.
- Learn the 'p(k) = 0' trick to find an unknown when a zero is given.
- α + β = −b/a तथा αβ = c/a कंठस्थ कीजिए। अलग-अलग चिह्नों वाले 5 MCQ का अभ्यास कीजिए।
- 'मध्य पद विभक्त करके शून्यक निकालिए और सत्यापन कीजिए' वाला एक प्रश्न पूरा, दोनों जाँचों सहित, अभ्यास कीजिए।
- याद कीजिए: शून्यकों की संख्या = आलेख के x-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं की संख्या।
- शून्यक दिया हो तो अज्ञात निकालने की 'p(k) = 0' वाली विधि सीखिए।
- α + β = −b/a aur αβ = c/a ratt lijiye. Alag-alag signs wale 5 MCQ ki practice kijiye.
- 'Middle term split karke zeroes nikaliye aur verify kijiye' wala ek sawaal poora, dono checks ke saath, practice kijiye.
- Yaad kijiye: zeroes ki sankhya = graph ke x-axis se milne wale points ki sankhya.
- Zero diya ho to unknown nikalne ka 'p(k) = 0' wala tarika seekhiye.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- α + β = −b/a, αβ = c/a for ax² + bx + c.
- Zeroes reciprocal ⇒ c = a; zeroes equal in size, opposite in sign ⇒ b = 0.
- Quadratic: at most 2 zeroes; cubic: at most 3.
- Graph of a quadratic is a parabola; opens up if a > 0.
- Zero of ax + b is −b/a.
- Polynomial with zeroes α, β: x² − (α + β)x + αβ.
- Degree of a non-zero constant polynomial = 0.
- ax² + bx + c के लिए α + β = −b/a, αβ = c/a।
- शून्यक व्युत्क्रम ⇒ c = a; शून्यक बराबर परन्तु विपरीत चिह्न ⇒ b = 0।
- द्विघात: अधिकतम 2 शून्यक; त्रिघात: अधिकतम 3।
- द्विघात का आलेख परवलय; a > 0 पर ऊपर खुला।
- ax + b का शून्यक −b/a।
- शून्यक α, β वाला बहुपद: x² − (α + β)x + αβ।
- शून्येतर अचर बहुपद की घात = 0।
- ax² + bx + c ke liye α + β = −b/a, αβ = c/a.
- Zeroes reciprocal ⇒ c = a; zeroes barabar par ulte sign ⇒ b = 0.
- Quadratic: maximum 2 zeroes; cubic: maximum 3.
- Quadratic ka graph parabola; a > 0 par upar khula.
- ax + b ka zero −b/a.
- Zeroes α, β wala polynomial: x² − (α + β)x + αβ.
- Non-zero constant polynomial ki degree = 0.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Relation between zeroes and coefficientsशून्यकों और गुणांकों में संबंधZeroes aur coefficients ka relation
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- For ax² + bx + c (a ≠ 0) with zeroes α and β:
- Sum of zeroes α + β = −b/a = −(coefficient of x)/(coefficient of x²).
- Product of zeroes αβ = c/a = (constant term)/(coefficient of x²).
- Watch the sign: for x² − 5x + 6, sum = −(−5)/1 = 5 and product = 6.
- Zeroes are reciprocal of each other (α·(1/α) = 1) ⇒ c/a = 1 ⇒ c = a.
- One zero is the negative of the other (α + (−α) = 0) ⇒ b = 0.
- If k is a zero of p(x), then p(k) = 0. Put x = k and solve for the unknown.
- For a cubic ax³ + bx² + cx + d with zeroes α, β, γ: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a.
