Three Dimensional Geometryत्रिविमीय ज्यामितिThree Dimensional Geometry
Class 12 Maths · Chapter 11 · UP Boardकक्षा 12 गणित · अध्याय 11 · यूपी बोर्डClass 12 Maths · Chapter 11 · UP Board
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🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
The shortest distance between two lines is the long question of this chapter and it has come very regularly. Learn its formula and the 5 steps by heart (find a₂ − a₁, find b₁ × b₂, take the dot product, divide by |b₁ × b₂|). Then learn direction cosines and the equation of a line — these give quick 1-2 mark questions.दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी इस अध्याय का बड़ा प्रश्न है और यह बहुत नियमित रूप से आया है। इसका सूत्र और 5 चरण कंठस्थ कीजिए (a₂ − a₁ ज्ञात कीजिए, b₁ × b₂ ज्ञात कीजिए, अदिश गुणनफल लीजिए, |b₁ × b₂| से भाग दीजिए)। फिर दिक्-कोसाइन और रेखा का समीकरण सीखिए — इनसे जल्दी हल होने वाले 1-2 अंक के प्रश्न मिलते हैं।Do lines ke beech shortest distance is chapter ka bada sawaal hai aur yeh bahut regularly aaya hai. Iska formula aur 5 steps ratt lijiye (a₂ − a₁ nikaliye, b₁ × b₂ nikaliye, dot product lijiye, |b₁ × b₂| se divide kijiye). Phir direction cosines aur line ki equation seekhiye — inse jaldi hone wale 1-2 marks ke sawaal milte hain.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn the shortest distance formula for skew lines and practise one full question (the 5 steps). This one question is worth 5 marks.
- Learn l² + m² + n² = 1 and d.c. from d.r.; d.c. of the axes.
- Learn r = a + λb and the Cartesian form; practise converting one into the other.
- Angle between lines = cos⁻¹ of b₁·b₂/(|b₁||b₂|); perpendicular ⇔ b₁·b₂ = 0.
- विषमतलीय रेखाओं की न्यूनतम दूरी का सूत्र याद कीजिए और एक पूरा प्रश्न (5 चरण) कीजिए। यह एक प्रश्न 5 अंक का है।
- l² + m² + n² = 1 और दिक्-अनुपात से दिक्-कोसाइन; अक्षों की दिक्-कोसाइन याद कीजिए।
- r = a + λb और कार्तीय रूप सीखिए; एक को दूसरे में बदलने का अभ्यास कीजिए।
- रेखाओं के बीच कोण = b₁·b₂/(|b₁||b₂|) का cos⁻¹; लंबवत ⇔ b₁·b₂ = 0।
- Skew lines ki shortest distance ka formula yaad kijiye aur ek poora sawaal (5 steps) kijiye. Yeh ek sawaal 5 marks ka hai.
- l² + m² + n² = 1 aur d.r. se d.c.; axes ke d.c. yaad kijiye.
- r = a + λb aur Cartesian form seekhiye; ek ko doosre mein badalne ka practice kijiye.
- Lines ke beech angle = b₁·b₂/(|b₁||b₂|) ka cos⁻¹; perpendicular ⇔ b₁·b₂ = 0.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- Direction cosines of the x-axis are (1, 0, 0).
- A line making 90°, 60°, 30° with the axes has d.c. 0, 1/2, √3/2.
- D.r. 3, −2, −6 give d.c. 3/7, −2/7, −6/7.
- l² + m² + n² = 1 for any line.
- The vector form of (x + 3)/2 = (y − 5)/4 = (z + 6)/2 is r = (−3î + 5ĵ − 6k̂) + λ(2î + 4ĵ + 2k̂).
- x-अक्ष की दिक्-कोसाइन (1, 0, 0) हैं।
- अक्षों से 90°, 60°, 30° बनाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन 0, 1/2, √3/2।
- दिक्-अनुपात 3, −2, −6 से दिक्-कोसाइन 3/7, −2/7, −6/7।
- किसी भी रेखा के लिए l² + m² + n² = 1।
- (x + 3)/2 = (y − 5)/4 = (z + 6)/2 का सदिश रूप r = (−3î + 5ĵ − 6k̂) + λ(2î + 4ĵ + 2k̂) है।
- x-axis ke direction cosines (1, 0, 0) hain.
