Relations and Functionsसंबंध एवं फलनRelations and Functions

• One-one (injective): different inputs give different outputs. Test: assume f(x₁) = f(x₂) and show x₁ = x₂.
• Not one-one (many-one): find two different inputs with the same output, e.g. f(x) = x² on R: f(−2) = f(2) = 4.
• Onto (surjective): every element of the codomain has a pre-image, i.e. range = codomain. Test: take any y in the codomain, solve y = f(x) for x, and check that this x lies in the domain.
• Not onto: show one element of the codomain with no pre-image, e.g. for f(x) = x² on R→R, y = −1 has no real x.
• Bijective = one-one AND onto. Only a bijective function has an inverse.
• Graph test: a horizontal line cuts the graph of a one-one function at most once.
• For a function from a finite set A to itself: one-one ⇔ onto.
• MCQ facts: f(x) = |x| on R→R is neither one-one nor onto; f(x) = x² on R→R is neither; f(x) = x³ on R→R is one-one and onto; f(x) = 2x+3 on R→R is bijective; but f(x) = 2x on N→N is one-one, not onto (odd numbers have no pre-image).
• A strictly increasing (or strictly decreasing) function on an interval is one-one there: sin x is one-one on [0, π/2], cos x is one-one on [0, π/2].

• एकैकी फलन: भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न होते हैं। परीक्षण: मान लीजिए f(x₁) = f(x₂), फिर सिद्ध कीजिए x₁ = x₂।
• एकैकी नहीं (बहुएक): दो भिन्न अवयव दिखाइए जिनका प्रतिबिंब एक ही हो, जैसे R पर f(x) = x²: f(−2) = f(2) = 4।
• आच्छादक फलन: सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का पूर्व-प्रतिबिंब हो, अर्थात परिसर = सहप्रांत। परीक्षण: सहप्रांत का कोई y लेकर y = f(x) को x के लिए हल कीजिए और जाँचिए कि x प्रांत में है।
• आच्छादक नहीं: सहप्रांत का एक ऐसा अवयव दिखाइए जिसका कोई पूर्व-प्रतिबिंब न हो, जैसे R→R पर f(x) = x² में y = −1 के लिए कोई वास्तविक x नहीं।
• एकैकी आच्छादी (bijective) = एकैकी तथा आच्छादक दोनों। केवल ऐसे फलन का ही प्रतिलोम होता है।
• आलेख परीक्षण: एकैकी फलन के आलेख को कोई क्षैतिज रेखा अधिक से अधिक एक बिंदु पर काटती है।
• किसी परिमित समुच्चय A से स्वयं A पर फलन के लिए: एकैकी ⇔ आच्छादक।
• MCQ तथ्य: R→R पर f(x) = |x| न एकैकी न आच्छादक; f(x) = x² भी न एकैकी न आच्छादक; f(x) = x³ एकैकी तथा आच्छादक; f(x) = 2x+3 एकैकी आच्छादी; परन्तु N→N पर f(x) = 2x एकैकी है, आच्छादक नहीं (विषम संख्याओं का पूर्व-प्रतिबिंब नहीं)।
• किसी अंतराल में निरंतर वर्धमान (या निरंतर ह्रासमान) फलन वहाँ एकैकी होता है: [0, π/2] पर sin x और cos x दोनों एकैकी हैं।

• One-one (injective): alag input ka output bhi alag. Test: maan lijiye f(x₁) = f(x₂), phir dikhaiye x₁ = x₂.
• One-one nahi (many-one): do alag input dikhaiye jinka output same ho, jaise R par f(x) = x²: f(−2) = f(2) = 4.
• Onto (surjective): codomain ke har element ka pre-image ho, yaani range = codomain. Test: codomain ka koi y lekar y = f(x) ko x ke liye solve kijiye aur check kijiye ki x domain mein hai.
• Onto nahi: codomain ka ek aisa element dikhaiye jiska koi pre-image na ho, jaise R→R par f(x) = x² mein y = −1 ke liye koi real x nahi.
• Bijective = one-one AUR onto dono. Sirf bijective function ka hi inverse hota hai.
• Graph test: one-one function ke graph ko koi horizontal line zyada se zyada ek baar kaatti hai.
• Finite set A se khud A par function ke liye: one-one ⇔ onto.
• MCQ facts: R→R par f(x) = |x| na one-one na onto; f(x) = x² bhi na one-one na onto; f(x) = x³ one-one aur onto; f(x) = 2x+3 bijective; lekin N→N par f(x) = 2x one-one hai, onto nahi (odd numbers ka pre-image nahi).
• Kisi interval mein strictly increasing (ya strictly decreasing) function wahan one-one hota hai: [0, π/2] par sin x aur cos x dono one-one hain.

