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Probabilityप्रायिकताProbability

Class 12 Maths · Chapter 13 · UP Boardकक्षा 12 गणित · अध्याय 13 · यूपी बोर्डClass 12 Maths · Chapter 13 · UP Board

Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.

📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 38 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 38 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 38 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026)

🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye

Ranked by how many years each topic came in the paper. Tap a topic to jump to its notes.हर टॉपिक कितने वर्ष पेपर में आया, उसी क्रम में। टॉपिक पर टैप करें, नोट्स पर पहुँचें।Har topic kitne saal paper mein aaya, usi order mein. Topic par tap kijiye, notes par pahunchiye.

1Independent eventsस्वतंत्र घटनाएँIndependent events🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 5अंक: 1, 2, 5Marks: 1, 2, 52Conditional probability P(A|B)सप्रतिबंध प्रायिकता P(A|B)Conditional probability P(A|B)🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 5, 8अंक: 1, 2, 5, 8Marks: 1, 2, 5, 83Basic probability facts (1-mark)प्रायिकता के मूल तथ्य (1 अंक)Basic probability facts (1 mark)🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 5अंक: 1, 2, 5Marks: 1, 2, 54Multiplication theoremगुणन प्रमेयMultiplication theorem🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 5अंक: 1, 5Marks: 1, 55Bayes' theoremबेज़ प्रमेयBayes' theoremAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 5, 8अंक: 5, 8Marks: 5, 86Theorem of total probabilityसंपूर्ण प्रायिकता प्रमेयTotal probability theoremAsked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 2, 4, 5अंक: 2, 4, 5Marks: 2, 4, 5
Show all 8 topicsसभी 8 टॉपिक देखेंSaare 8 topics dekhiye
7Random variable, probability distribution, mean/varianceAsked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 5अंक: 5Marks: 5
8Bernoulli trials and binomial distributionAsked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 5अंक: 5Marks: 5
🟢 PASSपासPASS

Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

Start with two formulas: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) and, for independent events, P(A∩B) = P(A)·P(B). These two give most of the marks of this chapter — short 1-2 mark questions and the 5-mark 'at least one solves it' type. Then learn Bayes' theorem as a fixed 4-line method; it comes as the long question.दो सूत्रों से शुरू कीजिए: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) और स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A∩B) = P(A)·P(B)। इन दो से इस अध्याय के अधिकांश अंक आते हैं — 1-2 अंक के छोटे प्रश्न और 5 अंक का 'कम से कम एक हल करे' प्रकार। फिर बेज़ प्रमेय को 4 पंक्तियों की निश्चित विधि के रूप में सीखिए; यह बड़े प्रश्न के रूप में आता है।Do formulas se shuru kijiye: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) aur independent events ke liye P(A∩B) = P(A)·P(B). In do se is chapter ke zyadatar marks aate hain — 1-2 marks ke chhote sawaal aur 5 marks ka 'kam se kam ek solve kare' type. Phir Bayes' theorem ko 4 lines ke fixed method ki tarah seekhiye; yeh bade sawaal ke roop mein aata hai.

🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum

  • Learn P(A|B) = P(A∩B)/P(B) and the addition rule; do one 'sum of two dice is given' question.
  • Learn independent: P(A∩B) = P(A)P(B) and 'at least one' = 1 − product of P(not). Do the three-students question.
  • Do one 'two balls without replacement' question (multiplication theorem).
  • Learn the Bayes method with one 2- or 3-bag question.
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B) और योग नियम याद कीजिए; 'दो पासों का योग दिया है' वाला एक प्रश्न कीजिए।
  • स्वतंत्र: P(A∩B) = P(A)P(B) और 'कम से कम एक' = 1 − P(नहीं) का गुणनफल याद कीजिए। तीन विद्यार्थियों वाला प्रश्न कीजिए।
  • 'बिना प्रतिस्थापन दो गेंदें' वाला एक प्रश्न कीजिए (गुणन प्रमेय)।
  • 2 या 3 थैलों वाले एक प्रश्न के साथ बेज़ की विधि सीखिए।
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B) aur addition rule yaad kijiye; 'do dice ka sum diya hai' wala ek sawaal kijiye.
  • Independent: P(A∩B) = P(A)P(B) aur 'kam se kam ek' = 1 − P(nahi) ka product yaad kijiye. Teen students wala sawaal kijiye.
  • 'Bina replacement do balls' wala ek sawaal kijiye (multiplication theorem).
  • 2 ya 3 bags wale ek sawaal ke saath Bayes ka method seekhiye.

🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts

  • Probability of an impossible event is 0.
  • If 3P(A) = P(B) = 5/13 and P(A|B) = 2/5, then P(A∪B) = 14/39.
  • If P(A) = 0.8, P(B) = 0.5, P(B|A) = 0.4, then P(A∩B) = 0.32 and P(A∪B) = 0.98.
  • If P(A) = 7/13, P(B) = 9/13, P(A∩B) = 4/13: P(A∪B) = 12/13 and P(A|B) = 4/9.
  • Probability of 53 Tuesdays in a leap year = 2/7 (in a non-leap year = 1/7).
  • For independent A, B: P(A|B) = P(A).
  • असंभव घटना की प्रायिकता 0 है।
  • यदि 3P(A) = P(B) = 5/13 और P(A|B) = 2/5, तो P(A∪B) = 14/39।
  • यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5, P(B|A) = 0.4, तो P(A∩B) = 0.32 और P(A∪B) = 0.98।
  • यदि P(A) = 7/13, P(B) = 9/13, P(A∩B) = 4/13: P(A∪B) = 12/13 और P(A|B) = 4/9।
  • अधिवर्ष में 53 मंगलवार की प्रायिकता = 2/7 (साधारण वर्ष में = 1/7)।
  • स्वतंत्र A, B के लिए: P(A|B) = P(A)।
  • Impossible event ki probability 0 hai.
  • Agar 3P(A) = P(B) = 5/13 aur P(A|B) = 2/5, toh P(A∪B) = 14/39.
  • Agar P(A) = 0.8, P(B) = 0.5, P(B|A) = 0.4, toh P(A∩B) = 0.32 aur P(A∪B) = 0.98.
  • Agar P(A) = 7/13, P(B) = 9/13, P(A∩B) = 4/13: P(A∪B) = 12/13 aur P(A|B) = 4/9.
  • Leap year mein 53 Tuesdays ki probability = 2/7 (normal year mein = 1/7).
  • Independent A, B ke liye: P(A|B) = P(A).
🟡 SCOREस्कोरSCORE

The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.

Independent eventsस्वतंत्र घटनाएँIndependent events

🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
  • A and B are independent if P(A∩B) = P(A)·P(B), i.e. one happening does not change the probability of the other: P(A|B) = P(A).
  • If A, B are independent, so are A and B′, A′ and B, A′ and B′.
  • 'At least one' = 1 − P(none). For independent A, B, C: P(at least one) = 1 − P(A′)·P(B′)·P(C′).
  • Independent ≠ mutually exclusive. Mutually exclusive means P(A∩B) = 0; two events with non-zero probabilities cannot be both.
  • Drawing one ball from each of two different bags: the draws are independent, so multiply.
  • A और B स्वतंत्र हैं यदि P(A∩B) = P(A)·P(B), अर्थात एक के घटित होने से दूसरे की प्रायिकता नहीं बदलती: P(A|B) = P(A)।
  • यदि A, B स्वतंत्र हैं, तो A और B′, A′ और B, A′ और B′ भी स्वतंत्र हैं।
  • 'कम से कम एक' = 1 − P(कोई नहीं)। स्वतंत्र A, B, C के लिए: P(कम से कम एक) = 1 − P(A′)·P(B′)·P(C′)।
  • स्वतंत्र ≠ परस्पर अपवर्जी। परस्पर अपवर्जी का अर्थ P(A∩B) = 0; शून्येतर प्रायिकता वाली दो घटनाएँ दोनों नहीं हो सकतीं।
  • दो भिन्न थैलों में से प्रत्येक से एक गेंद निकालना: निकाले जाने स्वतंत्र हैं, अतः गुणा कीजिए।
  • A aur B independent hain agar P(A∩B) = P(A)·P(B), yaani ek ke hone se doosre ki probability nahi badalti: P(A|B) = P(A).
  • Agar A, B independent hain, toh A aur B′, A′ aur B, A′ aur B′ bhi independent hain.
  • 'Kam se kam ek' = 1 − P(koi nahi). Independent A, B, C ke liye: P(kam se kam ek) = 1 − P(A′)·P(B′)·P(C′).
  • Independent ≠ mutually exclusive. Mutually exclusive ka matlab P(A∩B) = 0; non-zero probability wali do events dono nahi ho sakti.
  • Do alag bags mein se har ek se ek ball nikaalna: draws independent hain, isliye multiply kijiye.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
P(A∩B) = P(A)·P(B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B)
P(at least one) = 1 − P(A′)P(B′)P(C′)
P(A′) = 1 − P(A)
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Three students A, B, C can solve a problem with probabilities 1/2, 1/3 and 1/4. If all try independently, find the probability that the problem is solved.तीन विद्यार्थी A, B, C किसी प्रश्न को क्रमशः 1/2, 1/3 और 1/4 प्रायिकता से हल कर सकते हैं। सभी स्वतंत्र रूप से प्रयास करें, तो प्रश्न हल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Teen students A, B, C ek sawaal ko 1/2, 1/3 aur 1/4 probability se solve kar sakte hain. Sab independently try karein, toh sawaal solve hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • P(A′) = 1 − 1/2 = 1/2, P(B′) = 1 − 1/3 = 2/3, P(C′) = 1 − 1/4 = 3/4
  • Not solved means none solves it: P(A′∩B′∩C′) = (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4 (independent).
  • P(solved) = P(at least one solves) = 1 − 1/4 = 3/4.
  • P(A′) = 1 − 1/2 = 1/2, P(B′) = 1 − 1/3 = 2/3, P(C′) = 1 − 1/4 = 3/4
  • हल न होने का अर्थ कोई हल न करे: P(A′∩B′∩C′) = (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4 (स्वतंत्र)।
  • P(हल होना) = P(कम से कम एक हल करे) = 1 − 1/4 = 3/4।
  • P(A′) = 1 − 1/2 = 1/2, P(B′) = 1 − 1/3 = 2/3, P(C′) = 1 − 1/4 = 3/4
  • Solve na hone ka matlab koi solve na kare: P(A′∩B′∩C′) = (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4 (independent).
  • P(solve hona) = P(kam se kam ek solve kare) = 1 − 1/4 = 3/4.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Bag I has 3 white and 2 black balls; bag II has 2 white and 4 black balls. One ball is drawn from each bag. Find the probability that both are black.थैला I में 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं; थैला II में 2 सफेद और 4 काली। प्रत्येक थैले से एक गेंद निकाली जाती है। दोनों के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Bag I mein 3 white aur 2 black balls hain; bag II mein 2 white aur 4 black. Har bag se ek ball nikaali jaati hai. Dono ke black hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • P(black from I) = 2/5, P(black from II) = 4/6 = 2/3
  • Draws are independent: P(both black) = (2/5)(2/3) = 4/15.
  • P(black from I) = 2/5, P(black from II) = 4/6 = 2/3
  • निकाले जाने स्वतंत्र हैं: P(दोनों काली) = (2/5)(2/3) = 4/15।
  • P(black from I) = 2/5, P(black from II) = 4/6 = 2/3
  • Draws independent hain: P(dono black) = (2/5)(2/3) = 4/15.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