- ax² + bx + c (a ≠ 0) के शून्यक α और β हों तो:
- शून्यकों का योग α + β = −b/a = −(x का गुणांक)/(x² का गुणांक)।
- शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = (अचर पद)/(x² का गुणांक)।
- चिह्न का ध्यान रखिए: x² − 5x + 6 के लिए योग = −(−5)/1 = 5 और गुणनफल = 6।
- शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों (α·(1/α) = 1) ⇒ c/a = 1 ⇒ c = a।
- एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक हो (α + (−α) = 0) ⇒ b = 0।
- यदि k, p(x) का शून्यक है, तो p(k) = 0। x = k रखकर अज्ञात ज्ञात कीजिए।
- त्रिघात ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ हों तो: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a।
- ax² + bx + c (a ≠ 0) ke zeroes α aur β hon to:
- Zeroes ka sum α + β = −b/a = −(x ka coefficient)/(x² ka coefficient).
- Zeroes ka product αβ = c/a = (constant term)/(x² ka coefficient).
- Sign ka dhyan rakhiye: x² − 5x + 6 ke liye sum = −(−5)/1 = 5 aur product = 6.
- Zeroes ek-doosre ke reciprocal hon (α·(1/α) = 1) ⇒ c/a = 1 ⇒ c = a.
- Ek zero doosre ka negative ho (α + (−α) = 0) ⇒ b = 0.
- Agar k, p(x) ka zero hai, to p(k) = 0. x = k rakhkar unknown nikaliye.
- Cubic ax³ + bx² + cx + d ke zeroes α, β, γ hon to: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a.
MCQ: The sum and product of the zeroes of 3x² − 2x − 1 are: (A) 2/3, −1/3 (B) −2/3, 1/3 (C) 2/3, 1/3 (D) −2/3, −1/3MCQ: 3x² − 2x − 1 के शून्यकों का योग और गुणनफल हैं: (A) 2/3, −1/3 (B) −2/3, 1/3 (C) 2/3, 1/3 (D) −2/3, −1/3MCQ: 3x² − 2x − 1 ke zeroes ka sum aur product hain: (A) 2/3, −1/3 (B) −2/3, 1/3 (C) 2/3, 1/3 (D) −2/3, −1/3
- a = 3, b = −2, c = −1.
- Sum = −b/a = 2/3; product = c/a = −1/3.
- Answer: (A)
- a = 3, b = −2, c = −1।
- योग = −b/a = 2/3; गुणनफल = c/a = −1/3।
- उत्तर: (A)
- a = 3, b = −2, c = −1.
- Sum = −b/a = 2/3; product = c/a = −1/3.
- Answer: (A)
If 2 is a zero of x² + kx − 6, find k.यदि 2, x² + kx − 6 का एक शून्यक है, तो k ज्ञात कीजिए।Agar 2, x² + kx − 6 ka ek zero hai, to k nikaliye.
- p(2) = 0 ⇒ 2² + 2k − 6 = 0
- 4 + 2k − 6 = 0 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1.
- p(2) = 0 ⇒ 2² + 2k − 6 = 0
- 4 + 2k − 6 = 0 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1।
- p(2) = 0 ⇒ 2² + 2k − 6 = 0
- 4 + 2k − 6 = 0 ⇒ 2k = 2 ⇒ k = 1.
If the zeroes of 3x² + 8x + k are reciprocals of each other, find k.यदि 3x² + 8x + k के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, तो k ज्ञात कीजिए।Agar 3x² + 8x + k ke zeroes ek-doosre ke reciprocal hain, to k nikaliye.
- Let the zeroes be α and 1/α. Product = α × 1/α = 1.
- Product = c/a = k/3.
- k/3 = 1 ⇒ k = 3.
- माना शून्यक α और 1/α हैं। गुणनफल = α × 1/α = 1।
- गुणनफल = c/a = k/3।
- k/3 = 1 ⇒ k = 3।
- Maan lijiye zeroes α aur 1/α hain. Product = α × 1/α = 1.
- Product = c/a = k/3.
- k/3 = 1 ⇒ k = 3.
💡 Write the general formula (α + β = −b/a) first, then put the values. Most MCQ mistakes are a missed minus sign.पहले सामान्य सूत्र (α + β = −b/a) लिखिए, फिर मान रखिए। अधिकतर MCQ में गलती ऋण चिह्न छूटने से होती है।Pehle general formula (α + β = −b/a) likhiye, phir values rakhiye. Zyadatar MCQ mein galti minus sign chhootne se hoti hai.