- Axes se 90°, 60°, 30° banane wali line ke d.c. 0, 1/2, √3/2.
- D.r. 3, −2, −6 se d.c. 3/7, −2/7, −6/7.
- Kisi bhi line ke liye l² + m² + n² = 1.
- (x + 3)/2 = (y − 5)/4 = (z + 6)/2 ka vector form r = (−3î + 5ĵ − 6k̂) + λ(2î + 4ĵ + 2k̂) hai.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Shortest distance between two lines (skew and parallel)दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी (विषमतलीय और समांतर)Do lines ke beech shortest distance (skew aur parallel)
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Skew lines: lines that are neither parallel nor intersecting (they lie in different planes).
- For r = a₁ + λb₁ and r = a₂ + μb₂ (not parallel): d = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂|.
- Parallel lines r = a₁ + λb and r = a₂ + μb: d = |b × (a₂ − a₁)| / |b|. Check parallel first: if b₂ is a multiple of b₁, use this formula.
- If d = 0, the lines intersect.
- Cartesian lines: (x − x₁)/a₁ = (y − y₁)/b₁ = (z − z₁)/c₁ gives point (x₁, y₁, z₁) and direction (a₁, b₁, c₁). Convert to vectors first.
- विषमतलीय रेखाएँ: जो न समांतर हों, न प्रतिच्छेदी (भिन्न तलों में स्थित)।
- r = a₁ + λb₁ और r = a₂ + μb₂ (समांतर नहीं) के लिए: d = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂|।
- समांतर रेखाएँ r = a₁ + λb और r = a₂ + μb: d = |b × (a₂ − a₁)| / |b|। पहले समांतरता जाँचिए: यदि b₂, b₁ का गुणज है, तो यही सूत्र।
- यदि d = 0, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
- कार्तीय रेखाएँ: (x − x₁)/a₁ = (y − y₁)/b₁ = (z − z₁)/c₁ से बिंदु (x₁, y₁, z₁) और दिशा (a₁, b₁, c₁) मिलती है। पहले सदिश में बदलिए।
- Skew lines: jo na parallel hon, na intersect karein (alag planes mein hoti hain).
- r = a₁ + λb₁ aur r = a₂ + μb₂ (parallel nahi) ke liye: d = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂|.
- Parallel lines r = a₁ + λb aur r = a₂ + μb: d = |b × (a₂ − a₁)| / |b|. Pehle parallel check kijiye: agar b₂, b₁ ka multiple hai, toh yahi formula.
- Agar d = 0, toh lines intersect karti hain.
- Cartesian lines: (x − x₁)/a₁ = (y − y₁)/b₁ = (z − z₁)/c₁ se point (x₁, y₁, z₁) aur direction (a₁, b₁, c₁) milti hai. Pehle vectors mein badaliye.
Find the shortest distance between the lines r = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ(î − ĵ + k̂) and r = (2î − ĵ + k̂) + μ(2î + ĵ − k̂).रेखाओं r = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ(î − ĵ + k̂) और r = (2î − ĵ + k̂) + μ(2î + ĵ − k̂) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।Lines r = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ(î − ĵ + k̂) aur r = (2î − ĵ + k̂) + μ(2î + ĵ − k̂) ke beech shortest distance nikaliye.
- a₁ = î + 2ĵ + 3k̂, b₁ = î − ĵ + k̂; a₂ = 2î − ĵ + k̂, b₂ = 2î + ĵ − k̂
- a₂ − a₁ = î − 3ĵ − 2k̂
- b₁ × b₂ = | î ĵ k̂ ; 1 −1 1 ; 2 1 −1 | = (1 − 1)î − (−1 − 2)ĵ + (1 + 2)k̂ = 0î + 3ĵ + 3k̂
- |b₁ × b₂| = √(0 + 9 + 9) = 3√2
- (b₁ × b₂)·(a₂ − a₁) = 0(1) + 3(−3) + 3(−2) = −15
- d = |−15|/(3√2) = 5/√2 = 5√2/2 units.