💡 Always write the domain and codomain. The same rule x² is one-one on [0, ∞) but not on R; it is onto [0, ∞) but not onto R.प्रांत और सहप्रांत सदैव लिखिए। वही नियम x², [0, ∞) पर एकैकी है पर R पर नहीं; [0, ∞) पर आच्छादक है पर R पर नहीं।Domain aur codomain hamesha likhiye. Wahi rule x², [0, ∞) par one-one hai par R par nahi; [0, ∞) par onto hai par R par nahi.

• A relation R on a set A is an equivalence relation if it is reflexive, symmetric and transitive (all three).
• Reflexive: (a, a) ∈ R for every a ∈ A.
• Symmetric: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R.
• Transitive: (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R.
• Board method: write three headings (i) Reflexive (ii) Symmetric (iii) Transitive, prove each with 'let a ∈ A …', then conclude.
• Most repeated type: R = {(a, b) : a − b is divisible by n} on Z. Use a − b = nk (k an integer).
• Equivalence class [a] = all elements related to a. For 'a − b divisible by 3' on Z: [0], [1], [2] are the three classes; they are disjoint and their union is Z.
• If R₁ and R₂ are equivalence relations on A, then R₁ ∩ R₂ is also an equivalence relation (but R₁ ∪ R₂ need not be).
• Not an equivalence relation: 'x divides y' (not symmetric), 'a ≤ b' (not symmetric), 'A ⊂ B' on a power set (not symmetric).

• समुच्चय A में संबंध R तुल्यता संबंध है यदि वह स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक (तीनों) हो।
• स्वतुल्य: प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R।
• सममित: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R।
• संक्रामक: (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R।
• बोर्ड विधि: तीन शीर्षक लिखिए (i) स्वतुल्य (ii) सममित (iii) संक्रामक, प्रत्येक को 'माना a ∈ A …' से सिद्ध कीजिए, फिर निष्कर्ष लिखिए।
• सबसे अधिक दोहराया प्रकार: Z में R = {(a, b) : a − b, n से विभाज्य है}। a − b = nk (k पूर्णांक) लिखिए।
• तुल्यता वर्ग [a] = a से संबंधित सभी अवयव। Z में 'a − b, 3 से विभाज्य' के लिए [0], [1], [2] तीन वर्ग हैं; ये असंयुक्त हैं और इनका सम्मिलन Z है।
• यदि R₁ और R₂, A में तुल्यता संबंध हैं, तो R₁ ∩ R₂ भी तुल्यता संबंध है (परन्तु R₁ ∪ R₂ आवश्यक नहीं)।
• तुल्यता संबंध नहीं: 'x, y को विभाजित करता है' (सममित नहीं), 'a ≤ b' (सममित नहीं), घात समुच्चय पर 'A ⊂ B' (सममित नहीं)।

• Set A mein relation R equivalence relation hai agar woh reflexive, symmetric aur transitive (teeno) ho.
• Reflexive: har a ∈ A ke liye (a, a) ∈ R.
• Symmetric: (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R.
• Transitive: (a, b) ∈ R aur (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R.
• Board method: teen heading likhiye (i) Reflexive (ii) Symmetric (iii) Transitive, har ek ko 'maana a ∈ A …' se prove kijiye, phir conclusion likhiye.
• Sabse zyada repeat hone wala type: Z mein R = {(a, b) : a − b, n se divisible hai}. a − b = nk (k integer) likhiye.
• Equivalence class [a] = a se related saare elements. Z mein 'a − b, 3 se divisible' ke liye [0], [1], [2] teen classes hain; ye disjoint hain aur inka union Z hai.
• Agar R₁ aur R₂, A mein equivalence relations hain, to R₁ ∩ R₂ bhi equivalence relation hai (lekin R₁ ∪ R₂ zaroori nahi).
• Equivalence relation nahi: 'x, y ko divide karta hai' (symmetric nahi), 'a ≤ b' (symmetric nahi), power set par 'A ⊂ B' (symmetric nahi).