A and B are independent with P(A) = 0.3 and P(B) = 0.4. Find P(A∩B), P(A∪B) and P(A′∩B′).A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4। P(A∩B), P(A∪B) और P(A′∩B′) ज्ञात कीजिए।A aur B independent hain, P(A) = 0.3 aur P(B) = 0.4. P(A∩B), P(A∪B) aur P(A′∩B′) nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • P(A∩B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
  • P(A∪B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58
  • P(A′∩B′) = P(A′)·P(B′) = 0.7 × 0.6 = 0.42 (= 1 − P(A∪B))
  • P(A∩B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
  • P(A∪B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58
  • P(A′∩B′) = P(A′)·P(B′) = 0.7 × 0.6 = 0.42 (= 1 − P(A∪B))
  • P(A∩B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
  • P(A∪B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58
  • P(A′∩B′) = P(A′)·P(B′) = 0.7 × 0.6 = 0.42 (= 1 − P(A∪B))

💡 For 'at least one' questions, always go through the complement — it is shorter and safer.'कम से कम एक' वाले प्रश्नों में हमेशा पूरक घटना से हल कीजिए — यह छोटा और सुरक्षित है।'Kam se kam ek' wale sawaalon mein hamesha complement se solve kijiye — yeh chhota aur safe hai.

Conditional probability P(A|B)सप्रतिबंध प्रायिकता P(A|B)Conditional probability P(A|B)

🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0: the probability of A when we already know B has happened.
  • Dice/coin trick: the given condition B becomes the new sample space. Count outcomes of A inside B and divide by the outcomes of B.
  • P(S|F) = P(F|F) = 1; P(A′|B) = 1 − P(A|B).
  • Use with the addition rule: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0: A की प्रायिकता जब पता है कि B घटित हो चुकी है।
  • पासा/सिक्का युक्ति: दी गई शर्त B नया प्रतिदर्श समष्टि बन जाती है। B के अंदर A के परिणाम गिनिए और B के परिणामों से भाग दीजिए।
  • P(S|F) = P(F|F) = 1; P(A′|B) = 1 − P(A|B)।
  • योग नियम के साथ प्रयोग: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)।
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0: A ki probability jab pata hai ki B ho chuki hai.
  • Dice/coin trick: di gayi condition B naya sample space ban jaati hai. B ke andar A ke outcomes giniye aur B ke outcomes se divide kijiye.
  • P(S|F) = P(F|F) = 1; P(A′|B) = 1 − P(A|B).
  • Addition rule ke saath use: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

If P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 and P(A∩B) = 0.2, find P(A|B), P(B|A) and P(A∪B).यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 और P(A∩B) = 0.2, तो P(A|B), P(B|A) और P(A∪B) ज्ञात कीजिए।Agar P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 aur P(A∩B) = 0.2, toh P(A|B), P(B|A) aur P(A∪B) nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • P(A|B) = 0.2/0.3 = 2/3
  • P(B|A) = 0.2/0.6 = 1/3
  • P(A∪B) = 0.6 + 0.3 − 0.2 = 0.7
  • P(A|B) = 0.2/0.3 = 2/3
  • P(B|A) = 0.2/0.6 = 1/3
  • P(A∪B) = 0.6 + 0.3 − 0.2 = 0.7
  • P(A|B) = 0.2/0.3 = 2/3
  • P(B|A) = 0.2/0.6 = 1/3
  • P(A∪B) = 0.6 + 0.3 − 0.2 = 0.7
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