- a₁ = î + 2ĵ + 3k̂, b₁ = î − ĵ + k̂; a₂ = 2î − ĵ + k̂, b₂ = 2î + ĵ − k̂
- a₂ − a₁ = î − 3ĵ − 2k̂
- b₁ × b₂ = | î ĵ k̂ ; 1 −1 1 ; 2 1 −1 | = (1 − 1)î − (−1 − 2)ĵ + (1 + 2)k̂ = 0î + 3ĵ + 3k̂
- |b₁ × b₂| = √(0 + 9 + 9) = 3√2
- (b₁ × b₂)·(a₂ − a₁) = 0(1) + 3(−3) + 3(−2) = −15
- d = |−15|/(3√2) = 5/√2 = 5√2/2 इकाई।
- a₁ = î + 2ĵ + 3k̂, b₁ = î − ĵ + k̂; a₂ = 2î − ĵ + k̂, b₂ = 2î + ĵ − k̂
- a₂ − a₁ = î − 3ĵ − 2k̂
- b₁ × b₂ = | î ĵ k̂ ; 1 −1 1 ; 2 1 −1 | = (1 − 1)î − (−1 − 2)ĵ + (1 + 2)k̂ = 0î + 3ĵ + 3k̂
- |b₁ × b₂| = √(0 + 9 + 9) = 3√2
- (b₁ × b₂)·(a₂ − a₁) = 0(1) + 3(−3) + 3(−2) = −15
- d = |−15|/(3√2) = 5/√2 = 5√2/2 units.
Find the distance between the parallel lines r = (î + ĵ) + λ(2î − ĵ + k̂) and r = (2î + ĵ − k̂) + μ(4î − 2ĵ + 2k̂).समांतर रेखाओं r = (î + ĵ) + λ(2î − ĵ + k̂) और r = (2î + ĵ − k̂) + μ(4î − 2ĵ + 2k̂) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।Parallel lines r = (î + ĵ) + λ(2î − ĵ + k̂) aur r = (2î + ĵ − k̂) + μ(4î − 2ĵ + 2k̂) ke beech ki doori nikaliye.
- 4î − 2ĵ + 2k̂ = 2(2î − ĵ + k̂), so the lines are parallel with b = 2î − ĵ + k̂.
- a₂ − a₁ = (2î + ĵ − k̂) − (î + ĵ) = î + 0ĵ − k̂
- b × (a₂ − a₁) = | î ĵ k̂ ; 2 −1 1 ; 1 0 −1 | = (1 − 0)î − (−2 − 1)ĵ + (0 + 1)k̂ = î + 3ĵ + k̂
- |b × (a₂ − a₁)| = √11, |b| = √6
- d = √11/√6 = √66/6 units.
- 4î − 2ĵ + 2k̂ = 2(2î − ĵ + k̂), अतः रेखाएँ समांतर हैं, b = 2î − ĵ + k̂।
- a₂ − a₁ = (2î + ĵ − k̂) − (î + ĵ) = î + 0ĵ − k̂
- b × (a₂ − a₁) = | î ĵ k̂ ; 2 −1 1 ; 1 0 −1 | = (1 − 0)î − (−2 − 1)ĵ + (0 + 1)k̂ = î + 3ĵ + k̂
- |b × (a₂ − a₁)| = √11, |b| = √6
- d = √11/√6 = √66/6 इकाई।
- 4î − 2ĵ + 2k̂ = 2(2î − ĵ + k̂), isliye lines parallel hain, b = 2î − ĵ + k̂.
- a₂ − a₁ = (2î + ĵ − k̂) − (î + ĵ) = î + 0ĵ − k̂
- b × (a₂ − a₁) = | î ĵ k̂ ; 2 −1 1 ; 1 0 −1 | = (1 − 0)î − (−2 − 1)ĵ + (0 + 1)k̂ = î + 3ĵ + k̂
- |b × (a₂ − a₁)| = √11, |b| = √6
- d = √11/√6 = √66/6 units.
💡 Write the formula first, then a₁, b₁, a₂, b₂ clearly in a list. Even if the arithmetic slips, the formula and setup earn most of the marks.पहले सूत्र लिखिए, फिर a₁, b₁, a₂, b₂ स्पष्ट सूची में। गणना में गलती हो जाए तब भी सूत्र और व्यवस्था से अधिकांश अंक मिलते हैं।Pehle formula likhiye, phir a₁, b₁, a₂, b₂ saaf list mein. Calculation mein galti ho jaye tab bhi formula aur setup se zyadatar marks milte hain.
