Ray Optics and Optical Instrumentsकिरण प्रकाशिकी एवं प्रकाशिक यंत्रRay Optics and Optical Instruments

• Lens maker's formula: 1/f = (n₂₁ − 1)(1/R₁ − 1/R₂), where n₂₁ = n(lens)/n(surrounding medium).
• R₁, R₂: radii of curvature of the first and second surfaces, with sign convention. Equiconvex: R₁ = +R, R₂ = −R ⇒ 1/f = 2(n − 1)/R. Equiconcave: R₁ = −R, R₂ = +R ⇒ 1/f = −2(n − 1)/R.
• Plano-convex: R₂ = ∞ ⇒ 1/f = (n − 1)/R₁.
• It is called lens maker's formula because it tells the lens maker which radii to grind for a required focal length.
• Lens in a liquid: 1/f′ = (n_g/n_l − 1)(1/R₁ − 1/R₂). Divide by the formula in air: f′/f = (n_g − 1)/(n_g/n_l − 1).
• If n_l < n_g (e.g. glass lens in water): focal length increases, nature unchanged (convex stays converging), power decreases. So power of a lens is larger in air than in water.
• If n_l > n_g (e.g. glass lens n = 1.5 in carbon disulphide n = 1.63): n_g/n_l − 1 is negative, so a convex lens behaves as a diverging lens.
• If n_l = n_g: f = ∞, the lens becomes invisible (no bending).

• लेंस मेकर सूत्र: 1/f = (n₂₁ − 1)(1/R₁ − 1/R₂), जहाँ n₂₁ = n(लेंस)/n(परिवेशी माध्यम)।
• R₁, R₂: पहले और दूसरे पृष्ठ की वक्रता त्रिज्याएँ, चिह्न परिपाटी सहित। समोत्तल: R₁ = +R, R₂ = −R ⇒ 1/f = 2(n − 1)/R। समअवतल: R₁ = −R, R₂ = +R ⇒ 1/f = −2(n − 1)/R।
• समतलोत्तल: R₂ = ∞ ⇒ 1/f = (n − 1)/R₁।
• इसे लेंस मेकर सूत्र इसलिए कहते हैं क्योंकि यह लेंस निर्माता को बताता है कि वांछित फोकस दूरी के लिए कौन-सी त्रिज्याएँ बनानी हैं।
• द्रव में लेंस: 1/f′ = (n_g/n_l − 1)(1/R₁ − 1/R₂)। वायु वाले सूत्र से भाग देने पर: f′/f = (n_g − 1)/(n_g/n_l − 1)।
• यदि n_l < n_g (जैसे काँच का लेंस जल में): फोकस दूरी बढ़ती है, प्रकृति वही रहती है (उत्तल अभिसारी ही रहता है), क्षमता घटती है। अतः लेंस की क्षमता जल की अपेक्षा वायु में अधिक होती है।
• यदि n_l > n_g (जैसे n = 1.5 का काँच का लेंस कार्बन डाइसल्फ़ाइड n = 1.63 में): n_g/n_l − 1 ऋणात्मक, अतः उत्तल लेंस अपसारी लेंस की तरह व्यवहार करता है।
• यदि n_l = n_g: f = ∞, लेंस अदृश्य हो जाता है (कोई मुड़ाव नहीं)।

• Lens maker's formula: 1/f = (n₂₁ − 1)(1/R₁ − 1/R₂), jahan n₂₁ = n(lens)/n(aas-paas ka medium).
• R₁, R₂: pehli aur doosri surface ki radius of curvature, sign convention ke saath. Equiconvex: R₁ = +R, R₂ = −R ⇒ 1/f = 2(n − 1)/R. Equiconcave: R₁ = −R, R₂ = +R ⇒ 1/f = −2(n − 1)/R.
• Plano-convex: R₂ = ∞ ⇒ 1/f = (n − 1)/R₁.
• Ise lens maker's formula isliye kehte hain kyunki yeh lens banane wale ko batata hai ki chahi gayi focal length ke liye kaunsi radii banani hain.
• Liquid mein lens: 1/f′ = (n_g/n_l − 1)(1/R₁ − 1/R₂). Air wale formula se divide karke: f′/f = (n_g − 1)/(n_g/n_l − 1).
• Agar n_l < n_g (jaise glass lens paani mein): focal length badhti hai, nature wahi rehta hai (convex converging hi rehta hai), power ghat-ti hai. Isliye lens ki power paani se zyada hawa mein hoti hai.
• Agar n_l > n_g (jaise n = 1.5 ka glass lens carbon disulphide n = 1.63 mein): n_g/n_l − 1 negative, isliye convex lens diverging lens ki tarah kaam karta hai.
• Agar n_l = n_g: f = ∞, lens dikhai nahi deta (koi bending nahi).