💡 Write 'k ∈ Z' every time you write a − b = nk; examiners cut marks when the integer condition is missing.जब भी a − b = nk लिखें, 'k ∈ Z' अवश्य लिखिए; पूर्णांक की शर्त न लिखने पर अंक कटते हैं।Jab bhi a − b = nk likhein, 'k ∈ Z' zaroor likhiye; integer wali condition na likhne par marks katte hain.

• A relation from A to B is a subset of A × B. A relation on A is a subset of A × A.
• Empty relation: no pair, R = ∅ ⊂ A × A. Universal relation: R = A × A (every pair).
• Identity relation on A: I = {(a, a) : a ∈ A}. It is reflexive, symmetric and transitive.
• To show NOT reflexive / symmetric / transitive, one counter-example is enough.
• Reading a listed relation: reflexive needs every (a, a); symmetric needs (b, a) for every (a, b); transitive needs (a, c) whenever (a, b) and (b, c) are present.
• 'Less than' (<) on numbers: not reflexive, not symmetric, but transitive.
• a = b² on N: (16, 4) and (4, 2) are in R but (16, 2) is not (16 ≠ 2²), so it is not transitive.
• MCQ style: for R = {(a, b) : a = b − 1, b > 3} on N, check each option by putting values: (4, 5) ∈ R since 4 = 5 − 1 and 5 > 3.

• A से B में संबंध, A × B का उपसमुच्चय है। A में संबंध, A × A का उपसमुच्चय है।
• रिक्त संबंध: कोई युग्म नहीं, R = ∅ ⊂ A × A। सार्वत्रिक संबंध: R = A × A (सभी युग्म)।
• A में तत्समक संबंध: I = {(a, a) : a ∈ A}। यह स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
• स्वतुल्य/सममित/संक्रामक नहीं दिखाने के लिए एक प्रति-उदाहरण पर्याप्त है।
• सूचीबद्ध संबंध को पढ़ना: स्वतुल्य के लिए हर (a, a) चाहिए; सममित के लिए हर (a, b) के साथ (b, a); संक्रामक के लिए (a, b) और (b, c) हों तो (a, c) भी।
• संख्याओं पर 'से कम' (<): स्वतुल्य नहीं, सममित नहीं, परन्तु संक्रामक है।
• N में a = b²: (16, 4) तथा (4, 2) ∈ R परन्तु (16, 2) ∉ R (16 ≠ 2²), अतः संक्रामक नहीं।
• MCQ: N में R = {(a, b) : a = b − 1, b > 3} के लिए विकल्पों में मान रखकर जाँचिए: (4, 5) ∈ R क्योंकि 4 = 5 − 1 तथा 5 > 3।

• A se B mein relation, A × B ka subset hai. A mein relation, A × A ka subset hai.
• Empty relation: koi pair nahi, R = ∅ ⊂ A × A. Universal relation: R = A × A (saare pairs).
• A mein identity relation: I = {(a, a) : a ∈ A}. Yeh reflexive, symmetric aur transitive hai.
• Reflexive/symmetric/transitive NAHI dikhane ke liye ek counter-example kaafi hai.
• List wala relation padhna: reflexive ke liye har (a, a) chahiye; symmetric ke liye har (a, b) ke saath (b, a); transitive ke liye (a, b) aur (b, c) hon to (a, c) bhi.
• Numbers par 'less than' (<): reflexive nahi, symmetric nahi, lekin transitive hai.
• N mein a = b²: (16, 4) aur (4, 2) ∈ R lekin (16, 2) ∉ R (16 ≠ 2²), isliye transitive nahi.
• MCQ: N mein R = {(a, b) : a = b − 1, b > 3} ke liye options mein value daal kar check kijiye: (4, 5) ∈ R kyunki 4 = 5 − 1 aur 5 > 3.

• (gof)(x) = g(f(x)): first apply f, then g. (fog)(x) = f(g(x)): first g, then f.
• gof is defined when the range of f lies inside the domain of g.
• In general gof ≠ fog. To prove they are unequal, find one x where the values differ.
• If f and g are both one-one, gof is one-one. If both are onto, gof is onto.
• f∘f⁻¹ = identity on the codomain, f⁻¹∘f = identity on the domain.
• MCQ style: if f(x) = 8x³ and g(x) = x^(1/3), then gof(x) = 2x and fog(x) = 8x.