Find the zeroes and verify the relation (4 marks)शून्यक ज्ञात कीजिए और संबंध की सत्यता जाँचिए (4 अंक)Zeroes nikaliye aur relation verify kijiye (4 marks)
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: split the middle term. Find two numbers whose product = a × c and sum = b.
- Step 2: factorise and put each factor = 0 to get the zeroes.
- Step 3: verify — sum of zeroes = −b/a and product of zeroes = c/a. Show both sides.
- If there is no x term (like 5t² − 20), take the common factor: 5(t² − 4) = 5(t − 2)(t + 2).
- If there is no constant term (like 4u² + 8u), take u common: 4u(u + 2), zeroes 0 and −2.
- चरण 1: मध्य पद को विभक्त कीजिए। ऐसी दो संख्याएँ खोजिए जिनका गुणनफल = a × c और योग = b हो।
- चरण 2: गुणनखंड कीजिए और प्रत्येक गुणनखंड = 0 रखकर शून्यक निकालिए।
- चरण 3: सत्यापन — शून्यकों का योग = −b/a और गुणनफल = c/a। दोनों पक्ष दिखाइए।
- यदि x वाला पद न हो (जैसे 5t² − 20), तो उभयनिष्ठ निकालिए: 5(t² − 4) = 5(t − 2)(t + 2)।
- यदि अचर पद न हो (जैसे 4u² + 8u), तो u उभयनिष्ठ लीजिए: 4u(u + 2), शून्यक 0 और −2।
- Step 1: middle term split kijiye. Aise do numbers dhoondhiye jinka product = a × c aur sum = b ho.
- Step 2: factorise kijiye aur har factor = 0 rakhkar zeroes nikaliye.
- Step 3: verify — zeroes ka sum = −b/a aur product = c/a. Dono side dikhaiye.
- Agar x wala term na ho (jaise 5t² − 20), to common nikaliye: 5(t² − 4) = 5(t − 2)(t + 2).
- Agar constant term na ho (jaise 4u² + 8u), to u common lijiye: 4u(u + 2), zeroes 0 aur −2.
Find the zeroes of 2x² − 5x − 3 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.2x² − 5x − 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।2x² − 5x − 3 ke zeroes nikaliye aur zeroes aur coefficients ke beech relation verify kijiye.
- a × c = 2 × (−3) = −6. Two numbers with product −6 and sum −5: −6 and 1.
- 2x² − 5x − 3 = 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + 1(x − 3) = (x − 3)(2x + 1).
- Zeroes: x − 3 = 0 ⇒ x = 3; 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2. So α = 3, β = −1/2.
- Sum: α + β = 3 − 1/2 = 5/2, and −b/a = −(−5)/2 = 5/2. ✓
- Product: αβ = 3 × (−1/2) = −3/2, and c/a = −3/2. ✓
- Hence the relationship is verified.
- a × c = 2 × (−3) = −6। गुणनफल −6 और योग −5 वाली संख्याएँ: −6 और 1।
- 2x² − 5x − 3 = 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + 1(x − 3) = (x − 3)(2x + 1)।
- शून्यक: x − 3 = 0 ⇒ x = 3; 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2। अतः α = 3, β = −1/2।
- योग: α + β = 3 − 1/2 = 5/2, तथा −b/a = −(−5)/2 = 5/2। ✓
- गुणनफल: αβ = 3 × (−1/2) = −3/2, तथा c/a = −3/2। ✓
- अतः संबंध सत्यापित हुआ।
- a × c = 2 × (−3) = −6. Product −6 aur sum −5 wale numbers: −6 aur 1.
- 2x² − 5x − 3 = 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + 1(x − 3) = (x − 3)(2x + 1).
- Zeroes: x − 3 = 0 ⇒ x = 3; 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2. To α = 3, β = −1/2.