A die is thrown twice and the sum of the numbers is 8. Find the probability of getting 5 at least once.एक पासा दो बार फेंका जाता है और संख्याओं का योग 8 है। कम से कम एक बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek dice do baar phenka jaata hai aur numbers ka sum 8 hai. Kam se kam ek baar 5 aane ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • F = sum is 8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}: 5 outcomes, P(F) = 5/36.
  • E = 5 at least once. E∩F = {(3,5), (5,3)}: P(E∩F) = 2/36.
  • P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = (2/36)/(5/36) = 2/5
  • Answer: 2/5.
  • F = योग 8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}: 5 परिणाम, P(F) = 5/36।
  • E = कम से कम एक बार 5। E∩F = {(3,5), (5,3)}: P(E∩F) = 2/36।
  • P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = (2/36)/(5/36) = 2/5
  • उत्तर: 2/5।
  • F = sum 8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}: 5 outcomes, P(F) = 5/36.
  • E = kam se kam ek baar 5. E∩F = {(3,5), (5,3)}: P(E∩F) = 2/36.
  • P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = (2/36)/(5/36) = 2/5
  • Answer: 2/5.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Two dice are thrown and the numbers on them are different. Find the probability that the sum is 6.दो पासे फेंके जाते हैं और उन पर संख्याएँ भिन्न हैं। योग 6 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Do dice phenke jaate hain aur un par numbers alag hain. Sum 6 hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Outcomes with different numbers: 36 − 6 = 30.
  • Among them, sum 6: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1) — 4 outcomes ((3,3) is excluded).
  • Required probability = 4/30 = 2/15.
  • भिन्न संख्याओं वाले परिणाम: 36 − 6 = 30।
  • इनमें योग 6: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1) — 4 परिणाम ((3,3) शामिल नहीं)।
  • अभीष्ट प्रायिकता = 4/30 = 2/15।
  • Alag numbers wale outcomes: 36 − 6 = 30.
  • Inmein sum 6: (1,5), (2,4), (4,2), (5,1) — 4 outcomes ((3,3) shaamil nahi).
  • Required probability = 4/30 = 2/15.

💡 Always name the events first ('Let E = …, F = …'). Then write the formula P(E|F) = P(E∩F)/P(F) before putting numbers.पहले घटनाओं के नाम लिखिए ('माना E = …, F = …')। फिर संख्याएँ रखने से पहले सूत्र P(E|F) = P(E∩F)/P(F) लिखिए।Pehle events ke naam likhiye ('Maan lijiye E = …, F = …'). Phir numbers rakhne se pehle formula P(E|F) = P(E∩F)/P(F) likhiye.

Basic probability facts (1-mark)प्रायिकता के मूल तथ्य (1 अंक)Basic probability facts (1 mark)

🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1; P(impossible event) = 0; P(sure event) = 1; P(E′) = 1 − P(E).
  • P(not A and not B) = P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B). With P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(A∩B) = 1/8: P(A∪B) = 5/8, so the answer is 3/8.
  • Leap year: 366 days = 52 weeks + 2 days. The 2 extra days are one of 7 pairs (Sun-Mon, …, Sat-Sun). 53 Tuesdays: 2 pairs contain Tuesday → 2/7.
  • Cards: 52 cards, 4 suits of 13, 4 aces, 12 face cards (J, Q, K), 26 red and 26 black.
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1; P(असंभव घटना) = 0; P(निश्चित घटना) = 1; P(E′) = 1 − P(E)।
  • P(न A और न B) = P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B)। P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(A∩B) = 1/8 पर: P(A∪B) = 5/8, अतः उत्तर 3/8।
  • अधिवर्ष: 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन। 2 अतिरिक्त दिन 7 जोड़ों (रवि-सोम, …, शनि-रवि) में से एक। 53 मंगलवार: 2 जोड़ों में मंगलवार → 2/7।
  • ताश: 52 पत्ते, 13-13 के 4 सूट, 4 इक्के, 12 फेस कार्ड (J, Q, K), 26 लाल और 26 काले।
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1; P(impossible event) = 0; P(sure event) = 1; P(E′) = 1 − P(E).
  • P(na A aur na B) = P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B). P(A) = 1/2, P(B) = 1/4, P(A∩B) = 1/8 par: P(A∪B) = 5/8, isliye answer 3/8.
  • Leap year: 366 din = 52 hafte + 2 din. 2 extra din 7 pairs (Sun-Mon, …, Sat-Sun) mein se ek. 53 Tuesdays: 2 pairs mein Tuesday → 2/7.
  • Cards: 52 cards, 13-13 ke 4 suits, 4 aces, 12 face cards (J, Q, K), 26 red aur 26 black.

Multiplication theoremगुणन प्रमेयMultiplication theorem

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B).
  • Three events: P(A∩B∩C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B).
  • Drawing WITHOUT replacement: after each draw, reduce both the favourable count and the total by 1.
  • MCQ: P(A) = 0.12, P(B|A) = 0.18 → P(A∩B) = 0.12 × 0.18 = 0.0216.
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)।
  • तीन घटनाएँ: P(A∩B∩C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B)।
  • बिना प्रतिस्थापन के निकालना: हर बार निकालने के बाद अनुकूल संख्या और कुल संख्या दोनों 1 घटाइए।
  • MCQ: P(A) = 0.12, P(B|A) = 0.18 → P(A∩B) = 0.12 × 0.18 = 0.0216।
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B).
  • Teen events: P(A∩B∩C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B).
  • Bina replacement ke nikaalna: har draw ke baad favourable count aur total dono 1 kam kijiye.
  • MCQ: P(A) = 0.12, P(B|A) = 0.18 → P(A∩B) = 0.12 × 0.18 = 0.0216.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
P(A∩B∩C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B)
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

