Application of Integralsसमाकलनों के अनुप्रयोगApplication of Integrals
Class 12 Maths · Chapter 8 · UP Boardकक्षा 12 गणित · अध्याय 8 · यूपी बोर्डClass 12 Maths · Chapter 8 · UP Board
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This chapter gives one regular long question: the area of a circle or an ellipse. Learn that one method fully (take the area in the first quadrant and multiply by 4). Then learn how to find the area under a line or under y = sin x / cos x, where you must take the absolute value of the parts below the x-axis.यह अध्याय नियमित रूप से एक बड़ा प्रश्न देता है: वृत्त या दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल। यह एक विधि पूरी सीखिए (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल निकालकर 4 से गुणा)। फिर किसी रेखा या y = sin x / cos x के नीचे का क्षेत्रफल निकालना सीखिए, जहाँ x-अक्ष के नीचे वाले भाग का निरपेक्ष मान लेना होता है।Yeh chapter regular roop se ek bada sawaal deta hai: circle ya ellipse ka area. Yeh ek method poora seekhiye (first quadrant ka area nikaal kar 4 se multiply). Phir kisi line ya y = sin x / cos x ke neeche ka area nikaalna seekhiye, jahan x-axis ke neeche wale hisse ka absolute value lena hota hai.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn the ellipse area question fully (x²/a² + y²/b² = 1 → πab) with the figure. The circle is the same method (πa²).
- Learn ∫ √(a² − x²) dx — it is needed in every circle/ellipse question.
- Practise one line question (y = 3x + 2 from x = −1 to 1 → 13/3) and y = sin x from 0 to 2π → 4.
- दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का प्रश्न चित्र सहित पूरा सीखिए (x²/a² + y²/b² = 1 → πab)। वृत्त की भी यही विधि है (πa²)।
- ∫ √(a² − x²) dx याद कीजिए — हर वृत्त/दीर्घवृत्त प्रश्न में लगता है।
- एक रेखा वाला प्रश्न (y = 3x + 2, x = −1 से 1 → 13/3) और y = sin x, 0 से 2π → 4 हल कीजिए।
- Ellipse ke area ka sawaal figure ke saath poora seekhiye (x²/a² + y²/b² = 1 → πab). Circle ka bhi yahi method hai (πa²).
- ∫ √(a² − x²) dx yaad kijiye — har circle/ellipse sawaal mein lagta hai.
- Ek line wala sawaal (y = 3x + 2, x = −1 se 1 → 13/3) aur y = sin x, 0 se 2π → 4 practise kijiye.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- Area of the ellipse x²/a² + y²/b² = 1 is πab.
- Area bounded by y = sin x, x = 0 and x = 2π is 4 square units.
- Area of y² = 4ax and its latus rectum is 8a²/3.
- Area of the circle (x − 2)² + y² = 4 is 4π.
- दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल πab है।
- y = sin x, x = 0 और x = 2π से घिरा क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।
- y² = 4ax और उसके नाभिलंब से घिरा क्षेत्रफल 8a²/3 है।
- वृत्त (x − 2)² + y² = 4 का क्षेत्रफल 4π है।
- Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 ka area πab hai.
- y = sin x, x = 0 aur x = 2π se ghira area 4 square units hai.
- y² = 4ax aur uske latus rectum se ghira area 8a²/3 hai.
- Circle (x − 2)² + y² = 4 ka area 4π hai.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Area of a circle and an ellipseवृत्त और दीर्घवृत्त का क्षेत्रफलCircle aur ellipse ka area
🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Area under y = f(x) from x = a to x = b (curve above the x-axis): A = ∫ₐ^b y dx.
- Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 is symmetric about both axes, so total area = 4 × area in the first quadrant.
- In the first quadrant: y = (b/a)√(a² − x²), x from 0 to a.
- Use ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a). From 0 to a it gives πa²/4.
- Results: ellipse area = πab; circle x² + y² = a² area = πa². A shifted circle like (x − 2)² + y² = 4 still has area πr² = 4π.
- Always draw a rough figure and shade the region: it carries a mark.