• (gof)(x) = g(f(x)): पहले f, फिर g। (fog)(x) = f(g(x)): पहले g, फिर f।
• gof तभी परिभाषित है जब f का परिसर g के प्रांत में हो।
• सामान्यतः gof ≠ fog। असमान सिद्ध करने के लिए एक x दिखाइए जहाँ मान भिन्न हों।
• यदि f और g दोनों एकैकी हैं तो gof एकैकी है। यदि दोनों आच्छादक हैं तो gof आच्छादक है।
• f∘f⁻¹ = सहप्रांत पर तत्समक, f⁻¹∘f = प्रांत पर तत्समक।
• MCQ: यदि f(x) = 8x³ तथा g(x) = x^(1/3), तो gof(x) = 2x तथा fog(x) = 8x।

• (gof)(x) = g(f(x)): pehle f, phir g. (fog)(x) = f(g(x)): pehle g, phir f.
• gof tabhi defined hai jab f ki range, g ke domain mein ho.
• Aam taur par gof ≠ fog. Unequal prove karne ke liye ek x dikhaiye jahan values alag hon.
• Agar f aur g dono one-one hain to gof one-one hai. Agar dono onto hain to gof onto hai.
• f∘f⁻¹ = codomain par identity, f⁻¹∘f = domain par identity.
• MCQ: agar f(x) = 8x³ aur g(x) = x^(1/3), to gof(x) = 2x aur fog(x) = 8x.

💡 Order matters: in gof the function written on the right (f) acts first.क्रम महत्वपूर्ण है: gof में दाईं ओर लिखा फलन (f) पहले लगता है।Order zaroori hai: gof mein right side wala function (f) pehle lagta hai.

• If n(A) = m and n(B) = n: number of relations from A to B = 2^(mn).
• Number of relations on A (n(A) = n) = 2^(n²).
• Number of functions from A to B = n^m (each of the m elements has n choices).
• Number of one-one functions from A to B (m ≤ n) = n!/(n − m)!. If m > n, there is no one-one function.
• Number of bijections from A to B (m = n) = n!.
• Number of onto functions from A (m elements) to a 2-element set = 2^m − 2.
• On A = {1, 2, 3}: there are 5 equivalence relations in all; exactly 2 of them contain (1, 2) (and so also (2, 1)).
• Examples: A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}: relations A→B = 2⁶ = 64. X = {1, 2, 3}, Y = {a, b}: functions X→Y = 2³ = 8. Two 3-element sets: functions = 3³ = 27, bijections = 3! = 6.

• यदि n(A) = m तथा n(B) = n: A से B में संबंधों की संख्या = 2^(mn)।
• A में संबंधों की संख्या (n(A) = n) = 2^(n²)।
• A से B में फलनों की संख्या = n^m (m अवयवों में प्रत्येक के n विकल्प)।
• A से B में एकैकी फलनों की संख्या (m ≤ n) = n!/(n − m)!। यदि m > n, तो कोई एकैकी फलन नहीं।
• A से B में एकैकी आच्छादी फलनों की संख्या (m = n) = n!।
• m अवयवों वाले A से 2 अवयवों वाले समुच्चय पर आच्छादक फलन = 2^m − 2।
• A = {1, 2, 3} पर कुल 5 तुल्यता संबंध हैं; इनमें से ठीक 2 में (1, 2) (और इसलिए (2, 1) भी) है।
• उदाहरण: A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}: A→B संबंध = 2⁶ = 64। X = {1, 2, 3}, Y = {a, b}: X→Y फलन = 2³ = 8। दो 3-अवयवी समुच्चय: फलन = 3³ = 27, एकैकी आच्छादी = 3! = 6।

• Agar n(A) = m aur n(B) = n: A se B mein relations ki sankhya = 2^(mn).
• A mein relations ki sankhya (n(A) = n) = 2^(n²).
• A se B mein functions ki sankhya = n^m (m elements mein har ek ke n choices).
• A se B mein one-one functions (m ≤ n) = n!/(n − m)!. Agar m > n, to koi one-one function nahi.
• A se B mein bijections (m = n) = n!.
• m elements wale A se 2 elements wale set par onto functions = 2^m − 2.
• A = {1, 2, 3} par kul 5 equivalence relations hain; inmein se theek 2 mein (1, 2) (aur isliye (2, 1) bhi) hai.
• Examples: A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}: A→B relations = 2⁶ = 64. X = {1, 2, 3}, Y = {a, b}: X→Y functions = 2³ = 8. Do 3-element sets: functions = 3³ = 27, bijections = 3! = 6.