Direction cosines and direction ratios of a lineरेखा की दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपातLine ke direction cosines aur direction ratios
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- If a line makes angles α, β, γ with the x, y, z axes, its direction cosines are l = cos α, m = cos β, n = cos γ, and l² + m² + n² = 1.
- Direction ratios a, b, c are any numbers proportional to l, m, n. From d.r.: l = a/√(a² + b² + c²), and similarly m, n (± sign).
- D.r. of the line joining P(x₁, y₁, z₁) and Q(x₂, y₂, z₂): x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁.
- D.c. of the x-axis: (1, 0, 0); y-axis: (0, 1, 0); z-axis: (0, 0, 1).
- Angles 90°, 60°, 30° with the axes → d.c. = (0, 1/2, √3/2). D.r. 3, −2, −6 → d.c. = 3/7, −2/7, −6/7.
- यदि रेखा x, y, z अक्षों से α, β, γ कोण बनाती है, तो उसकी दिक्-कोसाइन l = cos α, m = cos β, n = cos γ हैं, तथा l² + m² + n² = 1।
- दिक्-अनुपात a, b, c, l, m, n के समानुपाती कोई भी संख्याएँ हैं। दिक्-अनुपात से: l = a/√(a² + b² + c²), इसी प्रकार m, n (± चिह्न)।
- P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात: x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁।
- x-अक्ष की दिक्-कोसाइन: (1, 0, 0); y-अक्ष: (0, 1, 0); z-अक्ष: (0, 0, 1)।
- अक्षों से 90°, 60°, 30° → दिक्-कोसाइन = (0, 1/2, √3/2)। दिक्-अनुपात 3, −2, −6 → दिक्-कोसाइन = 3/7, −2/7, −6/7।
- Agar line x, y, z axes se α, β, γ angles banati hai, toh uske direction cosines l = cos α, m = cos β, n = cos γ hain, aur l² + m² + n² = 1.
- Direction ratios a, b, c, l, m, n ke proportional koi bhi numbers hain. D.r. se: l = a/√(a² + b² + c²), isi tarah m, n (± sign).
- P(x₁, y₁, z₁) aur Q(x₂, y₂, z₂) ko milane wali line ke direction ratios: x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁.
- x-axis ke direction cosines: (1, 0, 0); y-axis: (0, 1, 0); z-axis: (0, 0, 1).
- Axes se 90°, 60°, 30° → d.c. = (0, 1/2, √3/2). D.r. 3, −2, −6 → d.c. = 3/7, −2/7, −6/7.
The direction ratios of a line are 2, −1, −2. Find its direction cosines.किसी रेखा के दिक्-अनुपात 2, −1, −2 हैं। उसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।Ek line ke direction ratios 2, −1, −2 hain. Uske direction cosines nikaliye.
- √(2² + (−1)² + (−2)²) = √9 = 3
- Direction cosines: 2/3, −1/3, −2/3 (or −2/3, 1/3, 2/3).
- √(2² + (−1)² + (−2)²) = √9 = 3
- दिक्-कोसाइन: 2/3, −1/3, −2/3 (या −2/3, 1/3, 2/3)।
- √(2² + (−1)² + (−2)²) = √9 = 3
- Direction cosines: 2/3, −1/3, −2/3 (ya −2/3, 1/3, 2/3).
Vector and Cartesian equation of a lineरेखा का सदिश और कार्तीय समीकरणLine ki vector aur Cartesian equation
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- Line through point a (position vector) parallel to b: r = a + λb.
- Cartesian: through (x₁, y₁, z₁) with d.r. a, b, c: (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c.
- Through two points a and b: r = a + λ(b − a).
- Convert: (x − 5)/3 = (y + 4)/7 = (z − 6)/2 → point (5, −4, 6), direction (3, 7, 2) → r = (5î − 4ĵ + 6k̂) + λ(3î + 7ĵ + 2k̂).
- Careful with signs: (x + 3)/2 means the point has x = −3. If the form is (1 − x)/3, rewrite it as (x − 1)/(−3) first.