- x = a से x = b तक y = f(x) के नीचे का क्षेत्रफल (वक्र x-अक्ष के ऊपर): A = ∫ₐ^b y dx।
- दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है, अतः कुल क्षेत्रफल = 4 × प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल।
- प्रथम चतुर्थांश में: y = (b/a)√(a² − x²), x = 0 से a तक।
- ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) का प्रयोग कीजिए। 0 से a तक यह πa²/4 देता है।
- परिणाम: दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = πab; वृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल = πa²। खिसका हुआ वृत्त जैसे (x − 2)² + y² = 4 का क्षेत्रफल भी πr² = 4π है।
- हमेशा एक कच्चा चित्र बनाकर क्षेत्र को छायांकित कीजिए: इसके अंक मिलते हैं।
- x = a se x = b tak y = f(x) ke neeche ka area (curve x-axis ke upar): A = ∫ₐ^b y dx.
- Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 dono axes ke saapeksh symmetric hai, isliye total area = 4 × first quadrant ka area.
- First quadrant mein: y = (b/a)√(a² − x²), x = 0 se a tak.
- ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) use kijiye. 0 se a tak yeh πa²/4 deta hai.
- Results: ellipse ka area = πab; circle x² + y² = a² ka area = πa². Shift hua circle jaise (x − 2)² + y² = 4 ka area bhi πr² = 4π hai.
- Hamesha ek rough figure banakar region shade kijiye: iske marks milte hain.
Find the area of the region bounded by the ellipse x²/9 + y²/4 = 1.दीर्घवृत्त x²/9 + y²/4 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Ellipse x²/9 + y²/4 = 1 se ghire region ka area nikaliye.
- Here a = 3, b = 2. Draw the ellipse; it is symmetric about both axes, so Area = 4 × (area in the first quadrant).
- From the equation, y = (2/3)√(9 − x²) in the first quadrant.
- A = 4 ∫₀^3 (2/3)√(9 − x²) dx = (8/3) ∫₀^3 √(9 − x²) dx
- = (8/3) [(x/2)√(9 − x²) + (9/2) sin⁻¹(x/3)]₀^3
- = (8/3) [0 + (9/2)(π/2) − 0] = (8/3)(9π/4)
- Answer: A = 6π square units (check: πab = π·3·2 = 6π).
- यहाँ a = 3, b = 2। दीर्घवृत्त बनाइए; यह दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है, अतः क्षेत्रफल = 4 × (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)।
- समीकरण से प्रथम चतुर्थांश में y = (2/3)√(9 − x²)।
- A = 4 ∫₀^3 (2/3)√(9 − x²) dx = (8/3) ∫₀^3 √(9 − x²) dx
- = (8/3) [(x/2)√(9 − x²) + (9/2) sin⁻¹(x/3)]₀^3
- = (8/3) [0 + (9/2)(π/2) − 0] = (8/3)(9π/4)
- उत्तर: A = 6π वर्ग इकाई (जाँच: πab = π·3·2 = 6π)।
- Yahan a = 3, b = 2. Ellipse banaiye; yeh dono axes ke saapeksh symmetric hai, isliye Area = 4 × (first quadrant ka area).
- Equation se first quadrant mein y = (2/3)√(9 − x²).
- A = 4 ∫₀^3 (2/3)√(9 − x²) dx = (8/3) ∫₀^3 √(9 − x²) dx
- = (8/3) [(x/2)√(9 − x²) + (9/2) sin⁻¹(x/3)]₀^3
- = (8/3) [0 + (9/2)(π/2) − 0] = (8/3)(9π/4)
- Answer: A = 6π square units (check: πab = π·3·2 = 6π).
Find the area of the circle x² + y² = 16 by integration.समाकलन द्वारा वृत्त x² + y² = 16 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Integration se circle x² + y² = 16 ka area nikaliye.
- Radius 4, centre (0, 0). By symmetry, Area = 4 × first-quadrant area, where y = √(16 − x²).
- A = 4 ∫₀^4 √(16 − x²) dx = 4 [(x/2)√(16 − x²) + 8 sin⁻¹(x/4)]₀^4
- = 4 [0 + 8·(π/2)] = 16π
- Answer: 16π square units.
