Some Applications of Trigonometry (Heights and Distances)त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (ऊँचाई और दूरी)Some Applications of Trigonometry (Heights and Distances)

• Angle of elevation: the angle between the horizontal line and the line of sight when you look UP at an object.
• Method: (1) Draw the figure; mark the height as h and the unknown distance as x. (2) Write tan of each angle in its own right triangle. (3) You get two equations; solve them together. (4) Put √3 = 1.732 only at the end if the question asks for a decimal.
• Shadow type: 'the shadow is d m longer when the sun's altitude is 30° than when it is 60°'. Then h = x√3 and h = (x + d)/√3, which gives x = d/2 and h = (d/2)√3 = d√3/2.
• Two poles on both sides of a road of width w, angles 60° and 30°: h = x√3 = (w − x)/√3, so x = w/4. The pole height is h = (w/4)√3.
• Tower (or flagstaff) on top of a building: use one triangle for the building and one for building + tower. Height of tower = total height − building height.
• From the top of a building: elevation of the top of a tower and depression of its foot. The depression angle at the top equals the elevation angle at the foot (alternate angles).
• In each right triangle, write which side is perpendicular and which is base before writing tan.

• उन्नयन कोण: किसी वस्तु को ऊपर देखते समय क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
• विधि: (1) चित्र बनाइए; ऊँचाई h और अज्ञात दूरी x मानिए। (2) हर कोण का tan उसके अपने समकोण त्रिभुज में लिखिए। (3) दो समीकरण मिलेंगे; उन्हें साथ हल कीजिए। (4) दशमलव माँगा हो तो अंत में ही √3 = 1.732 रखिए।
• छाया वाला प्रश्न: 'सूर्य का उन्नतांश 60° की अपेक्षा 30° होने पर छाया d मी. लम्बी हो जाती है'। तब h = x√3 और h = (x + d)/√3, जिससे x = d/2 और h = (d/2)√3 = d√3/2।
• w चौड़ी सड़क के दोनों ओर दो खम्भे, कोण 60° और 30°: h = x√3 = (w − x)/√3, अतः x = w/4। खम्भे की ऊँचाई h = (w/4)√3।
• भवन के ऊपर मीनार (या ध्वजदण्ड): एक त्रिभुज भवन के लिए और एक भवन + मीनार के लिए लीजिए। मीनार की ऊँचाई = कुल ऊँचाई − भवन की ऊँचाई।
• भवन की छत से: मीनार के शिखर का उन्नयन कोण और उसके पाद का अवनमन कोण। ऊपर का अवनमन कोण नीचे के उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकान्तर कोण)।
• हर समकोण त्रिभुज में tan लिखने से पहले लिखिए कि लम्ब कौन है और आधार कौन।

• Angle of elevation (unnayan kon): kisi cheez ko UPAR dekhte waqt horizontal line aur line of sight ke beech ka angle.
• Method: (1) Figure banaiye; height h aur anjaan doori x maaniye. (2) Har angle ka tan uske apne right triangle mein likhiye. (3) Do equations milengi; dono ko saath solve kijiye. (4) Decimal maanga ho to aakhir mein hi √3 = 1.732 rakhiye.
• Shadow wala: 'sun ki altitude 60° ki jagah 30° hone par shadow d m lambi ho jaati hai'. Tab h = x√3 aur h = (x + d)/√3, jisse x = d/2 aur h = (d/2)√3 = d√3/2.
• w chaudi road ke dono taraf do poles, angles 60° aur 30°: h = x√3 = (w − x)/√3, isliye x = w/4. Pole ki height h = (w/4)√3.
• Building ke upar tower (ya flagstaff): ek triangle building ke liye aur ek building + tower ke liye lijiye. Tower ki height = total height − building ki height.
• Building ki chhat se: tower ke top ka elevation aur uske foot ka depression. Upar ka depression angle neeche ke elevation angle ke barabar hota hai (alternate angles).
• Har right triangle mein tan likhne se pehle likhiye ki perpendicular kaun hai aur base kaun.

💡 A neat labelled figure carries marks on its own. Always draw it first, even if you cannot finish the sum.साफ़ नामांकित चित्र के अलग से अंक मिलते हैं। प्रश्न पूरा न हो सके तब भी पहले चित्र बनाइए।Saaf labelled figure ke alag se marks milte hain. Sawaal poora na ho sake tab bhi pehle figure banaiye.

• Angle of depression: the angle between the horizontal line and the line of sight when you look DOWN at an object.
• Key fact: the angle of depression from the top = the angle of elevation from the object at the bottom (alternate angles, because the two horizontal lines are parallel). Put this angle inside the triangle at the bottom.
• Two ships on the same side, depressions 30° and 45° from a lighthouse of height h: near ship at distance h, far ship at h√3. Distance between them = h(√3 − 1).
• Ships (or banks of a river) on opposite sides: distances add up. Total = h/tan α + h/tan β.
• Top and bottom of a small building of height b seen from the top of a tall building (depressions α at top, β at bottom, β bigger): the horizontal distance is the same for both. Tall height H = d tan β and H − b = d tan α.
• With 30° and 45°: H − b = H/√3 ⇒ H = b√3/(√3 − 1) = b(3 + √3)/2.