- बिंदु a (स्थिति सदिश) से होकर b के समांतर रेखा: r = a + λb।
- कार्तीय: (x₁, y₁, z₁) से होकर, दिक्-अनुपात a, b, c: (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c।
- दो बिंदुओं a और b से होकर: r = a + λ(b − a)।
- रूपांतरण: (x − 5)/3 = (y + 4)/7 = (z − 6)/2 → बिंदु (5, −4, 6), दिशा (3, 7, 2) → r = (5î − 4ĵ + 6k̂) + λ(3î + 7ĵ + 2k̂)।
- चिह्नों का ध्यान रखें: (x + 3)/2 का अर्थ बिंदु का x = −3। यदि रूप (1 − x)/3 हो, तो पहले (x − 1)/(−3) लिखिए।
- Point a (position vector) se hokar b ke parallel line: r = a + λb.
- Cartesian: (x₁, y₁, z₁) se hokar, d.r. a, b, c: (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c.
- Do points a aur b se hokar: r = a + λ(b − a).
- Convert: (x − 5)/3 = (y + 4)/7 = (z − 6)/2 → point (5, −4, 6), direction (3, 7, 2) → r = (5î − 4ĵ + 6k̂) + λ(3î + 7ĵ + 2k̂).
- Signs ka dhyaan rakhiye: (x + 3)/2 ka matlab point ka x = −3. Agar form (1 − x)/3 ho, toh pehle (x − 1)/(−3) likhiye.
Find the vector and Cartesian equations of the line through (2, −1, 4) parallel to î + 2ĵ − 3k̂.(2, −1, 4) से होकर î + 2ĵ − 3k̂ के समांतर रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।(2, −1, 4) se hokar î + 2ĵ − 3k̂ ke parallel line ki vector aur Cartesian equations nikaliye.
- a = 2î − ĵ + 4k̂, b = î + 2ĵ − 3k̂
- Vector form: r = (2î − ĵ + 4k̂) + λ(î + 2ĵ − 3k̂).
- Cartesian form: (x − 2)/1 = (y + 1)/2 = (z − 4)/(−3).
- a = 2î − ĵ + 4k̂, b = î + 2ĵ − 3k̂
- सदिश रूप: r = (2î − ĵ + 4k̂) + λ(î + 2ĵ − 3k̂)।
- कार्तीय रूप: (x − 2)/1 = (y + 1)/2 = (z − 4)/(−3)।
- a = 2î − ĵ + 4k̂, b = î + 2ĵ − 3k̂
- Vector form: r = (2î − ĵ + 4k̂) + λ(î + 2ĵ − 3k̂).
- Cartesian form: (x − 2)/1 = (y + 1)/2 = (z − 4)/(−3).
Perpendicular and parallel lines; find kलंबवत और समांतर रेखाएँ; k ज्ञात करनाPerpendicular aur parallel lines; k nikaalna
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- Lines with d.r. (a₁, b₁, c₁) and (a₂, b₂, c₂) are perpendicular ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.
- Parallel ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- Make the coefficients of x, y, z equal to 1 before reading d.r.: (7y − 14)/2p = (y − 2)/(2p/7).
- दिक्-अनुपात (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) वाली रेखाएँ लंबवत ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0।
- समांतर ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
- दिक्-अनुपात पढ़ने से पहले x, y, z के गुणांक 1 बनाइए: (7y − 14)/2p = (y − 2)/(2p/7)।
- D.r. (a₁, b₁, c₁) aur (a₂, b₂, c₂) wali lines perpendicular ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.
- Parallel ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- D.r. padhne se pehle x, y, z ke coefficients 1 banaiye: (7y − 14)/2p = (y − 2)/(2p/7).
Find k if the lines (x − 1)/2 = (y − 2)/k = (z − 3)/3 and (x − 1)/k = (y − 1)/2 = (z − 6)/(−4) are perpendicular.k ज्ञात कीजिए यदि रेखाएँ (x − 1)/2 = (y − 2)/k = (z − 3)/3 और (x − 1)/k = (y − 1)/2 = (z − 6)/(−4) लंबवत हैं।k nikaliye agar lines (x − 1)/2 = (y − 2)/k = (z − 3)/3 aur (x − 1)/k = (y − 1)/2 = (z − 6)/(−4) perpendicular hain.