💡 In the derivation, write the sign convention step clearly (BC₁ = +R₁, DC₂ = −R₂); that single line is where most marks are lost.व्युत्पत्ति में चिह्न परिपाटी वाला चरण (BC₁ = +R₁, DC₂ = −R₂) साफ़ लिखिए; अधिकतर अंक इसी पंक्ति में कटते हैं।Derivation mein sign convention wala step (BC₁ = +R₁, DC₂ = −R₂) saaf likhiye; zyadatar marks isi line mein katte hain.

• Equivalent focal length: 1/F = 1/f₁ + 1/f₂ (+ 1/f₃ …).
• Power adds: P = P₁ + P₂ + … (with signs).
• Magnification multiplies: m = m₁ × m₂ × …
• Convex lens (f) in contact with concave lens (−f) of the same focal length: 1/F = 1/f − 1/f = 0 ⇒ F = ∞, P = 0. The pair behaves like a plane glass plate.
• Combinations are used in cameras and microscopes to increase magnification and reduce defects.

• तुल्य फोकस दूरी: 1/F = 1/f₁ + 1/f₂ (+ 1/f₃ …)।
• क्षमताएँ जुड़ती हैं: P = P₁ + P₂ + … (चिह्न सहित)।
• आवर्धन गुणा होते हैं: m = m₁ × m₂ × …
• समान फोकस दूरी का उत्तल लेंस (f) और अवतल लेंस (−f) संपर्क में: 1/F = 1/f − 1/f = 0 ⇒ F = ∞, P = 0। यह युग्म समतल काँच की पट्टिका की तरह व्यवहार करता है।
• कैमरे और सूक्ष्मदर्शी में आवर्धन बढ़ाने और दोष घटाने के लिए लेंसों के संयोजन प्रयुक्त होते हैं।

• Equivalent focal length: 1/F = 1/f₁ + 1/f₂ (+ 1/f₃ …).
• Powers judti hain: P = P₁ + P₂ + … (sign ke saath).
• Magnifications multiply hote hain: m = m₁ × m₂ × …
• Same focal length ka convex lens (f) aur concave lens (−f) contact mein: 1/F = 1/f − 1/f = 0 ⇒ F = ∞, P = 0. Yeh jodi plane glass plate ki tarah kaam karti hai.
• Camera aur microscope mein magnification badhane aur defects ghatane ke liye lens combinations use hote hain.

• For a prism of angle A: r₁ + r₂ = A and angle of deviation δ = i + e − A.
• As i increases, δ first decreases, reaches a minimum Dm, then increases: the i–δ graph is U-shaped.
• At minimum deviation: i = e, r₁ = r₂ = A/2, and the ray inside the prism is parallel to the base.
• Refractive index: n = sin[(A + Dm)/2] / sin(A/2).
• Thin prism (small A): δ = (n − 1)A.
• Dispersion (splitting of white light into colours) happens because n is different for different colours; violet deviates the most, red the least.
• Special case asked often: if A = Dm, then n = sin A / sin(A/2) = 2 cos(A/2). (For n = √3: A = Dm = 60°.)

• कोण A के प्रिज्म के लिए: r₁ + r₂ = A और विचलन कोण δ = i + e − A।
• i बढ़ने पर δ पहले घटता है, न्यूनतम Dm तक पहुँचता है, फिर बढ़ता है: i–δ ग्राफ U-आकार का होता है।
• न्यूनतम विचलन पर: i = e, r₁ = r₂ = A/2, और प्रिज्म के अंदर किरण आधार के समांतर।
• अपवर्तनांक: n = sin[(A + Dm)/2] / sin(A/2)।
• पतला प्रिज्म (छोटा A): δ = (n − 1)A।
• वर्ण-विक्षेपण (श्वेत प्रकाश का रंगों में बँटना) इसलिए होता है क्योंकि अलग-अलग रंगों के लिए n अलग है; बैंगनी सबसे अधिक, लाल सबसे कम विचलित होता है।
• अक्सर पूछा जाने वाला विशेष मामला: यदि A = Dm, तो n = sin A / sin(A/2) = 2 cos(A/2)। (n = √3 के लिए: A = Dm = 60°।)

• Angle A ke prism ke liye: r₁ + r₂ = A aur angle of deviation δ = i + e − A.
• i badhne par δ pehle ghatta hai, minimum Dm tak pahunchta hai, phir badhta hai: i–δ graph U-shape ka hota hai.
• Minimum deviation par: i = e, r₁ = r₂ = A/2, aur prism ke andar ray base ke parallel.
• Refractive index: n = sin[(A + Dm)/2] / sin(A/2).
• Patla prism (chhota A): δ = (n − 1)A.
• Dispersion (white light ka rangon mein batna) isliye hota hai kyunki alag rangon ke liye n alag hai; violet sabse zyada, red sabse kam deviate hota hai.
• Aksar poocha jaane wala special case: agar A = Dm, toh n = sin A / sin(A/2) = 2 cos(A/2). (n = √3 ke liye: A = Dm = 60°.)