- त्रिज्या 4, केंद्र (0, 0)। सममिति से, क्षेत्रफल = 4 × प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल, जहाँ y = √(16 − x²)।
- A = 4 ∫₀^4 √(16 − x²) dx = 4 [(x/2)√(16 − x²) + 8 sin⁻¹(x/4)]₀^4
- = 4 [0 + 8·(π/2)] = 16π
- उत्तर: 16π वर्ग इकाई।
- Radius 4, centre (0, 0). Symmetry se, Area = 4 × first quadrant ka area, jahan y = √(16 − x²).
- A = 4 ∫₀^4 √(16 − x²) dx = 4 [(x/2)√(16 − x²) + 8 sin⁻¹(x/4)]₀^4
- = 4 [0 + 8·(π/2)] = 16π
- Answer: 16π square units.
💡 Write the unit 'square units' with the final answer, and show sin⁻¹(1) = π/2 as a separate step.अंतिम उत्तर के साथ 'वर्ग इकाई' लिखिए, और sin⁻¹(1) = π/2 अलग चरण में दिखाइए।Final answer ke saath 'square units' likhiye, aur sin⁻¹(1) = π/2 alag step mein dikhaiye.
Area under a curve / a line and the x-axisकिसी वक्र / रेखा और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफलCurve / line aur x-axis ke beech ka area
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- If the curve goes BELOW the x-axis, ∫ y dx comes out negative there. Area is always positive: take the absolute value of each part separately.
- Steps: (1) find where y = 0 inside the limits, (2) split the integral there, (3) add the absolute values.
- y = sin x from 0 to 2π: area = 2 + |−2| = 4 (not 0). Same for y = cos x from 0 to 2π: area = 4.
- y = 3x + 2 between x = −1 and x = 1: the line meets the x-axis at x = −2/3, so area = 1/6 + 25/6 = 13/3.
- यदि वक्र x-अक्ष के नीचे जाता है, तो वहाँ ∫ y dx ऋणात्मक आता है। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है: हर भाग का निरपेक्ष मान अलग से लीजिए।
- चरण: (1) सीमाओं के अंदर y = 0 कहाँ है ज्ञात कीजिए, (2) वहाँ समाकलन को विभाजित कीजिए, (3) निरपेक्ष मानों को जोड़िए।
- y = sin x, 0 से 2π तक: क्षेत्रफल = 2 + |−2| = 4 (0 नहीं)। इसी प्रकार y = cos x, 0 से 2π तक: क्षेत्रफल = 4।
- y = 3x + 2, x = −1 और x = 1 के बीच: रेखा x-अक्ष को x = −2/3 पर काटती है, अतः क्षेत्रफल = 1/6 + 25/6 = 13/3।
- Agar curve x-axis ke NEECHE jaata hai, toh wahan ∫ y dx negative aata hai. Area hamesha positive hota hai: har hisse ka absolute value alag se lijiye.
- Steps: (1) limits ke andar y = 0 kahan hai nikaliye, (2) wahan integral ko split kijiye, (3) absolute values jod dijiye.
- y = sin x, 0 se 2π tak: area = 2 + |−2| = 4 (0 nahi). Isi tarah y = cos x, 0 se 2π tak: area = 4.
- y = 3x + 2, x = −1 aur x = 1 ke beech: line x-axis ko x = −2/3 par kaatti hai, isliye area = 1/6 + 25/6 = 13/3.
Find the area bounded by the line y = 2x + 3, the x-axis and the ordinates x = −2 and x = 1.रेखा y = 2x + 3, x-अक्ष तथा कोटियों x = −2 और x = 1 से घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Line y = 2x + 3, x-axis aur ordinates x = −2 aur x = 1 se ghira area nikaliye.
- y = 0 when 2x + 3 = 0, i.e. x = −3/2. For −2 ≤ x < −3/2 the line is below the x-axis; for −3/2 < x ≤ 1 it is above.
- A₁ = |∫₋₂^{−3/2} (2x + 3) dx| = |[x² + 3x]₋₂^{−3/2}| = |(9/4 − 9/2) − (4 − 6)| = |−9/4 + 2| = 1/4
- A₂ = ∫_{−3/2}^1 (2x + 3) dx = [x² + 3x]_{−3/2}^1 = 4 − (−9/4) = 25/4
- Total area = 1/4 + 25/4 = 13/2 square units.