- D.r.: (2, k, 3) and (k, 2, −4).
- 2·k + k·2 + 3·(−4) = 0 ⇒ 4k − 12 = 0
- Answer: k = 3.
- दिक्-अनुपात: (2, k, 3) तथा (k, 2, −4)।
- 2·k + k·2 + 3·(−4) = 0 ⇒ 4k − 12 = 0
- उत्तर: k = 3।
- D.r.: (2, k, 3) aur (k, 2, −4).
- 2·k + k·2 + 3·(−4) = 0 ⇒ 4k − 12 = 0
- Answer: k = 3.
Angle between two linesदो रेखाओं के बीच का कोणDo lines ke beech ka angle
Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal- cos θ = |a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)·√(a₂² + b₂² + c₂²)), using only the direction vectors b₁, b₂.
- The points a₁, a₂ are not used for the angle.
- cos θ = |a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)·√(a₂² + b₂² + c₂²)), केवल दिशा सदिशों b₁, b₂ का प्रयोग।
- कोण के लिए बिंदु a₁, a₂ का प्रयोग नहीं होता।
- cos θ = |a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)·√(a₂² + b₂² + c₂²)), sirf direction vectors b₁, b₂ ka use.
- Angle ke liye points a₁, a₂ use nahi hote.
Find the angle between r = (î + ĵ) + λ(2î + 2ĵ + k̂) and r = (3î − k̂) + μ(4î + ĵ + 8k̂).r = (î + ĵ) + λ(2î + 2ĵ + k̂) और r = (3î − k̂) + μ(4î + ĵ + 8k̂) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।r = (î + ĵ) + λ(2î + 2ĵ + k̂) aur r = (3î − k̂) + μ(4î + ĵ + 8k̂) ke beech ka angle nikaliye.
- b₁ = 2î + 2ĵ + k̂, b₂ = 4î + ĵ + 8k̂
- b₁·b₂ = 8 + 2 + 8 = 18; |b₁| = √9 = 3; |b₂| = √81 = 9
- cos θ = 18/(3 × 9) = 2/3
- Answer: θ = cos⁻¹(2/3).
- b₁ = 2î + 2ĵ + k̂, b₂ = 4î + ĵ + 8k̂
- b₁·b₂ = 8 + 2 + 8 = 18; |b₁| = √9 = 3; |b₂| = √81 = 9
- cos θ = 18/(3 × 9) = 2/3
- उत्तर: θ = cos⁻¹(2/3)।
- b₁ = 2î + 2ĵ + k̂, b₂ = 4î + ĵ + 8k̂
- b₁·b₂ = 8 + 2 + 8 = 18; |b₁| = √9 = 3; |b₂| = √81 = 9
- cos θ = 18/(3 × 9) = 2/3
- Answer: θ = cos⁻¹(2/3).
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
📐 Why d = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂|d = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂| क्योंd = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)| / |b₁ × b₂| kyon
- The shortest-distance segment PQ is perpendicular to both lines, so it is along b₁ × b₂. Unit vector along it: n̂ = (b₁ × b₂)/|b₁ × b₂|.
- Take S (position a₁) on line 1 and T (position a₂) on line 2. ST = a₂ − a₁.
- PQ is the projection of ST on n̂: d = |ST·n̂| = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|.
- For parallel lines b₁ × b₂ = 0, so use d = |b × (a₂ − a₁)|/|b| instead.
- न्यूनतम दूरी वाला खंड PQ दोनों रेखाओं पर लंबवत है, अतः b₁ × b₂ की दिशा में है। इसका मात्रक सदिश: n̂ = (b₁ × b₂)/|b₁ × b₂|।
- रेखा 1 पर S (स्थिति a₁) और रेखा 2 पर T (स्थिति a₂) लीजिए। ST = a₂ − a₁।
- PQ, ST का n̂ पर प्रक्षेप है: d = |ST·n̂| = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|।
- समांतर रेखाओं में b₁ × b₂ = 0, अतः d = |b × (a₂ − a₁)|/|b| लीजिए।
- Shortest distance wala segment PQ dono lines par perpendicular hai, isliye b₁ × b₂ ki disha mein hai. Uska unit vector: n̂ = (b₁ × b₂)/|b₁ × b₂|.