- Sum: α + β = 3 − 1/2 = 5/2, aur −b/a = −(−5)/2 = 5/2. ✓
- Product: αβ = 3 × (−1/2) = −3/2, aur c/a = −3/2. ✓
- Isliye relation verify ho gaya.
Find the zeroes of x² + 3x − 10 and verify the relation with the coefficients.x² + 3x − 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और गुणांकों से संबंध की जाँच कीजिए।x² + 3x − 10 ke zeroes nikaliye aur coefficients se relation check kijiye.
- x² + 3x − 10 = x² + 5x − 2x − 10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2).
- Zeroes: −5 and 2.
- Sum = −5 + 2 = −3 = −b/a = −3/1. ✓
- Product = (−5)(2) = −10 = c/a = −10/1. ✓
- x² + 3x − 10 = x² + 5x − 2x − 10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2)।
- शून्यक: −5 और 2।
- योग = −5 + 2 = −3 = −b/a = −3/1। ✓
- गुणनफल = (−5)(2) = −10 = c/a = −10/1। ✓
- x² + 3x − 10 = x² + 5x − 2x − 10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2).
- Zeroes: −5 aur 2.
- Sum = −5 + 2 = −3 = −b/a = −3/1. ✓
- Product = (−5)(2) = −10 = c/a = −10/1. ✓
💡 Do not forget the 'verify' part: it carries half the marks of this question.'सत्यापन' वाला भाग मत भूलिए: इस प्रश्न के आधे अंक उसी के हैं।'Verify' wala part mat bhooliye: is sawaal ke aadhe marks usi ke hain.
Number of zeroes from a graphआलेख से शून्यकों की संख्याGraph se zeroes ki sankhya
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- Zeroes of y = p(x) are the x-coordinates of the points where the graph cuts or touches the x-axis.
- Count those points: that count is the number of zeroes.
- A quadratic polynomial has at most 2 zeroes; a cubic at most 3; degree n at most n.
- Graph of a quadratic is a parabola: it opens upward if a > 0 and downward if a < 0.
- A parabola can cut the x-axis at 2 points, touch it at 1 point, or not meet it (0 real zeroes).
- A graph that touches the y-axis only does not give a zero; only the x-axis matters.
- y = p(x) के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता या स्पर्श करता है।
- ऐसे बिंदु गिनिए: वही शून्यकों की संख्या है।
- द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक; त्रिघात के अधिकतम 3; घात n के अधिकतम n।
- द्विघात बहुपद का आलेख परवलय होता है: a > 0 पर ऊपर की ओर खुला, a < 0 पर नीचे की ओर।
- परवलय x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काट सकता है, 1 बिंदु पर स्पर्श कर सकता है, या न मिले (0 वास्तविक शून्यक)।
- केवल y-अक्ष को मिलने से शून्यक नहीं मिलता; केवल x-अक्ष देखिए।
- y = p(x) ke zeroes un points ke x-coordinates hain jahan graph x-axis ko kaatta ya chhoota hai.
- Aise points giniye: wahi zeroes ki sankhya hai.
- Quadratic ke maximum 2 zeroes; cubic ke maximum 3; degree n ke maximum n.
- Quadratic ka graph parabola hota hai: a > 0 par upar khula, a < 0 par neeche khula.
- Parabola x-axis ko 2 points par kaat sakta hai, 1 point par chhoo sakta hai, ya na mile (0 real zeroes).
- Sirf y-axis ko chhoone se zero nahi milta; sirf x-axis dekhiye.
MCQ: The graph of y = p(x) cuts the x-axis at 3 points. The number of zeroes of p(x) is: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0MCQ: y = p(x) का आलेख x-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता है। p(x) के शून्यकों की संख्या है: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0MCQ: y = p(x) ka graph x-axis ko 3 points par kaatta hai. p(x) ke zeroes ki sankhya hai: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
- Number of zeroes = number of points where the graph meets the x-axis = 3.