- 2x + 3 = 0 पर y = 0, अर्थात x = −3/2। −2 ≤ x < −3/2 के लिए रेखा x-अक्ष के नीचे है; −3/2 < x ≤ 1 के लिए ऊपर।
- A₁ = |∫₋₂^{−3/2} (2x + 3) dx| = |[x² + 3x]₋₂^{−3/2}| = |(9/4 − 9/2) − (4 − 6)| = |−9/4 + 2| = 1/4
- A₂ = ∫_{−3/2}^1 (2x + 3) dx = [x² + 3x]_{−3/2}^1 = 4 − (−9/4) = 25/4
- कुल क्षेत्रफल = 1/4 + 25/4 = 13/2 वर्ग इकाई।
- 2x + 3 = 0 par y = 0, yaani x = −3/2. −2 ≤ x < −3/2 ke liye line x-axis ke neeche hai; −3/2 < x ≤ 1 ke liye upar.
- A₁ = |∫₋₂^{−3/2} (2x + 3) dx| = |[x² + 3x]₋₂^{−3/2}| = |(9/4 − 9/2) − (4 − 6)| = |−9/4 + 2| = 1/4
- A₂ = ∫_{−3/2}^1 (2x + 3) dx = [x² + 3x]_{−3/2}^1 = 4 − (−9/4) = 25/4
- Total area = 1/4 + 25/4 = 13/2 square units.
Find the area of the region bounded by y = sin x, the x-axis, x = 0 and x = 2π.y = sin x, x-अक्ष, x = 0 और x = 2π से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।y = sin x, x-axis, x = 0 aur x = 2π se ghire region ka area nikaliye.
- sin x ≥ 0 on [0, π] and sin x ≤ 0 on [π, 2π].
- A = ∫₀^π sin x dx + |∫_π^{2π} sin x dx| = [−cos x]₀^π + |[−cos x]_π^{2π}|
- = (1 + 1) + |−1 − 1| = 2 + 2 = 4
- Answer: 4 square units.
- [0, π] पर sin x ≥ 0 तथा [π, 2π] पर sin x ≤ 0।
- A = ∫₀^π sin x dx + |∫_π^{2π} sin x dx| = [−cos x]₀^π + |[−cos x]_π^{2π}|
- = (1 + 1) + |−1 − 1| = 2 + 2 = 4
- उत्तर: 4 वर्ग इकाई।
- [0, π] par sin x ≥ 0 aur [π, 2π] par sin x ≤ 0.
- A = ∫₀^π sin x dx + |∫_π^{2π} sin x dx| = [−cos x]₀^π + |[−cos x]_π^{2π}|
- = (1 + 1) + |−1 − 1| = 2 + 2 = 4
- Answer: 4 square units.
💡 A common trap MCQ: ∫₀^{2π} sin x dx = 0, but the AREA is 4.एक आम जाल वाला MCQ: ∫₀^{2π} sin x dx = 0, परंतु क्षेत्रफल 4 है।Ek common trap MCQ: ∫₀^{2π} sin x dx = 0, lekin AREA 4 hai.
Area bounded by a parabola and a lineपरवलय और रेखा से घिरा क्षेत्रफलParabola aur line se ghira area
Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal- y² = 4ax is symmetric about the x-axis: area up to the line x = c is 2∫₀^c 2√(ax) dx.
- x² = 4ay is symmetric about the y-axis: use the y-axis symmetry and integrate in x, or integrate x dy.
- Area of y² = 4ax and its latus rectum (x = a) = 8a²/3.
- Area between y = x² and the line y = 16 = 2∫₀^4 (16 − x²) dx = 256/3.
- y² = 4ax, x-अक्ष के सापेक्ष सममित है: रेखा x = c तक का क्षेत्रफल 2∫₀^c 2√(ax) dx है।
- x² = 4ay, y-अक्ष के सापेक्ष सममित है: y-अक्ष की सममिति लीजिए और x में समाकलन कीजिए, या x dy का समाकलन कीजिए।
- y² = 4ax और उसके नाभिलंब (x = a) से घिरा क्षेत्रफल = 8a²/3।
- y = x² और रेखा y = 16 के बीच का क्षेत्रफल = 2∫₀^4 (16 − x²) dx = 256/3।
- y² = 4ax, x-axis ke saapeksh symmetric hai: line x = c tak ka area 2∫₀^c 2√(ax) dx hai.