- Line 1 par S (position a₁) aur line 2 par T (position a₂) lijiye. ST = a₂ − a₁.
- PQ, ST ka n̂ par projection hai: d = |ST·n̂| = |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|.
- Parallel lines mein b₁ × b₂ = 0, isliye d = |b × (a₂ − a₁)|/|b| lijiye.
Show that the line through (1, −1, 2) and (3, 4, −2) is perpendicular to the line through (0, 3, 2) and (3, 5, 6).दर्शाइए कि (1, −1, 2) और (3, 4, −2) से होकर जाने वाली रेखा, (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा पर लंबवत है।Dikhaiye ki (1, −1, 2) aur (3, 4, −2) se hokar jaane wali line, (0, 3, 2) aur (3, 5, 6) se hokar jaane wali line par perpendicular hai.
- D.r. of first line: 3 − 1, 4 + 1, −2 − 2 = 2, 5, −4. D.r. of second: 3, 2, 4.
- 2·3 + 5·2 + (−4)·4 = 6 + 10 − 16 = 0
- Hence the lines are perpendicular.
- पहली रेखा के दिक्-अनुपात: 3 − 1, 4 + 1, −2 − 2 = 2, 5, −4। दूसरी के: 3, 2, 4।
- 2·3 + 5·2 + (−4)·4 = 6 + 10 − 16 = 0
- अतः रेखाएँ लंबवत हैं।
- Pehli line ke d.r.: 3 − 1, 4 + 1, −2 − 2 = 2, 5, −4. Doosri ke: 3, 2, 4.
- 2·3 + 5·2 + (−4)·4 = 6 + 10 − 16 = 0
- Isliye lines perpendicular hain.
Find p so that the lines (1 − x)/3 = (7y − 14)/2p = (z − 3)/2 and (7 − 7x)/3p = (y − 5)/1 = (6 − z)/5 are perpendicular.p ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ (1 − x)/3 = (7y − 14)/2p = (z − 3)/2 और (7 − 7x)/3p = (y − 5)/1 = (6 − z)/5 लंबवत हों।p nikaliye taaki lines (1 − x)/3 = (7y − 14)/2p = (z − 3)/2 aur (7 − 7x)/3p = (y − 5)/1 = (6 − z)/5 perpendicular hon.
- Standard form of line 1: (x − 1)/(−3) = (y − 2)/(2p/7) = (z − 3)/2 → d.r. (−3, 2p/7, 2).
- Line 2: (x − 1)/(−3p/7) = (y − 5)/1 = (z − 6)/(−5) → d.r. (−3p/7, 1, −5).
- (−3)(−3p/7) + (2p/7)(1) + (2)(−5) = 0 ⇒ 9p/7 + 2p/7 = 10 ⇒ 11p/7 = 10
- Answer: p = 70/11.
- रेखा 1 का मानक रूप: (x − 1)/(−3) = (y − 2)/(2p/7) = (z − 3)/2 → दिक्-अनुपात (−3, 2p/7, 2)।
- रेखा 2: (x − 1)/(−3p/7) = (y − 5)/1 = (z − 6)/(−5) → दिक्-अनुपात (−3p/7, 1, −5)।
- (−3)(−3p/7) + (2p/7)(1) + (2)(−5) = 0 ⇒ 9p/7 + 2p/7 = 10 ⇒ 11p/7 = 10
- उत्तर: p = 70/11।
- Line 1 ka standard form: (x − 1)/(−3) = (y − 2)/(2p/7) = (z − 3)/2 → d.r. (−3, 2p/7, 2).
- Line 2: (x − 1)/(−3p/7) = (y − 5)/1 = (z − 6)/(−5) → d.r. (−3p/7, 1, −5).
- (−3)(−3p/7) + (2p/7)(1) + (2)(−5) = 0 ⇒ 9p/7 + 2p/7 = 10 ⇒ 11p/7 = 10
- Answer: p = 70/11.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Reading d.r. from (1 − x)/3 as 3 → it is −3 (rewrite as (x − 1)/(−3)).
