Differential Equationsअवकल समीकरणDifferential Equations

• Form: dy/dx + P·y = Q, where P and Q are functions of x only (or constants).
• Step 1: bring it to this form (divide by the coefficient of dy/dx). Step 2: integrating factor I.F. = e^{∫P dx}. Step 3: solution y·(I.F.) = ∫ Q·(I.F.) dx + C.
• Useful: e^{log f(x)} = f(x). So P = 2/x gives I.F. = x²; P = cot x gives I.F. = sin x; P = 2x/(1 + x²) gives I.F. = 1 + x²; P = tan x gives I.F. = sec x.
• MCQ: the I.F. of x dy/dx + 2y = x² is x² (first divide by x: P = 2/x).
• If y² or a function of y appears with dx (like y dx + (x − y²) dy = 0), write it as dx/dy + P₁x = Q₁ (P₁, Q₁ functions of y). Then I.F. = e^{∫P₁ dy} and x·(I.F.) = ∫ Q₁·(I.F.) dy + C.
• For a particular solution, put the given values (like y = 0 when x = π/2) to find C, then write the final equation.

• रूप: dy/dx + P·y = Q, जहाँ P और Q केवल x के फलन (या अचर) हैं।
• चरण 1: इसे इस रूप में लाइए (dy/dx के गुणांक से भाग दीजिए)। चरण 2: समाकलन गुणक I.F. = e^{∫P dx}। चरण 3: हल y·(I.F.) = ∫ Q·(I.F.) dx + C।
• उपयोगी: e^{log f(x)} = f(x)। अतः P = 2/x से I.F. = x²; P = cot x से I.F. = sin x; P = 2x/(1 + x²) से I.F. = 1 + x²; P = tan x से I.F. = sec x।
• MCQ: x dy/dx + 2y = x² का I.F. x² है (पहले x से भाग दीजिए: P = 2/x)।
• यदि dx के साथ y² या y का फलन आए (जैसे y dx + (x − y²) dy = 0), तो इसे dx/dy + P₁x = Q₁ लिखिए (P₁, Q₁ y के फलन)। तब I.F. = e^{∫P₁ dy} तथा x·(I.F.) = ∫ Q₁·(I.F.) dy + C।
• विशिष्ट हल के लिए दिए गए मान (जैसे x = π/2 पर y = 0) रखकर C ज्ञात कीजिए, फिर अंतिम समीकरण लिखिए।

• Form: dy/dx + P·y = Q, jahan P aur Q sirf x ke functions (ya constants) hain.
• Step 1: ise is form mein laaiye (dy/dx ke coefficient se divide kijiye). Step 2: integrating factor I.F. = e^{∫P dx}. Step 3: solution y·(I.F.) = ∫ Q·(I.F.) dx + C.
• Kaam ki baat: e^{log f(x)} = f(x). Isliye P = 2/x se I.F. = x²; P = cot x se I.F. = sin x; P = 2x/(1 + x²) se I.F. = 1 + x²; P = tan x se I.F. = sec x.
• MCQ: x dy/dx + 2y = x² ka I.F. x² hai (pehle x se divide kijiye: P = 2/x).
• Agar dx ke saath y² ya y ka function aaye (jaise y dx + (x − y²) dy = 0), toh ise dx/dy + P₁x = Q₁ likhiye (P₁, Q₁ y ke functions). Tab I.F. = e^{∫P₁ dy} aur x·(I.F.) = ∫ Q₁·(I.F.) dy + C.
• Particular solution ke liye diye gaye values (jaise x = π/2 par y = 0) rakhkar C nikaliye, phir final equation likhiye.

💡 Always write 'This is a linear differential equation of the form dy/dx + Py = Q' and then P = …, Q = … — this line itself earns a mark.हमेशा लिखिए 'यह dy/dx + Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है' और फिर P = …, Q = … — इसी पंक्ति के अंक मिलते हैं।Hamesha likhiye 'Yeh dy/dx + Py = Q form ka linear differential equation hai' aur phir P = …, Q = … — isi line ke marks milte hain.