- x² = 4ay, y-axis ke saapeksh symmetric hai: y-axis ki symmetry lijiye aur x mein integrate kijiye, ya x dy integrate kijiye.
- y² = 4ax aur uske latus rectum (x = a) se ghira area = 8a²/3.
- y = x² aur line y = 16 ke beech ka area = 2∫₀^4 (16 − x²) dx = 256/3.
Find the area of the region bounded by the parabola y² = 4x and the line x = 3.परवलय y² = 4x और रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Parabola y² = 4x aur line x = 3 se ghire region ka area nikaliye.
- The parabola is symmetric about the x-axis; upper half y = 2√x.
- A = 2 ∫₀^3 2√x dx = 4 [(2/3) x^{3/2}]₀^3 = (8/3)·3√3
- Answer: A = 8√3 square units.
- परवलय x-अक्ष के सापेक्ष सममित है; ऊपरी भाग y = 2√x।
- A = 2 ∫₀^3 2√x dx = 4 [(2/3) x^{3/2}]₀^3 = (8/3)·3√3
- उत्तर: A = 8√3 वर्ग इकाई।
- Parabola x-axis ke saapeksh symmetric hai; upar wala hissa y = 2√x.
- A = 2 ∫₀^3 2√x dx = 4 [(2/3) x^{3/2}]₀^3 = (8/3)·3√3
- Answer: A = 8√3 square units.
Find the area of the region bounded by x² = 4y and the line y = 4.x² = 4y और रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।x² = 4y aur line y = 4 se ghire region ka area nikaliye.
- They meet where x² = 16, i.e. x = ±4. The region is symmetric about the y-axis.
- A = 2 ∫₀^4 (4 − x²/4) dx = 2 [4x − x³/12]₀^4 = 2 (16 − 16/3)
- Answer: A = 64/3 square units.
- ये वहाँ मिलते हैं जहाँ x² = 16, अर्थात x = ±4। क्षेत्र y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
- A = 2 ∫₀^4 (4 − x²/4) dx = 2 [4x − x³/12]₀^4 = 2 (16 − 16/3)
- उत्तर: A = 64/3 वर्ग इकाई।
- Ye wahan milte hain jahan x² = 16, yaani x = ±4. Region y-axis ke saapeksh symmetric hai.
- A = 2 ∫₀^4 (4 − x²/4) dx = 2 [4x − x³/12]₀^4 = 2 (16 − 16/3)
- Answer: A = 64/3 square units.
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
📐 Area of the ellipse x²/a² + y²/b² = 1 is πab (full proof)दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 का क्षेत्रफल πab (पूर्ण उपपत्ति)Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 ka area πab (poora proof)
- Draw the ellipse with vertices (±a, 0), (0, ±b). Shade the first-quadrant part OAB.
- From the equation: y² = (b²/a²)(a² − x²), so in the first quadrant y = (b/a)√(a² − x²).
- By symmetry, Area = 4 × area OAB = 4 ∫₀^a (b/a)√(a² − x²) dx.
- = (4b/a) [(x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a)]₀^a
- = (4b/a) [0 + (a²/2) sin⁻¹(1) − 0] = (4b/a)(a²/2)(π/2)
- = πab square units. Put b = a to get the circle: πa².
- शीर्ष (±a, 0), (0, ±b) वाला दीर्घवृत्त बनाइए। प्रथम चतुर्थांश वाला भाग OAB छायांकित कीजिए।
- समीकरण से: y² = (b²/a²)(a² − x²), अतः प्रथम चतुर्थांश में y = (b/a)√(a² − x²)।
- सममिति से, क्षेत्रफल = 4 × क्षेत्रफल OAB = 4 ∫₀^a (b/a)√(a² − x²) dx।
- = (4b/a) [(x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a)]₀^a
- = (4b/a) [0 + (a²/2) sin⁻¹(1) − 0] = (4b/a)(a²/2)(π/2)
- = πab वर्ग इकाई। b = a रखने पर वृत्त: πa²।
- Vertices (±a, 0), (0, ±b) wala ellipse banaiye. First quadrant wala hissa OAB shade kijiye.