- Using the skew formula for parallel lines (gives 0/0) → check parallel first.
- Forgetting the modulus → distance is never negative.
- Taking (x + 3) as point x = 3 → the point is x = −3.
- (1 − x)/3 से दिक्-अनुपात 3 पढ़ना → यह −3 है ((x − 1)/(−3) लिखिए)।
- समांतर रेखाओं के लिए विषमतलीय सूत्र (0/0 देता है) → पहले समांतरता जाँचिए।
- मापांक भूलना → दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती।
- (x + 3) से बिंदु x = 3 लेना → बिंदु x = −3 है।
- (1 − x)/3 se d.r. 3 padhna → yeh −3 hai ((x − 1)/(−3) likhiye).
- Parallel lines ke liye skew formula (0/0 deta hai) → pehle parallel check kijiye.
- Modulus bhoolna → distance kabhi negative nahi hoti.
- (x + 3) se point x = 3 lena → point x = −3 hai.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Foot of perpendicular from a point P to a line: take a general point Q = a + λb on the line, set PQ·b = 0, solve for λ.
- Point of intersection of two lines: equate general points of both lines and solve two of the three equations; check the third.
- बिंदु P से रेखा पर लंब का पाद: रेखा पर व्यापक बिंदु Q = a + λb लीजिए, PQ·b = 0 रखकर λ ज्ञात कीजिए।
- दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु: दोनों रेखाओं के व्यापक बिंदु बराबर कीजिए, तीन में से दो समीकरण हल कीजिए; तीसरा जाँचिए।
- Point P se line par perpendicular ka foot: line par general point Q = a + λb lijiye, PQ·b = 0 rakhkar λ nikaliye.
- Do lines ka intersection point: dono lines ke general points barabar kijiye, teen mein se do equations solve kijiye; teesra check kijiye.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- l² + m² + n² = 1
- l = a/√(a² + b² + c²)
- r = a + λb
- (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c
- cos θ = |b₁·b₂|/(|b₁||b₂|)
- ⊥ lines: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0; ∥ lines: ratios equal
- SD (skew) = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)|/|b₁ × b₂|
- SD (parallel) = |b × (a₂ − a₁)|/|b|
- SD = 0 ⇒ lines intersect
- l² + m² + n² = 1
- l = a/√(a² + b² + c²)
- r = a + λb
- (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c
- cos θ = |b₁·b₂|/(|b₁||b₂|)
- ⊥ रेखाएँ: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0; ∥ रेखाएँ: अनुपात बराबर
- SD (skew) = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)|/|b₁ × b₂|
- SD (parallel) = |b × (a₂ − a₁)|/|b|
- SD = 0 ⇒ रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं
- l² + m² + n² = 1
- l = a/√(a² + b² + c²)
- r = a + λb
- (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c
- cos θ = |b₁·b₂|/(|b₁||b₂|)
- ⊥ lines: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0; ∥ lines: ratios barabar
- SD (skew) = |(b₁ × b₂)·(a₂ − a₁)|/|b₁ × b₂|
- SD (parallel) = |b × (a₂ − a₁)|/|b|
- SD = 0 ⇒ lines intersect karti hain
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- The plane (equation of a plane, angle between planes, distance of a point from a plane, plane through intersection of two planes, coplanarity) — removed from the rationalised NCERT book (2023-24); the UPMSP 2026-27 3D syllabus lists only lines. Older papers asked it; skip it for the current exam.समतल (समतल का समीकरण, समतलों के बीच कोण, बिंदु की समतल से दूरी, दो समतलों के प्रतिच्छेदन से होकर समतल, समतलीयता) — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक (2023-24) से हटाया गया; UPMSP 2026-27 के त्रिविमीय पाठ्यक्रम में केवल रेखाएँ हैं। पुराने प्रश्नपत्रों में पूछा गया था; वर्तमान परीक्षा के लिए छोड़ दीजिए।Plane (plane ki equation, planes ke beech angle, point ki plane se doori, do planes ke intersection se hokar plane, coplanarity) — rationalised NCERT book (2023-24) se hata diya gaya; UPMSP 2026-27 3D syllabus mein sirf lines hain. Purane papers mein poocha gaya tha; current exam ke liye chhod dijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.