• Objective: large focal length fo and large aperture; eyepiece: small focal length fe.
• Parallel rays from a distant object form a real, inverted image at the focus of the objective; the eyepiece magnifies it.
• Normal adjustment (final image at infinity): magnifying power m = fo/fe; length of tube L = fo + fe.
• Final image is inverted (not a problem for astronomy).
• Large fo and small fe give high magnifying power; large aperture gives more light-gathering.

• अभिदृश्यक: बड़ी फोकस दूरी fo और बड़ा द्वारक; नेत्रिका: छोटी फोकस दूरी fe।
• दूर की वस्तु से आती समांतर किरणें अभिदृश्यक के फोकस पर वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब बनाती हैं; नेत्रिका उसे बड़ा करती है।
• सामान्य समायोजन (अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर): आवर्धन क्षमता m = fo/fe; नली की लंबाई L = fo + fe।
• अंतिम प्रतिबिंब उल्टा होता है (खगोल विज्ञान में समस्या नहीं)।
• बड़ा fo और छोटा fe अधिक आवर्धन देते हैं; बड़ा द्वारक अधिक प्रकाश एकत्र करता है।

• Objective: badi focal length fo aur bada aperture; eyepiece: chhoti focal length fe.
• Door ki cheez se aati parallel rays objective ke focus par real, ulti image banati hain; eyepiece use bada karta hai.
• Normal adjustment (final image infinity par): magnifying power m = fo/fe; tube ki length L = fo + fe.
• Final image ulti hoti hai (astronomy mein problem nahi).
• Bada fo aur chhota fe zyada magnification dete hain; bada aperture zyada light ikattha karta hai.

• When light goes from a denser to a rarer medium, it bends away from the normal. At one angle of incidence (the critical angle C), the refracted ray grazes the surface (r = 90°).
• For i > C, no refraction happens: all light is reflected back into the denser medium. This is total internal reflection (TIR).
• Two conditions: (1) light must travel from denser to rarer medium; (2) angle of incidence must be greater than the critical angle.
• Relation: sin C = 1/n (n = refractive index of the denser medium relative to the rarer one).
• Glass (n ≈ 1.5): C ≈ 42°. Diamond (n ≈ 2.42): C ≈ 24.4°, very small, so light is trapped and diamond sparkles.
• In TIR almost 100% of light is reflected, more than any mirror.

• जब प्रकाश सघन से विरल माध्यम में जाता है तो अभिलंब से दूर मुड़ता है। आपतन के एक विशेष कोण (क्रांतिक कोण C) पर अपवर्तित किरण पृष्ठ को छूती हुई (r = 90°) निकलती है।
• i > C पर अपवर्तन नहीं होता: सारा प्रकाश सघन माध्यम में ही परावर्तित हो जाता है। यही पूर्ण आंतरिक परावर्तन है।
• दो शर्तें: (1) प्रकाश सघन से विरल माध्यम में जाए; (2) आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक हो।
• संबंध: sin C = 1/n (n = विरल के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक)।
• काँच (n ≈ 1.5): C ≈ 42°। हीरा (n ≈ 2.42): C ≈ 24.4°, बहुत छोटा, अतः प्रकाश अंदर फँस जाता है और हीरा चमकता है।
• पूर्ण आंतरिक परावर्तन में लगभग 100% प्रकाश परावर्तित होता है, किसी भी दर्पण से अधिक।

• Jab light denser se rarer medium mein jaati hai toh normal se door mudti hai. Ek khaas angle of incidence (critical angle C) par refracted ray surface ko chhoote hue (r = 90°) nikalti hai.
• i > C par refraction nahi hota: saari light denser medium mein hi wapas reflect ho jaati hai. Yahi total internal reflection (TIR) hai.
• Do conditions: (1) light denser se rarer medium mein jaaye; (2) angle of incidence critical angle se zyada ho.
• Relation: sin C = 1/n (n = rarer ke relative denser medium ka refractive index).
• Glass (n ≈ 1.5): C ≈ 42°. Diamond (n ≈ 2.42): C ≈ 24.4°, bahut chhota, isliye light andar phans jaati hai aur diamond chamakta hai.
• TIR mein lagbhag 100% light reflect hoti hai, kisi bhi mirror se zyada.