- Equation se: y² = (b²/a²)(a² − x²), isliye first quadrant mein y = (b/a)√(a² − x²).
- Symmetry se, Area = 4 × area OAB = 4 ∫₀^a (b/a)√(a² − x²) dx.
- = (4b/a) [(x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a)]₀^a
- = (4b/a) [0 + (a²/2) sin⁻¹(1) − 0] = (4b/a)(a²/2)(π/2)
- = πab square units. b = a rakhne par circle: πa².
The area bounded by x = y² and x = 4 is divided into two equal parts by the line x = a. Find a.x = y² और x = 4 से घिरे क्षेत्र को रेखा x = a दो बराबर भागों में बाँटती है। a ज्ञात कीजिए।x = y² aur x = 4 se ghire region ko line x = a do barabar hisson mein baant-ti hai. a nikaliye.
- Upper half: y = √x. Area from 0 to a (both halves) = 2∫₀^a √x dx = (4/3) a^{3/2}.
- Total area from 0 to 4 = (4/3)·4^{3/2} = 32/3.
- Equal parts: (4/3) a^{3/2} = 16/3, so a^{3/2} = 4.
- Answer: a = 4^{2/3} = (16)^{1/3} ≈ 2.52.
- ऊपरी भाग: y = √x। 0 से a तक क्षेत्रफल (दोनों भाग) = 2∫₀^a √x dx = (4/3) a^{3/2}।
- 0 से 4 तक कुल क्षेत्रफल = (4/3)·4^{3/2} = 32/3।
- बराबर भाग: (4/3) a^{3/2} = 16/3, अतः a^{3/2} = 4।
- उत्तर: a = 4^{2/3} = (16)^{1/3} ≈ 2.52।
- Upar wala hissa: y = √x. 0 se a tak area (dono hisse) = 2∫₀^a √x dx = (4/3) a^{3/2}.
- 0 se 4 tak total area = (4/3)·4^{3/2} = 32/3.
- Barabar hisse: (4/3) a^{3/2} = 16/3, isliye a^{3/2} = 4.
- Answer: a = 4^{2/3} = (16)^{1/3} ≈ 2.52.
Find the area of the circle (x − 2)² + y² = 4 by integration.समाकलन द्वारा वृत्त (x − 2)² + y² = 4 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Integration se circle (x − 2)² + y² = 4 ka area nikaliye.
- Centre (2, 0), radius 2; x runs from 0 to 4. Upper half: y = √(4 − (x − 2)²).
- A = 2∫₀^4 √(4 − (x − 2)²) dx. Put x − 2 = t: A = 2∫₋₂^2 √(4 − t²) dt = 4∫₀^2 √(4 − t²) dt.
- = 4 [(t/2)√(4 − t²) + 2 sin⁻¹(t/2)]₀^2 = 4 · 2 · (π/2) = 4π
- Answer: 4π square units.
- केंद्र (2, 0), त्रिज्या 2; x का मान 0 से 4। ऊपरी भाग: y = √(4 − (x − 2)²)।
- A = 2∫₀^4 √(4 − (x − 2)²) dx। x − 2 = t रखिए: A = 2∫₋₂^2 √(4 − t²) dt = 4∫₀^2 √(4 − t²) dt।
- = 4 [(t/2)√(4 − t²) + 2 sin⁻¹(t/2)]₀^2 = 4 · 2 · (π/2) = 4π
- उत्तर: 4π वर्ग इकाई।
- Centre (2, 0), radius 2; x 0 se 4 tak. Upar wala hissa: y = √(4 − (x − 2)²).
- A = 2∫₀^4 √(4 − (x − 2)²) dx. x − 2 = t rakhiye: A = 2∫₋₂^2 √(4 − t²) dt = 4∫₀^2 √(4 − t²) dt.
- = 4 [(t/2)√(4 − t²) + 2 sin⁻¹(t/2)]₀^2 = 4 · 2 · (π/2) = 4π
- Answer: 4π square units.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Taking ∫₀^{2π} sin x dx = 0 as the area → split and add absolute values: area = 4.
- Forgetting the factor 4 (or 2) from symmetry → write 'by symmetry, A = 4 × …' clearly.