A bag has 8 white and 4 black balls. Two balls are drawn one after the other without replacement. Find the probability that both are white.एक थैले में 8 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek bag mein 8 white aur 4 black balls hain. Bina replacement ke ek ke baad ek do balls nikaali jaati hain. Dono ke white hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Let A = first is white, B = second is white. P(A) = 8/12.
  • After one white is taken out: 7 white of 11 left, so P(B|A) = 7/11.
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = (8/12)(7/11) = 56/132 = 14/33
  • Answer: 14/33.
  • माना A = पहली सफेद, B = दूसरी सफेद। P(A) = 8/12।
  • एक सफेद निकलने के बाद 11 में 7 सफेद बचीं, अतः P(B|A) = 7/11।
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = (8/12)(7/11) = 56/132 = 14/33
  • उत्तर: 14/33।
  • Maan lijiye A = pehli white, B = doosri white. P(A) = 8/12.
  • Ek white nikalne ke baad 11 mein 7 white bachi, isliye P(B|A) = 7/11.
  • P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = (8/12)(7/11) = 56/132 = 14/33
  • Answer: 14/33.

Bayes' theoremबेज़ प्रमेयBayes' theorem

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Use Bayes when the result is known (e.g. a red ball was drawn) and you must find the probability of a CAUSE (which bag it came from).
  • E₁, E₂, …, Eₙ must be a partition: mutually exclusive and together covering every case.
  • Fixed method: (1) name the events E₁, E₂, … and A; (2) write P(Eᵢ); (3) write P(A|Eᵢ); (4) put in the formula.
  • 'A bag is chosen at random' from 3 bags means P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3.
  • बेज़ का प्रयोग तब कीजिए जब परिणाम ज्ञात हो (जैसे लाल गेंद निकली) और किसी कारण (किस थैले से निकली) की प्रायिकता ज्ञात करनी हो।
  • E₁, E₂, …, Eₙ एक विभाजन होना चाहिए: परस्पर अपवर्जी और मिलकर हर स्थिति को समाहित करने वाले।
  • निश्चित विधि: (1) घटनाओं E₁, E₂, … और A के नाम लिखिए; (2) P(Eᵢ) लिखिए; (3) P(A|Eᵢ) लिखिए; (4) सूत्र में रखिए।
  • 3 थैलों में से 'यादृच्छया एक थैला चुना' का अर्थ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3।
  • Bayes tab use kijiye jab result pata ho (jaise red ball nikli) aur kisi KAARAN (kis bag se nikli) ki probability nikaalni ho.
  • E₁, E₂, …, Eₙ ek partition hona chahiye: mutually exclusive aur milkar har case cover karein.
  • Fixed method: (1) events E₁, E₂, … aur A ke naam likhiye; (2) P(Eᵢ) likhiye; (3) P(A|Eᵢ) likhiye; (4) formula mein rakhiye.
  • 3 bags mein se 'random se ek bag chuna' ka matlab P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)·P(A|Eᵢ) / Σ P(Eⱼ)·P(A|Eⱼ)
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 8 marks8 अंक8 marks

Bag I has 2 red and 3 black balls, bag II has 4 red and 1 black, bag III has 3 red and 3 black. A bag is chosen at random and a ball drawn from it is red. Find the probability that it came from bag II.थैला I में 2 लाल और 3 काली गेंदें, थैला II में 4 लाल और 1 काली, थैला III में 3 लाल और 3 काली हैं। यादृच्छया एक थैला चुनकर निकाली गई गेंद लाल है। इसके थैला II से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Bag I mein 2 red aur 3 black balls, bag II mein 4 red aur 1 black, bag III mein 3 red aur 3 black hain. Random se ek bag chunkar nikaali gayi ball red hai. Iske bag II se hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Let E₁, E₂, E₃ = bag I, II, III is chosen; A = the ball is red.
  • P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3
  • P(A|E₁) = 2/5, P(A|E₂) = 4/5, P(A|E₃) = 3/6 = 1/2
  • By Bayes' theorem: P(E₂|A) = P(E₂)P(A|E₂) / [P(E₁)P(A|E₁) + P(E₂)P(A|E₂) + P(E₃)P(A|E₃)]
  • = (1/3)(4/5) / [(1/3)(2/5 + 4/5 + 1/2)] = (4/5)/(17/10) = 8/17
  • Answer: 8/17.
  • माना E₁, E₂, E₃ = क्रमशः थैला I, II, III चुना गया; A = गेंद लाल है।
  • P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3
  • P(A|E₁) = 2/5, P(A|E₂) = 4/5, P(A|E₃) = 3/6 = 1/2
  • बेज़ प्रमेय से: P(E₂|A) = P(E₂)P(A|E₂) / [P(E₁)P(A|E₁) + P(E₂)P(A|E₂) + P(E₃)P(A|E₃)]
  • = (1/3)(4/5) / [(1/3)(2/5 + 4/5 + 1/2)] = (4/5)/(17/10) = 8/17
  • उत्तर: 8/17।
  • Maan lijiye E₁, E₂, E₃ = bag I, II, III chuna gaya; A = ball red hai.
  • P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3
  • P(A|E₁) = 2/5, P(A|E₂) = 4/5, P(A|E₃) = 3/6 = 1/2
  • Bayes' theorem se: P(E₂|A) = P(E₂)P(A|E₂) / [P(E₁)P(A|E₁) + P(E₂)P(A|E₂) + P(E₃)P(A|E₃)]
  • = (1/3)(4/5) / [(1/3)(2/5 + 4/5 + 1/2)] = (4/5)/(17/10) = 8/17
  • Answer: 8/17.