• Order = the order of the HIGHEST derivative present (d³y/dx³ → order 3).
• Degree = the power of that highest-order derivative, AFTER the equation is made a polynomial in the derivatives (no fractional powers, no roots).
• If a derivative is inside sin, cos, log, eˣ etc. (like sin(dy/dx)), the degree is NOT defined. Order is still defined.
• Fractional power: 9 d²y/dx² = [1 + (dy/dx)²]^{1/3} → cube both sides: 729 (d²y/dx²)³ = 1 + (dy/dx)². Order 2, degree 3.
• sin x, log x, y⁵ etc. (functions of x or y, not of derivatives) do not affect the degree.
• Order and degree (when defined) are always positive integers.

• कोटि = उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि (d³y/dx³ → कोटि 3)।
• घात = उच्चतम कोटि के अवकलज की घात, जब समीकरण को अवकलजों में बहुपद बना लिया जाए (कोई भिन्नात्मक घात, कोई मूल नहीं)।
• यदि कोई अवकलज sin, cos, log, eˣ आदि के अंदर हो (जैसे sin(dy/dx)), तो घात परिभाषित नहीं है। कोटि फिर भी परिभाषित है।
• भिन्नात्मक घात: 9 d²y/dx² = [1 + (dy/dx)²]^{1/3} → दोनों ओर घन: 729 (d²y/dx²)³ = 1 + (dy/dx)²। कोटि 2, घात 3।
• sin x, log x, y⁵ आदि (x या y के फलन, अवकलजों के नहीं) घात को प्रभावित नहीं करते।
• कोटि और घात (जब परिभाषित हों) सदैव धन पूर्णांक होते हैं।

• Order = sabse UNCHE derivative ka order (d³y/dx³ → order 3).
• Degree = us sabse unche derivative ki power, JAB equation ko derivatives mein polynomial bana liya jaye (koi fractional power ya root nahi).
• Agar koi derivative sin, cos, log, eˣ ke andar ho (jaise sin(dy/dx)), toh degree defined NAHI hai. Order phir bhi defined hai.
• Fractional power: 9 d²y/dx² = [1 + (dy/dx)²]^{1/3} → dono taraf cube: 729 (d²y/dx²)³ = 1 + (dy/dx)². Order 2, degree 3.
• sin x, log x, y⁵ waghaira (x ya y ke functions, derivatives ke nahi) degree par asar nahi daalte.
• Order aur degree (jab defined hon) hamesha positive integers hote hain.

💡 Before reading the degree, remove every root/fraction power by raising both sides to a power.घात पढ़ने से पहले, दोनों पक्षों पर घात लगाकर हर मूल/भिन्नात्मक घात हटाइए।Degree padhne se pehle, dono sides par power lagakar har root/fractional power hataaiye.

• If dy/dx = f(x)·g(y), write dy/g(y) = f(x) dx and integrate both sides; add one constant C.
• e^{x+y} = eˣ·eʸ: so dy/dx = e^{x+y} gives e^{−y} dy = eˣ dx → −e^{−y} = eˣ + c → eˣ + e^{−y} = C.
• log(dy/dx) = ax + by means dy/dx = e^{ax}·e^{by}: separable.
• dy/dx = (1 + x²)(1 + y²) → dy/(1 + y²) = (1 + x²) dx → tan⁻¹y = x + x³/3 + C.

• यदि dy/dx = f(x)·g(y), तो dy/g(y) = f(x) dx लिखकर दोनों ओर समाकलन कीजिए; एक अचर C जोड़िए।
• e^{x+y} = eˣ·eʸ: अतः dy/dx = e^{x+y} से e^{−y} dy = eˣ dx → −e^{−y} = eˣ + c → eˣ + e^{−y} = C।
• log(dy/dx) = ax + by का अर्थ dy/dx = e^{ax}·e^{by}: पृथक्करणीय।
• dy/dx = (1 + x²)(1 + y²) → dy/(1 + y²) = (1 + x²) dx → tan⁻¹y = x + x³/3 + C।

• Agar dy/dx = f(x)·g(y), toh dy/g(y) = f(x) dx likhkar dono taraf integrate kijiye; ek constant C jodiye.
• e^{x+y} = eˣ·eʸ: isliye dy/dx = e^{x+y} se e^{−y} dy = eˣ dx → −e^{−y} = eˣ + c → eˣ + e^{−y} = C.
• log(dy/dx) = ax + by ka matlab dy/dx = e^{ax}·e^{by}: separable.
• dy/dx = (1 + x²)(1 + y²) → dy/(1 + y²) = (1 + x²) dx → tan⁻¹y = x + x³/3 + C.