- Answer: (C) 3
- शून्यकों की संख्या = आलेख के x-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं की संख्या = 3।
- उत्तर: (C) 3
- Zeroes ki sankhya = graph ke x-axis se milne wale points = 3.
- Answer: (C) 3
Value of α² + β², 1/α + 1/β and similar expressionsα² + β², 1/α + 1/β जैसे व्यंजकों का मानα² + β², 1/α + 1/β jaise expressions ki value
Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal- First write α + β = −b/a and αβ = c/a. Then change the asked expression into these two.
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ
- α²β + αβ² = αβ(α + β)
- α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β)
- पहले α + β = −b/a तथा αβ = c/a लिखिए। फिर पूछे गए व्यंजक को इन्हीं दो में बदलिए।
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ
- α²β + αβ² = αβ(α + β)
- α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β)
- Pehle α + β = −b/a aur αβ = c/a likhiye. Phir poochhe gaye expression ko inhi do mein badaliye.
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ
- α²β + αβ² = αβ(α + β)
- α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β)
If α and β are the zeroes of x² − 5x + 6, find (i) α² + β² (ii) 1/α + 1/β.यदि α और β, x² − 5x + 6 के शून्यक हैं, तो ज्ञात कीजिए (i) α² + β² (ii) 1/α + 1/β।Agar α aur β, x² − 5x + 6 ke zeroes hain, to nikaliye (i) α² + β² (ii) 1/α + 1/β.
- α + β = −(−5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6.
- (i) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
- (ii) 1/α + 1/β = (α + β)/αβ = 5/6.
- (Check: the zeroes are 2 and 3; 4 + 9 = 13 and 1/2 + 1/3 = 5/6. ✓)
- α + β = −(−5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6।
- (i) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13।
- (ii) 1/α + 1/β = (α + β)/αβ = 5/6।
- (जाँच: शून्यक 2 और 3 हैं; 4 + 9 = 13 तथा 1/2 + 1/3 = 5/6। ✓)
- α + β = −(−5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6.
- (i) α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
- (ii) 1/α + 1/β = (α + β)/αβ = 5/6.
- (Check: zeroes 2 aur 3 hain; 4 + 9 = 13 aur 1/2 + 1/3 = 5/6. ✓)
Degree and types of polynomials (MCQ)बहुपद की घात और प्रकार (MCQ)Polynomial ki degree aur types (MCQ)
Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal- Degree = highest power of the variable. Linear: degree 1 (2x + 3); quadratic: degree 2; cubic: degree 3.
- A non-zero constant (like 7) is a polynomial of degree 0. The degree of the zero polynomial is not defined.
- Powers must be whole numbers: x² + 1/x or √x + 2 are NOT polynomials.
- A linear polynomial ax + b has exactly one zero: x = −b/a.
- घात = चर की सबसे बड़ी घात। रैखिक: घात 1 (2x + 3); द्विघात: घात 2; त्रिघात: घात 3।
- शून्येतर अचर (जैसे 7) घात 0 का बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।
- घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए: x² + 1/x या √x + 2 बहुपद नहीं हैं।
- रैखिक बहुपद ax + b का ठीक एक शून्यक होता है: x = −b/a।
- Degree = variable ki sabse badi power. Linear: degree 1 (2x + 3); quadratic: degree 2; cubic: degree 3.
- Non-zero constant (jaise 7) degree 0 ka polynomial hai. Zero polynomial ki degree defined nahi hai.
- Powers whole numbers honi chahiye: x² + 1/x ya √x + 2 polynomial NAHI hain.
- Linear polynomial ax + b ka theek ek zero hota hai: x = −b/a.
MCQ: The zero of the polynomial 3x − 6 is: (A) 3 (B) −2 (C) 2 (D) 6MCQ: बहुपद 3x − 6 का शून्यक है: (A) 3 (B) −2 (C) 2 (D) 6MCQ: Polynomial 3x − 6 ka zero hai: (A) 3 (B) −2 (C) 2 (D) 6
- 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2.