💡 Write the three lists (P(Eᵢ), P(A|Eᵢ), formula) on separate lines; examiners give a mark for each.तीनों सूचियाँ (P(Eᵢ), P(A|Eᵢ), सूत्र) अलग-अलग पंक्तियों में लिखिए; परीक्षक हर एक के लिए अंक देते हैं।Teeno lists (P(Eᵢ), P(A|Eᵢ), formula) alag-alag lines mein likhiye; examiners har ek ke liye marks dete hain.

Theorem of total probabilityसंपूर्ण प्रायिकता प्रमेयTotal probability theorem

Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • If E₁, …, Eₙ form a partition, P(A) = P(E₁)P(A|E₁) + … + P(Eₙ)P(A|Eₙ). This is the denominator of Bayes' theorem.
  • Use it when the question asks for the overall probability of A (not for a cause).
  • यदि E₁, …, Eₙ एक विभाजन हैं, तो P(A) = P(E₁)P(A|E₁) + … + P(Eₙ)P(A|Eₙ)। यही बेज़ प्रमेय का हर है।
  • इसका प्रयोग तब कीजिए जब प्रश्न A की कुल प्रायिकता पूछे (कारण नहीं)।
  • Agar E₁, …, Eₙ ek partition hain, toh P(A) = P(E₁)P(A|E₁) + … + P(Eₙ)P(A|Eₙ). Yahi Bayes' theorem ka denominator hai.
  • Ise tab use kijiye jab sawaal A ki total probability pooche (kaaran nahi).
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

The probability of a strike is 0.6. The probability that a building is finished on time is 0.85 if there is no strike and 0.35 if there is a strike. Find the probability that it is finished on time.हड़ताल की प्रायिकता 0.6 है। हड़ताल न होने पर भवन समय पर पूरा होने की प्रायिकता 0.85 और हड़ताल होने पर 0.35 है। भवन के समय पर पूरा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Strike ki probability 0.6 hai. Strike na hone par building time par poori hone ki probability 0.85 aur strike hone par 0.35 hai. Building ke time par poori hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • E₁ = strike, E₂ = no strike, A = finished on time. P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4.
  • P(A|E₁) = 0.35, P(A|E₂) = 0.85
  • P(A) = (0.6)(0.35) + (0.4)(0.85) = 0.21 + 0.34 = 0.55
  • Answer: 0.55.
  • E₁ = हड़ताल, E₂ = हड़ताल नहीं, A = समय पर पूरा। P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4।
  • P(A|E₁) = 0.35, P(A|E₂) = 0.85
  • P(A) = (0.6)(0.35) + (0.4)(0.85) = 0.21 + 0.34 = 0.55
  • उत्तर: 0.55।
  • E₁ = strike, E₂ = strike nahi, A = time par poora. P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4.
  • P(A|E₁) = 0.35, P(A|E₂) = 0.85
  • P(A) = (0.6)(0.35) + (0.4)(0.85) = 0.21 + 0.34 = 0.55
  • Answer: 0.55.
🔴 TOPPERटॉपरTOPPER

Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.

📐 If E and F are independent, then E and F′ are independentयदि E और F स्वतंत्र हैं, तो E और F′ भी स्वतंत्र हैंAgar E aur F independent hain, toh E aur F′ bhi independent hain

  1. E∩F and E∩F′ are mutually exclusive and their union is E. So P(E) = P(E∩F) + P(E∩F′).
  2. P(E∩F′) = P(E) − P(E∩F) = P(E) − P(E)P(F) (E, F independent)
  3. = P(E)[1 − P(F)] = P(E)·P(F′)
  4. Hence E and F′ are independent. Proved.
  1. E∩F और E∩F′ परस्पर अपवर्जी हैं और उनका सम्मिलन E है। अतः P(E) = P(E∩F) + P(E∩F′)।
  2. P(E∩F′) = P(E) − P(E∩F) = P(E) − P(E)P(F) (E, F स्वतंत्र)
  3. = P(E)[1 − P(F)] = P(E)·P(F′)
  4. अतः E और F′ स्वतंत्र हैं। सिद्ध हुआ।
  1. E∩F aur E∩F′ mutually exclusive hain aur unka union E hai. Isliye P(E) = P(E∩F) + P(E∩F′).
  2. P(E∩F′) = P(E) − P(E∩F) = P(E) − P(E)P(F) (E, F independent)
  3. = P(E)[1 − P(F)] = P(E)·P(F′)
  4. Isliye E aur F′ independent hain. Siddh hua.