• General solution has as many arbitrary constants as the ORDER of the equation. A 5th-order equation → 5 constants; a particular solution → 0 constants.
• To verify y = f(x) is a solution: find dy/dx (and d²y/dx² if needed), put them in the left side, simplify, and show it equals the right side.
• Example: y = a cos x + b sin x → y′′ = −a cos x − b sin x = −y, so y′′ + y = 0.

• व्यापक हल में उतने स्वेच्छ अचर होते हैं जितनी समीकरण की कोटि। 5वीं कोटि → 5 अचर; विशिष्ट हल → 0 अचर।
• y = f(x) हल है, यह सत्यापित करने के लिए: dy/dx (और आवश्यक हो तो d²y/dx²) ज्ञात कीजिए, बाएँ पक्ष में रखकर सरल कीजिए और दाएँ पक्ष के बराबर दिखाइए।
• उदाहरण: y = a cos x + b sin x → y′′ = −a cos x − b sin x = −y, अतः y′′ + y = 0।

• General solution mein utne arbitrary constants hote hain jitna equation ka ORDER. 5th order → 5 constants; particular solution → 0 constants.
• y = f(x) solution hai, yeh verify karne ke liye: dy/dx (aur zaroorat ho toh d²y/dx²) nikaliye, LHS mein rakhkar simplify kijiye aur RHS ke barabar dikhaiye.
• Example: y = a cos x + b sin x → y′′ = −a cos x − b sin x = −y, isliye y′′ + y = 0.

• dy/dx = F(x, y) is homogeneous if F(λx, λy) = F(x, y), i.e. F is a function of y/x only. Every term in numerator and denominator has the same total degree.
• Method: put y = vx, so dy/dx = v + x dv/dx. Then separate v and x, integrate, and finally put v = y/x.
• Check homogeneity in one line: 'Here F(λx, λy) = λ⁰F(x, y), so it is homogeneous of degree zero' — this earns a mark.
• If x/y form is easier (dx/dy = G(x/y)), put x = vy instead.

• dy/dx = F(x, y) समघातीय है यदि F(λx, λy) = F(x, y), अर्थात F केवल y/x का फलन है। अंश और हर के हर पद की कुल घात समान होती है।
• विधि: y = vx रखिए, तब dy/dx = v + x dv/dx। फिर v और x को पृथक कर समाकलन कीजिए, अंत में v = y/x रखिए।
• एक पंक्ति में समघातीयता जाँचिए: 'यहाँ F(λx, λy) = λ⁰F(x, y), अतः यह शून्य घात का समघातीय है' — इसके अंक मिलते हैं।
• यदि x/y वाला रूप आसान हो (dx/dy = G(x/y)), तो x = vy रखिए।

• dy/dx = F(x, y) homogeneous hai agar F(λx, λy) = F(x, y), yaani F sirf y/x ka function hai. Numerator aur denominator ke har term ki total degree same hoti hai.
• Method: y = vx rakhiye, tab dy/dx = v + x dv/dx. Phir v aur x ko alag karke integrate kijiye, aakhir mein v = y/x rakhiye.
• Ek line mein homogeneity check kijiye: 'Yahan F(λx, λy) = λ⁰F(x, y), isliye yeh zero degree ka homogeneous hai' — iske marks milte hain.
• Agar x/y wala form aasaan ho (dx/dy = G(x/y)), toh x = vy rakhiye.

💡 Do not forget the last step: put v back as y/x. An answer left in v loses a mark.अंतिम चरण न भूलें: v को वापस y/x रखिए। v में छोड़ा गया उत्तर एक अंक कटवाता है।Aakhri step mat bhooliye: v ko wapas y/x rakhiye. v mein chhoda answer ek mark katwata hai.