- Answer: (C) 2
- 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2।
- उत्तर: (C) 2
- 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2.
- Answer: (C) 2
Form a quadratic polynomial from sum and product of zeroesशून्यकों के योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद बनानाZeroes ke sum aur product se quadratic polynomial banana
Not asked yetअभी तक नहीं पूछा गयाAbhi tak nahi aayaOld syllabus (2012–2018): also in 2 of 6 yearsपुराना सिलेबस (2012–2018): 6 में से 2 वर्ष भी आयाPurane syllabus (2012–2018) mein bhi 2/6 saal aaya- Required polynomial: k[x² − (sum of zeroes)x + (product of zeroes)], k any non-zero constant.
- Sum −3, product 2 ⇒ x² + 3x + 2.
- Zeroes 3 and −2 ⇒ sum 1, product −6 ⇒ x² − x − 6.
- If fractions come, choose k to clear them: sum 2/3, product −1/3 ⇒ x² − (2/3)x − 1/3, multiply by 3 ⇒ 3x² − 2x − 1.
- Zeroes 2 + √3 and 2 − √3 ⇒ sum 4, product 4 − 3 = 1 ⇒ x² − 4x + 1.
- अभीष्ट बहुपद: k[x² − (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)], k कोई शून्येतर अचर।
- योग −3, गुणनफल 2 ⇒ x² + 3x + 2।
- शून्यक 3 और −2 ⇒ योग 1, गुणनफल −6 ⇒ x² − x − 6।
- भिन्न आएँ तो k चुनकर हटाइए: योग 2/3, गुणनफल −1/3 ⇒ x² − (2/3)x − 1/3, 3 से गुणा ⇒ 3x² − 2x − 1।
- शून्यक 2 + √3 और 2 − √3 ⇒ योग 4, गुणनफल 4 − 3 = 1 ⇒ x² − 4x + 1।
- Required polynomial: k[x² − (zeroes ka sum)x + (zeroes ka product)], k koi non-zero constant.
- Sum −3, product 2 ⇒ x² + 3x + 2.
- Zeroes 3 aur −2 ⇒ sum 1, product −6 ⇒ x² − x − 6.
- Fractions aayein to k chunkar hataiye: sum 2/3, product −1/3 ⇒ x² − (2/3)x − 1/3, 3 se multiply ⇒ 3x² − 2x − 1.
- Zeroes 2 + √3 aur 2 − √3 ⇒ sum 4, product 4 − 3 = 1 ⇒ x² − 4x + 1.
Find a quadratic polynomial whose sum of zeroes is 2/3 and product of zeroes is −1/3.वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 2/3 और गुणनफल −1/3 है।Woh quadratic polynomial nikaliye jiske zeroes ka sum 2/3 aur product −1/3 hai.
- p(x) = k[x² − (sum)x + product] = k[x² − (2/3)x − 1/3].
- Take k = 3: p(x) = 3x² − 2x − 1.
- Check: −b/a = 2/3 and c/a = −1/3. ✓
- p(x) = k[x² − (योग)x + गुणनफल] = k[x² − (2/3)x − 1/3]।
- k = 3 लेने पर: p(x) = 3x² − 2x − 1।
- जाँच: −b/a = 2/3 तथा c/a = −1/3। ✓
- p(x) = k[x² − (sum)x + product] = k[x² − (2/3)x − 1/3].
- k = 3 lijiye: p(x) = 3x² − 2x − 1.
- Check: −b/a = 2/3 aur c/a = −1/3. ✓
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
📐 Why α + β = −b/a and αβ = c/aα + β = −b/a और αβ = c/a क्योंα + β = −b/a aur αβ = c/a kyun
- If α and β are the zeroes of ax² + bx + c, then (x − α) and (x − β) are its factors.
- So ax² + bx + c = k(x − α)(x − β) for some constant k.
- Expand: k(x − α)(x − β) = kx² − k(α + β)x + kαβ.
- Compare coefficients: a = k, b = −k(α + β), c = kαβ.
