Coordinate Geometryनिर्देशांक ज्यामितिCoordinate Geometry (Nirdeshank Jyamiti)

• Point P equidistant from A and B: PA = PB ⇒ PA² = PB² (squaring removes the root).
• Point on the x-axis is (x, 0); point on the y-axis is (0, y).
• Collinear (on one line): the sum of the two smaller distances equals the largest, e.g. AB + BC = AC.
• Triangle type: all three sides equal ⇒ equilateral; two equal ⇒ isosceles; sum of squares of two sides = square of third ⇒ right-angled.
• Square: four sides equal and two diagonals equal. Rhombus: four sides equal, diagonals not equal. Rectangle: opposite sides equal and diagonals equal. Parallelogram: opposite sides equal.

• A और B से समदूरस्थ बिंदु P: PA = PB ⇒ PA² = PB² (वर्ग करने से मूल हट जाता है)।
• x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) होता है; y-अक्ष पर बिंदु (0, y)।
• संरेख (एक रेखा पर): दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर, जैसे AB + BC = AC।
• त्रिभुज का प्रकार: तीनों भुजाएँ बराबर ⇒ समबाहु; दो बराबर ⇒ समद्विबाहु; दो भुजाओं के वर्गों का योग = तीसरी का वर्ग ⇒ समकोण।
• वर्ग: चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर। समचतुर्भुज: चारों भुजाएँ बराबर, विकर्ण बराबर नहीं। आयत: सम्मुख भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर। समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ बराबर।

• A aur B se equidistant point P: PA = PB ⇒ PA² = PB² (square karne se root hat jata hai).
• x-axis par point (x, 0) hota hai; y-axis par point (0, y).
• Collinear (ek line par): do chhoti dooriyon ka sum sabse badi doori ke barabar, jaise AB + BC = AC.
• Triangle ka type: teeno sides barabar ⇒ equilateral; do barabar ⇒ isosceles; do sides ke squares ka sum = teesri ka square ⇒ right-angled.
• Square: chaaron sides barabar aur dono diagonals barabar. Rhombus: chaaron sides barabar, diagonals barabar nahi. Rectangle: opposite sides barabar aur diagonals barabar. Parallelogram: opposite sides barabar.

• Take the ratio as k : 1. Then the point is ((k·x₂ + x₁)/(k + 1), (k·y₂ + y₁)/(k + 1)).
• Point given: equate its x-coordinate (or y-coordinate) to the formula and solve for k.
• Divided by the x-axis: the point is (x, 0), so put the y-coordinate = 0.
• Divided by the y-axis: the point is (0, y), so put the x-coordinate = 0.
• If k comes positive, the division is internal. Write the final ratio as k : 1 (clear fractions, e.g. 3/2 : 1 = 3 : 2).
• Also find the point of division if asked, by putting k back.

• अनुपात k : 1 मानिए। तब बिंदु = ((k·x₂ + x₁)/(k + 1), (k·y₂ + y₁)/(k + 1))।
• बिंदु दिया हो: उसके x-निर्देशांक (या y-निर्देशांक) को सूत्र के बराबर रखकर k ज्ञात कीजिए।
• x-अक्ष द्वारा विभाजन: बिंदु (x, 0) है, अतः y-निर्देशांक = 0 रखिए।
• y-अक्ष द्वारा विभाजन: बिंदु (0, y) है, अतः x-निर्देशांक = 0 रखिए।
• यदि k धनात्मक आए तो विभाजन आंतरिक है। अंतिम अनुपात k : 1 लिखिए (भिन्न हटाइए, जैसे 3/2 : 1 = 3 : 2)।
• यदि पूछा हो तो k वापस रखकर विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

• Ratio k : 1 maaniye. Tab point = ((k·x₂ + x₁)/(k + 1), (k·y₂ + y₁)/(k + 1)).
• Point diya ho: uske x-coordinate (ya y-coordinate) ko formula ke barabar rakhkar k nikaliye.
• x-axis se division: point (x, 0) hai, to y-coordinate = 0 rakhiye.
• y-axis se division: point (0, y) hai, to x-coordinate = 0 rakhiye.
• Agar k positive aaye to division internal hai. Final ratio k : 1 likhiye (fraction hataiye, jaise 3/2 : 1 = 3 : 2).
• Agar poochha ho to k wapas rakhkar division point bhi nikaliye.