📐 Statement and proof of Bayes' theoremबेज़ प्रमेय का कथन और उपपत्तिBayes' theorem ka statement aur proof

  1. Statement: if E₁, …, Eₙ is a partition of S with P(Eᵢ) > 0 and A is any event with P(A) > 0, then P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ).
  2. By definition, P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ∩A)/P(A).
  3. Multiplication rule: P(Eᵢ∩A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ).
  4. Total probability: P(A) = Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ).
  5. Putting these in: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ). Proved.
  1. कथन: यदि E₁, …, Eₙ, S का एक विभाजन है, P(Eᵢ) > 0, और A कोई घटना है जिसमें P(A) > 0, तो P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)।
  2. परिभाषा से, P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ∩A)/P(A)।
  3. गुणन नियम: P(Eᵢ∩A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)।
  4. संपूर्ण प्रायिकता: P(A) = Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)।
  5. इन्हें रखने पर: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)। सिद्ध हुआ।
  1. Statement: agar E₁, …, Eₙ, S ka ek partition hai, P(Eᵢ) > 0, aur A koi event hai jismein P(A) > 0, toh P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ).
  2. Definition se, P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ∩A)/P(A).
  3. Multiplication rule: P(Eᵢ∩A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ).
  4. Total probability: P(A) = Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ).
  5. Inhe rakhne par: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / Σⱼ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ). Siddh hua.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 1 mark1 अंक1 mark

If 3P(A) = P(B) = 5/13 and P(A|B) = 2/5, find P(A∪B).यदि 3P(A) = P(B) = 5/13 और P(A|B) = 2/5, तो P(A∪B) ज्ञात कीजिए।Agar 3P(A) = P(B) = 5/13 aur P(A|B) = 2/5, toh P(A∪B) nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • P(B) = 5/13 = 15/39, P(A) = 5/39
  • P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = (2/5)(5/13) = 2/13 = 6/39
  • P(A∪B) = 5/39 + 15/39 − 6/39 = 14/39
  • P(B) = 5/13 = 15/39, P(A) = 5/39
  • P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = (2/5)(5/13) = 2/13 = 6/39
  • P(A∪B) = 5/39 + 15/39 − 6/39 = 14/39
  • P(B) = 5/13 = 15/39, P(A) = 5/39
  • P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = (2/5)(5/13) = 2/13 = 6/39
  • P(A∪B) = 5/39 + 15/39 − 6/39 = 14/39
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

If E₁ and E₂ are any two events, show that P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂). What does it become when they are mutually exclusive?यदि E₁ और E₂ कोई दो घटनाएँ हैं, तो दर्शाइए कि P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂)। परस्पर अपवर्जी होने पर यह क्या बनता है?Agar E₁ aur E₂ koi do events hain, toh dikhaiye ki P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂). Mutually exclusive hone par yeh kya banta hai?

✅ Answerउत्तरJawab
  • Addition theorem: P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) − P(E₁∩E₂). Move P(E₁∩E₂) to the left: P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂).
  • Mutually exclusive: E₁∩E₂ = φ, P(E₁∩E₂) = 0, so P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂).
  • योग प्रमेय: P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) − P(E₁∩E₂)। P(E₁∩E₂) को दूसरी ओर ले जाने पर: P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂)।
  • परस्पर अपवर्जी: E₁∩E₂ = φ, P(E₁∩E₂) = 0, अतः P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂)।
  • Addition theorem: P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) − P(E₁∩E₂). P(E₁∩E₂) ko doosri taraf le jaane par: P(E₁) + P(E₂) = P(E₁∪E₂) + P(E₁∩E₂).
  • Mutually exclusive: E₁∩E₂ = φ, P(E₁∩E₂) = 0, isliye P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂).
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

Bag A has 4 red and 5 black balls; bag B has 6 red and 3 black. One ball is moved at random from A to B, and then a ball is drawn from B. Find the probability that it is red.थैले A में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं; थैले B में 6 लाल और 3 काली। A से एक गेंद यादृच्छया B में डाली जाती है, फिर B से एक गेंद निकाली जाती है। उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Bag A mein 4 red aur 5 black balls hain; bag B mein 6 red aur 3 black. A se ek ball random se B mein daali jaati hai, phir B se ek ball nikaali jaati hai. Uske red hone ki probability nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • E₁ = red moved (P = 4/9): B then has 7 red of 10 → P(R|E₁) = 7/10.
  • E₂ = black moved (P = 5/9): B has 6 red of 10 → P(R|E₂) = 6/10.
  • P(R) = (4/9)(7/10) + (5/9)(6/10) = 28/90 + 30/90 = 58/90 = 29/45
  • Answer: 29/45.
  • E₁ = लाल डाली गई (P = 4/9): तब B में 10 में 7 लाल → P(R|E₁) = 7/10।
  • E₂ = काली डाली गई (P = 5/9): B में 10 में 6 लाल → P(R|E₂) = 6/10।
  • P(R) = (4/9)(7/10) + (5/9)(6/10) = 28/90 + 30/90 = 58/90 = 29/45
  • उत्तर: 29/45।
  • E₁ = red daali gayi (P = 4/9): tab B mein 10 mein 7 red → P(R|E₁) = 7/10.
  • E₂ = black daali gayi (P = 5/9): B mein 10 mein 6 red → P(R|E₂) = 6/10.
  • P(R) = (4/9)(7/10) + (5/9)(6/10) = 28/90 + 30/90 = 58/90 = 29/45
  • Answer: 29/45.