• अवनमन कोण: किसी वस्तु को नीचे देखते समय क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
• मुख्य तथ्य: ऊपर से अवनमन कोण = नीचे की वस्तु से उन्नयन कोण (एकान्तर कोण, क्योंकि दोनों क्षैतिज रेखाएँ समान्तर हैं)। यह कोण नीचे वाले त्रिभुज के अंदर लगाइए।
• प्रकाश-स्तम्भ (ऊँचाई h) से एक ही ओर दो जहाज़, अवनमन कोण 30° और 45°: पास का जहाज़ h दूरी पर, दूर का h√3 पर। उनके बीच की दूरी = h(√3 − 1)।
• विपरीत ओर के जहाज़ (या नदी के दो किनारे): दूरियाँ जुड़ती हैं। कुल = h/tan α + h/tan β।
• ऊँचे भवन की छत से b ऊँचाई वाले छोटे भवन के शिखर और पाद (शिखर का अवनमन α, पाद का β, β बड़ा): क्षैतिज दूरी दोनों के लिए समान है। ऊँचाई H = d tan β और H − b = d tan α।
• 30° और 45° के साथ: H − b = H/√3 ⇒ H = b√3/(√3 − 1) = b(3 + √3)/2।

• Angle of depression (avnaman kon): kisi cheez ko NEECHE dekhte waqt horizontal line aur line of sight ke beech ka angle.
• Main baat: upar se depression angle = neeche wali cheez se elevation angle (alternate angles, kyunki dono horizontal lines parallel hain). Yeh angle neeche wale triangle ke andar lagaiye.
• Lighthouse (height h) se ek hi taraf do ships, depressions 30° aur 45°: paas wala ship h doori par, door wala h√3 par. Dono ke beech doori = h(√3 − 1).
• Opposite sides ke ships (ya nadi ke do kinaare): dooriyan judti hain. Total = h/tan α + h/tan β.
• Oonchi building ki chhat se b height wali chhoti building ke top aur bottom (top ka depression α, bottom ka β, β bada): horizontal doori dono ke liye same hai. Height H = d tan β aur H − b = d tan α.
• 30° aur 45° ke saath: H − b = H/√3 ⇒ H = b√3/(√3 − 1) = b(3 + √3)/2.

💡 Never put the depression angle at the top inside the triangle. Shift it down to the object as an elevation angle.अवनमन कोण को ऊपर त्रिभुज के अंदर कभी मत लगाइए। उसे नीचे वस्तु पर उन्नयन कोण के रूप में ले जाइए।Depression angle ko upar triangle ke andar kabhi mat lagaiye. Use neeche cheez par elevation angle ke roop mein le jaaiye.

• Height = base × tan θ; base = height/tan θ.
• Shadow equal to height ⇒ angle of the sun = 45°.
• Shadow = √3 × height (or height : shadow = 1 : √3) ⇒ angle = 30°.
• Height = √3 × shadow (height : shadow = √3 : 1) ⇒ angle = 60°.
• A 20 m tower with a 20√3 m shadow ⇒ tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
• Kite, ladder, rope: the string/ladder is the hypotenuse, so use sin θ = height/length or cos θ = base/length.
• Broken tree: the standing part is the perpendicular, the broken part is the hypotenuse, the distance on the ground is the base. Tree height = standing part + broken part.

• ऊँचाई = आधार × tan θ; आधार = ऊँचाई/tan θ।
• छाया ऊँचाई के बराबर ⇒ सूर्य का कोण = 45°।
• छाया = √3 × ऊँचाई (या ऊँचाई : छाया = 1 : √3) ⇒ कोण = 30°।
• ऊँचाई = √3 × छाया (ऊँचाई : छाया = √3 : 1) ⇒ कोण = 60°।
• 20 मी. मीनार की छाया 20√3 मी. ⇒ tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30°।
• पतंग, सीढ़ी, रस्सी: डोरी/सीढ़ी कर्ण है, इसलिए sin θ = ऊँचाई/लम्बाई या cos θ = आधार/लम्बाई लगाइए।
• टूटा पेड़: खड़ा भाग लम्ब, टूटा भाग कर्ण और भूमि पर दूरी आधार है। पेड़ की ऊँचाई = खड़ा भाग + टूटा भाग।

• Height = base × tan θ; base = height/tan θ.
• Shadow height ke barabar ⇒ sun ka angle = 45°.
• Shadow = √3 × height (ya height : shadow = 1 : √3) ⇒ angle = 30°.
• Height = √3 × shadow (height : shadow = √3 : 1) ⇒ angle = 60°.
• 20 m tower ki shadow 20√3 m ⇒ tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
• Patang, seedhi, rassi: dori/seedhi hypotenuse hai, isliye sin θ = height/length ya cos θ = base/length lagaiye.
• Toota ped: khada hissa perpendicular, toota hissa hypotenuse aur zameen par doori base hai. Ped ki height = khada hissa + toota hissa.