- Writing a negative area → area is always positive.
- Missing figure → a rough shaded sketch is part of the marking.
- ∫₀^{2π} sin x dx = 0 को क्षेत्रफल मानना → विभाजित करके निरपेक्ष मान जोड़िए: क्षेत्रफल = 4।
- सममिति का 4 (या 2) गुणक भूलना → स्पष्ट लिखिए 'सममिति से, A = 4 × …'।
- ऋणात्मक क्षेत्रफल लिखना → क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है।
- चित्र न बनाना → छायांकित कच्चा चित्र अंकन का हिस्सा है।
- ∫₀^{2π} sin x dx = 0 ko area maan lena → split karke absolute values jodiye: area = 4.
- Symmetry ka 4 (ya 2) factor bhoolna → saaf likhiye 'symmetry se, A = 4 × …'.
- Negative area likhna → area hamesha positive hota hai.
- Figure na banana → shade kiya rough sketch marking ka hissa hai.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Area between two curves (older papers): A = ∫ₐ^b (y_upper − y_lower) dx, where a, b are the x-values of the intersection points.
- Area against the y-axis: A = ∫_c^d x dy, useful when x is easy to write in terms of y (like x = y²).
- दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल (पुराने प्रश्नपत्र): A = ∫ₐ^b (y_ऊपरी − y_निचला) dx, जहाँ a, b प्रतिच्छेद बिंदुओं के x-मान हैं।
- y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल: A = ∫_c^d x dy, जब x को y में लिखना आसान हो (जैसे x = y²)।
- Do curves ke beech ka area (purane papers): A = ∫ₐ^b (y_upper − y_lower) dx, jahan a, b intersection points ke x-values hain.
- y-axis ke saapeksh area: A = ∫_c^d x dy, jab x ko y mein likhna aasaan ho (jaise x = y²).
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- A = ∫ₐ^b y dx
- Ellipse area = πab
- Circle area = πa²
- ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫₀^a √(a² − x²) dx = πa²/4
- y² = 4ax with latus rectum: 8a²/3
- y = sin x (or cos x), 0 to 2π: area 4
- ∫ √x dx = (2/3)x^{3/2} + C
- Below the x-axis: take |∫ y dx|.
- A = ∫ₐ^b y dx
- Ellipse area = πab
- Circle area = πa²
- ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫₀^a √(a² − x²) dx = πa²/4
- y² = 4ax with latus rectum: 8a²/3
- y = sin x (or cos x), 0 to 2π: area 4
- ∫ √x dx = (2/3)x^{3/2} + C
- x-अक्ष के नीचे: |∫ y dx| लीजिए।
- A = ∫ₐ^b y dx
- Ellipse area = πab
- Circle area = πa²
- ∫ √(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫₀^a √(a² − x²) dx = πa²/4
- y² = 4ax with latus rectum: 8a²/3
- y = sin x (or cos x), 0 to 2π: area 4
- ∫ √x dx = (2/3)x^{3/2} + C
- x-axis ke neeche: |∫ y dx| lijiye.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Area between two curves (e.g. circle x² + y² = 8x and parabola y² = 4x; parabolas y² = 4ax and x² = 4ay) — removed from the rationalised NCERT book; the UPMSP 2026-27 syllabus lists only area under simple curves, lines, circles, parabolas and ellipses. Older papers asked it; skip it if short of time.दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल (जैसे वृत्त x² + y² = 8x और परवलय y² = 4x; परवलय y² = 4ax और x² = 4ay) — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटाया गया; UPMSP 2026-27 पाठ्यक्रम में केवल सरल वक्रों, रेखाओं, वृत्त, परवलय और दीर्घवृत्त के नीचे का क्षेत्रफल है। पुराने प्रश्नपत्रों में पूछा गया था; समय कम हो तो छोड़ दीजिए।Do curves ke beech ka area (jaise circle x² + y² = 8x aur parabola y² = 4x; parabolas y² = 4ax aur x² = 4ay) — rationalised NCERT book se hata diya gaya; UPMSP 2026-27 syllabus mein sirf simple curves, lines, circle, parabola aur ellipse ke neeche ka area hai. Purane papers mein poocha gaya tha; time kam ho toh chhod dijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.