- So α + β = −b/a and αβ = c/a.
- यदि α और β, ax² + bx + c के शून्यक हैं, तो (x − α) और (x − β) इसके गुणनखंड हैं।
- अतः किसी अचर k के लिए ax² + bx + c = k(x − α)(x − β)।
- विस्तार: k(x − α)(x − β) = kx² − k(α + β)x + kαβ।
- गुणांकों की तुलना: a = k, b = −k(α + β), c = kαβ।
- अतः α + β = −b/a तथा αβ = c/a।
- Agar α aur β, ax² + bx + c ke zeroes hain, to (x − α) aur (x − β) iske factors hain.
- To kisi constant k ke liye ax² + bx + c = k(x − α)(x − β).
- Expand: k(x − α)(x − β) = kx² − k(α + β)x + kαβ.
- Coefficients compare kijiye: a = k, b = −k(α + β), c = kαβ.
- To α + β = −b/a aur αβ = c/a.
If α and β are the zeroes of x² − 5x + k and α − β = 1, find k.यदि α और β, x² − 5x + k के शून्यक हैं और α − β = 1, तो k ज्ञात कीजिए।Agar α aur β, x² − 5x + k ke zeroes hain aur α − β = 1, to k nikaliye.
- α + β = 5, αβ = k.
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ 1 = 25 − 4k.
- 4k = 24 ⇒ k = 6.
- (Check: x² − 5x + 6 has zeroes 3 and 2; 3 − 2 = 1. ✓)
- α + β = 5, αβ = k।
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ 1 = 25 − 4k।
- 4k = 24 ⇒ k = 6।
- (जाँच: x² − 5x + 6 के शून्यक 3 और 2; 3 − 2 = 1। ✓)
- α + β = 5, αβ = k.
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ 1 = 25 − 4k.
- 4k = 24 ⇒ k = 6.
- (Check: x² − 5x + 6 ke zeroes 3 aur 2; 3 − 2 = 1. ✓)
For x² − (k + 6)x + 2(2k − 1), the sum of the zeroes is half of their product. Find k.x² − (k + 6)x + 2(2k − 1) के शून्यकों का योग उनके गुणनफल का आधा है। k ज्ञात कीजिए।x² − (k + 6)x + 2(2k − 1) ke zeroes ka sum unke product ka aadha hai. k nikaliye.
- Sum = k + 6, product = 2(2k − 1).
- k + 6 = ½ × 2(2k − 1) = 2k − 1.
- k = 7.
- (Check: sum = 13, product = 26; 13 is half of 26. ✓)
- योग = k + 6, गुणनफल = 2(2k − 1)।
- k + 6 = ½ × 2(2k − 1) = 2k − 1।
- k = 7।
- (जाँच: योग = 13, गुणनफल = 26; 13, 26 का आधा है। ✓)
- Sum = k + 6, product = 2(2k − 1).
- k + 6 = ½ × 2(2k − 1) = 2k − 1.
- k = 7.
- (Check: sum = 13, product = 26; 13, 26 ka aadha hai. ✓)
Find a quadratic polynomial whose zeroes are 2 + √3 and 2 − √3.वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 2 + √3 और 2 − √3 हैं।Woh quadratic polynomial nikaliye jiske zeroes 2 + √3 aur 2 − √3 hain.
- Sum = (2 + √3) + (2 − √3) = 4.
- Product = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1.
- Polynomial = x² − 4x + 1.
- योग = (2 + √3) + (2 − √3) = 4।
- गुणनफल = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1।
- बहुपद = x² − 4x + 1।
- Sum = (2 + √3) + (2 − √3) = 4.
- Product = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1.
- Polynomial = x² − 4x + 1.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Writing α + β = b/a → it is −b/a.
- Reading the coefficients from an unordered polynomial like 6 − x + 2x² → first write it as 2x² − x + 6.
- Stopping after finding the zeroes → also write the two verification lines.
- Counting where the graph meets the y-axis → count only x-axis points.