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Multiplying probabilities of events that are not independent → use P(A)·P(B|A) when draws are without replacement.
  • Confusing P(A|B) with P(B|A) → the event after the bar is the one already known.
  • Thinking independent means mutually exclusive → independent: P(A∩B) = P(A)P(B); exclusive: P(A∩B) = 0.
  • In Bayes, forgetting the P(Eᵢ) factor in the numerator → numerator is P(Eᵢ)·P(A|Eᵢ).
  • Not simplifying fractions → write the final answer in lowest terms.
  • जो घटनाएँ स्वतंत्र नहीं, उनकी प्रायिकताओं का सीधा गुणा → बिना प्रतिस्थापन में P(A)·P(B|A) लीजिए।
  • P(A|B) और P(B|A) में भ्रम → खड़ी रेखा के बाद वाली घटना पहले से ज्ञात है।
  • स्वतंत्र को परस्पर अपवर्जी समझना → स्वतंत्र: P(A∩B) = P(A)P(B); अपवर्जी: P(A∩B) = 0।
  • बेज़ में अंश में P(Eᵢ) गुणक भूलना → अंश P(Eᵢ)·P(A|Eᵢ) है।
  • भिन्न को सरल न करना → अंतिम उत्तर न्यूनतम रूप में लिखिए।
  • Jo events independent nahi, unki probabilities ka seedha multiply → bina replacement mein P(A)·P(B|A) lijiye.
  • P(A|B) aur P(B|A) mein confusion → bar ke baad wala event pehle se pata hai.
  • Independent ko mutually exclusive samajhna → independent: P(A∩B) = P(A)P(B); exclusive: P(A∩B) = 0.
  • Bayes mein numerator mein P(Eᵢ) factor bhoolna → numerator P(Eᵢ)·P(A|Eᵢ) hai.
  • Fraction simplify na karna → final answer lowest terms mein likhiye.

💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori

  • Bayes with real-life data (a patient late by train/bus/scooter, a factory with machines A, B, C making defective items): same 4-line method, the 'cause' is the transport or the machine.
  • Conditional probability in a school-type count: P(boy | class XII) = (number of class XII boys)/(number of class XII students).
  • वास्तविक आँकड़ों वाला बेज़ (ट्रेन/बस/स्कूटर से देर से पहुँचा मरीज, मशीनों A, B, C से खराब वस्तुएँ): वही 4-पंक्ति विधि, 'कारण' वाहन या मशीन है।
  • विद्यालय जैसी गिनती में सप्रतिबंध प्रायिकता: P(लड़का | कक्षा XII) = (कक्षा XII के लड़के)/(कक्षा XII के विद्यार्थी)।
  • Real-life data wala Bayes (train/bus/scooter se late patient, machines A, B, C se defective items): wahi 4-line method, 'kaaran' transport ya machine hai.
  • School jaisi ginti mein conditional probability: P(ladka | class XII) = (class XII ke ladke)/(class XII ke students).

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
  • P(A∩B) = P(A)P(B|A)
  • Independent: P(A∩B) = P(A)P(B)
  • P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
  • P(A′) = 1 − P(A)
  • P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B)
  • At least one = 1 − P(none)
  • P(A) = Σ P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)
  • P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)/Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
  • 53 Tuesdays in a leap year: 2/7
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
  • P(A∩B) = P(A)P(B|A)
  • Independent: P(A∩B) = P(A)P(B)
  • P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
  • P(A′) = 1 − P(A)
  • P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B)
  • कम से कम एक = 1 − P(कोई नहीं)
  • P(A) = Σ P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)
  • P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)/Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
  • अधिवर्ष में 53 मंगलवार: 2/7
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
  • P(A∩B) = P(A)P(B|A)
  • Independent: P(A∩B) = P(A)P(B)
  • P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
  • P(A′) = 1 − P(A)
  • P(A′∩B′) = 1 − P(A∪B)
  • Kam se kam ek = 1 − P(koi nahi)
  • P(A) = Σ P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)
  • P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ)/Σ P(Eⱼ)P(A|Eⱼ)
  • Leap year mein 53 Tuesdays: 2/7
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1

🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye

  • Bernoulli trials and binomial distribution (e.g. 'a die is thrown 6 times, find P(at least 5 successes)') — removed from the rationalised NCERT book and not in the UPMSP 2026-27 syllabus. Skip it.बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन (जैसे 'एक पासा 6 बार फेंका, कम से कम 5 सफलताओं की प्रायिकता') — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटाया गया और UPMSP 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं। छोड़ दीजिए।Bernoulli trials aur binomial distribution (jaise 'dice 6 baar phenka, kam se kam 5 successes ki probability') — rationalised NCERT book se hata diya gaya aur UPMSP 2026-27 syllabus mein nahi. Chhod dijiye.
  • Random variable, probability distribution, mean and variance — not in the UPMSP 2026-27 probability list (which has conditional probability, multiplication rule, independent events, total probability and Bayes' theorem). Asked only in older papers; low priority.यादृच्छिक चर, प्रायिकता बंटन, माध्य और प्रसरण — UPMSP 2026-27 की प्रायिकता सूची में नहीं (उसमें सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ, संपूर्ण प्रायिकता और बेज़ प्रमेय हैं)। केवल पुराने प्रश्नपत्रों में पूछा गया; कम प्राथमिकता।Random variable, probability distribution, mean aur variance — UPMSP 2026-27 ki probability list mein nahi (usmein conditional probability, multiplication rule, independent events, total probability aur Bayes' theorem hain). Sirf purane papers mein poocha gaya; kam priority.
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Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.