• Distance between P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂): PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
• Distance of P(x, y) from the origin O(0, 0) = √(x² + y²).
• Distance of (x, y) from the x-axis = |y|; from the y-axis = |x|.
• Order does not matter: (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)².
• If a distance is given and one coordinate is unknown, square both sides; you usually get two answers (±).
• The formula comes from Pythagoras: horizontal gap and vertical gap are the two legs.

• P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी: PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]।
• मूल बिंदु O(0, 0) से P(x, y) की दूरी = √(x² + y²)।
• (x, y) की x-अक्ष से दूरी = |y|; y-अक्ष से दूरी = |x|।
• क्रम से फर्क नहीं पड़ता: (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)²।
• यदि दूरी दी हो और एक निर्देशांक अज्ञात हो, तो दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए; प्रायः दो उत्तर (±) मिलते हैं।
• यह सूत्र पाइथागोरस से आता है: क्षैतिज अंतर और ऊर्ध्वाधर अंतर दो भुजाएँ हैं।

• P(x₁, y₁) aur Q(x₂, y₂) ke beech ki doori: PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
• Origin O(0, 0) se P(x, y) ki doori = √(x² + y²).
• (x, y) ki x-axis se doori = |y|; y-axis se doori = |x|.
• Order se farak nahi padta: (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)².
• Agar doori di ho aur ek coordinate unknown ho, to dono side square kijiye; aksar do answers (±) milte hain.
• Yeh formula Pythagoras se aata hai: horizontal gap aur vertical gap do sides hain.

💡 Write the formula first, then the numbers with brackets: (2 − (−6))² = 8². Most mistakes are sign slips with negative coordinates.पहले सूत्र लिखिए, फिर कोष्ठक सहित संख्याएँ: (2 − (−6))² = 8²। अधिकतर गलतियाँ ऋणात्मक निर्देशांकों में चिह्न की होती हैं।Pehle formula likhiye, phir brackets ke saath numbers: (2 − (−6))² = 8². Zyadatar galtiyan negative coordinates mein sign ki hoti hain.

• Point P dividing A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂) internally in the ratio m : n:
• P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n)).
• Memory trick: m goes with B (the far end), n goes with A (the near end) — 'cross multiply'.
• Points of trisection: ratios 1 : 2 and 2 : 1.
• Mid-point is the special case m : n = 1 : 1.

• A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को m : n में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाला बिंदु P:
• P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n))।
• याद रखने का तरीका: m, B (दूर वाले सिरे) के साथ, n, A (पास वाले सिरे) के साथ — 'तिरछा गुणा'।
• समत्रिभाजन बिंदु: अनुपात 1 : 2 और 2 : 1।
• मध्य-बिंदु विशेष स्थिति है m : n = 1 : 1।

• A(x₁, y₁) aur B(x₂, y₂) ko m : n mein internally divide karne wala point P:
• P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n)).
• Yaad rakhne ka tarika: m, B (door wale end) ke saath, n, A (paas wale end) ke saath — 'cross multiply'.
• Trisection points: ratios 1 : 2 aur 2 : 1.
• Mid-point special case hai m : n = 1 : 1.

• Mid-point of A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂): M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• If the mid-point and one end are known: other end = (2 × mid − known end) for each coordinate.
• Diagonals of a parallelogram bisect each other: mid-point of AC = mid-point of BD.
• So for parallelogram ABCD: A + C = B + D (add x's and y's separately). Fourth vertex D = A + C − B.
• Centre of a circle is the mid-point of any diameter.

• A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) का मध्य-बिंदु: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)।
• यदि मध्य-बिंदु और एक सिरा ज्ञात हो: दूसरा सिरा = (2 × मध्य − ज्ञात सिरा), प्रत्येक निर्देशांक के लिए।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं: AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु।
• अतः समांतर चतुर्भुज ABCD में: A + C = B + D (x और y अलग-अलग जोड़िए)। चौथा शीर्ष D = A + C − B।
• वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्य-बिंदु होता है।

• A(x₁, y₁) aur B(x₂, y₂) ka mid-point: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• Agar mid-point aur ek end pata ho: doosra end = (2 × mid − known end), har coordinate ke liye.
• Parallelogram ke diagonals ek-doosre ko bisect karte hain: AC ka mid-point = BD ka mid-point.
• To parallelogram ABCD mein: A + C = B + D (x aur y alag-alag jodiye). Chautha vertex D = A + C − B.
• Circle ka centre kisi bhi diameter ka mid-point hota hai.