- Forming x² + (sum)x + product → it is x² − (sum)x + product.
- α + β = b/a लिखना → यह −b/a है।
- 6 − x + 2x² जैसे अव्यवस्थित बहुपद से गुणांक पढ़ना → पहले 2x² − x + 6 के रूप में लिखिए।
- शून्यक निकालकर रुक जाना → सत्यापन की दोनों पंक्तियाँ भी लिखिए।
- आलेख के y-अक्ष से मिलने वाले बिंदु गिनना → केवल x-अक्ष के बिंदु गिनिए।
- x² + (योग)x + गुणनफल बनाना → सही है x² − (योग)x + गुणनफल।
- α + β = b/a likhna → yeh −b/a hai.
- 6 − x + 2x² jaise ulte-seedhe polynomial se coefficients padhna → pehle 2x² − x + 6 ki tarah likhiye.
- Zeroes nikaal kar ruk jana → verify ki dono lines bhi likhiye.
- Graph ke y-axis wale points ginna → sirf x-axis wale points giniye.
- x² + (sum)x + product banana → sahi hai x² − (sum)x + product.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Cubic relations are in the current book: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a. A 1-mark MCQ can come from them.
- If a parabola does not meet the x-axis, the quadratic has no real zeroes (b² − 4ac < 0, see Quadratic Equations).
- त्रिघात के संबंध वर्तमान पुस्तक में हैं: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a। इनसे 1 अंक का MCQ आ सकता है।
- यदि परवलय x-अक्ष से नहीं मिलता, तो द्विघात का कोई वास्तविक शून्यक नहीं (b² − 4ac < 0, द्विघात समीकरण अध्याय देखिए)।
- Cubic ke relations current book mein hain: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a. Inse 1 mark ka MCQ aa sakta hai.
- Agar parabola x-axis se nahi milta, to quadratic ka koi real zero nahi (b² − 4ac < 0, Quadratic Equations chapter dekhiye).
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- α + β = −b/a; αβ = c/a.
- p(x) = k[x² − (α + β)x + αβ].
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ.
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ.
- Zeroes = x-coordinates where the graph meets the x-axis.
- Degree n ⇒ at most n zeroes.
- Reciprocal zeroes ⇒ c = a.
- Cubic: α + β + γ = −b/a, αβγ = −d/a.
- If k is a zero, p(k) = 0.
- α + β = −b/a; αβ = c/a।
- p(x) = k[x² − (α + β)x + αβ]।
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ।
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ।
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ।
- शून्यक = आलेख के x-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं के x-निर्देशांक।
- घात n ⇒ अधिकतम n शून्यक।
- व्युत्क्रम शून्यक ⇒ c = a।
- त्रिघात: α + β + γ = −b/a, αβγ = −d/a।
- यदि k शून्यक है, तो p(k) = 0।
- α + β = −b/a; αβ = c/a.
- p(x) = k[x² − (α + β)x + αβ].
- α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
- (α − β)² = (α + β)² − 4αβ.
- 1/α + 1/β = (α + β)/αβ.
- Zeroes = graph ke x-axis se milne wale points ke x-coordinates.
- Degree n ⇒ maximum n zeroes.
- Reciprocal zeroes ⇒ c = a.
- Cubic: α + β + γ = −b/a, αβγ = −d/a.
- Agar k zero hai, to p(k) = 0.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Division algorithm for polynomials (dividend = divisor × quotient + remainder; finding other zeroes by division) — older papers gave long questions on it, but it is not in the current NCERT book. Skip it.बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल; भाग देकर अन्य शून्यक निकालना) — पुराने प्रश्नपत्रों में इस पर लंबे प्रश्न आए, परन्तु यह वर्तमान NCERT पुस्तक में नहीं है। छोड़ दीजिए।Polynomials ka division algorithm (dividend = divisor × quotient + remainder; divide karke baaki zeroes nikalna) — purane papers mein lambe sawaal aaye, lekin yeh current NCERT book mein nahi hai. Skip kijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.