• Thin lens formula: 1/v − 1/u = 1/f (sign convention; f positive for convex, negative for concave).
• Magnification m = h′/h = v/u. Negative m → real, inverted; positive m → virtual, erect.
• Optical centre: the point on the principal axis of a lens through which a ray passes without any deviation.
• Convex lens, object beyond 2F: image between F and 2F, real, inverted, diminished. Object between F and optical centre: virtual, erect, magnified (magnifying glass).
• Concave lens: image always virtual, erect, diminished, between F and the lens.

• पतले लेंस का सूत्र: 1/v − 1/u = 1/f (चिह्न परिपाटी; उत्तल के लिए f धनात्मक, अवतल के लिए ऋणात्मक)।
• आवर्धन m = h′/h = v/u। m ऋणात्मक → वास्तविक, उल्टा; m धनात्मक → आभासी, सीधा।
• प्रकाशिक केंद्र: लेंस के मुख्य अक्ष पर वह बिंदु जिससे होकर जाने वाली किरण बिना विचलन के निकल जाती है।
• उत्तल लेंस, वस्तु 2F से परे: प्रतिबिंब F और 2F के बीच, वास्तविक, उल्टा, छोटा। वस्तु F और प्रकाशिक केंद्र के बीच: आभासी, सीधा, बड़ा (आवर्धक लेंस)।
• अवतल लेंस: प्रतिबिंब सदैव आभासी, सीधा, छोटा, F और लेंस के बीच।

• Thin lens formula: 1/v − 1/u = 1/f (sign convention; convex ke liye f positive, concave ke liye negative).
• Magnification m = h′/h = v/u. Negative m → real, ulti; positive m → virtual, seedhi.
• Optical centre: lens ke principal axis par woh point jisse guzarne wali ray bina mude nikal jaati hai.
• Convex lens, object 2F se aage: image F aur 2F ke beech, real, ulti, chhoti. Object F aur optical centre ke beech: virtual, seedhi, badi (magnifying glass).
• Concave lens: image hamesha virtual, seedhi, chhoti, F aur lens ke beech.

• Formula: n₂/v − n₁/u = (n₂ − n₁)/R, light going from medium n₁ into medium n₂.
• Valid for paraxial rays and small aperture; all distances with sign convention from the pole of the surface.
• It is the first step of the lens maker's formula (applied twice, once for each surface).
• Plane surface (R = ∞) gives the apparent depth result: v/u = n₂/n₁.

• सूत्र: n₂/v − n₁/u = (n₂ − n₁)/R, प्रकाश माध्यम n₁ से माध्यम n₂ में जाते हुए।
• उपाक्षीय किरणों और छोटे द्वारक के लिए मान्य; सभी दूरियाँ पृष्ठ के ध्रुव से चिह्न परिपाटी सहित।
• यह लेंस मेकर सूत्र का पहला चरण है (प्रत्येक पृष्ठ के लिए एक बार, दो बार लगाया जाता है)।
• समतल पृष्ठ (R = ∞) से आभासी गहराई का परिणाम मिलता है: v/u = n₂/n₁।

• Formula: n₂/v − n₁/u = (n₂ − n₁)/R, light medium n₁ se medium n₂ mein jaate hue.
• Paraxial rays aur chhote aperture ke liye valid; saari distances surface ke pole se sign convention ke saath.
• Yeh lens maker's formula ka pehla step hai (har surface ke liye ek baar, do baar lagaya jata hai).
• Plane surface (R = ∞) se apparent depth ka result milta hai: v/u = n₂/n₁.

• Objective is a large concave (paraboloidal) mirror instead of a lens.
• Cassegrain design: light from the concave primary mirror is reflected by a small convex secondary mirror through a hole in the primary to the eyepiece.
• Advantages: no chromatic aberration, no spherical aberration (paraboloidal mirror), lighter, mechanical support over the whole back, cheaper for large apertures.

• अभिदृश्यक लेंस के स्थान पर बड़ा अवतल (परवलयिक) दर्पण होता है।
• कैसेग्रेन व्यवस्था: अवतल प्राथमिक दर्पण से आया प्रकाश छोटे उत्तल द्वितीयक दर्पण से परावर्तित होकर प्राथमिक दर्पण के छिद्र से नेत्रिका तक पहुँचता है।
• लाभ: वर्ण विपथन नहीं, गोलीय विपथन नहीं (परवलयिक दर्पण), हल्का, पूरे पृष्ठ भाग से यांत्रिक सहारा, बड़े द्वारक के लिए सस्ता।

• Objective lens ki jagah bada concave (paraboloidal) mirror hota hai.
• Cassegrain design: concave primary mirror se aayi light chhote convex secondary mirror se reflect hokar primary mirror ke chhed se eyepiece tak pahunchti hai.
• Faayde: chromatic aberration nahi, spherical aberration nahi (paraboloidal mirror), halka, poori peeth se mechanical support, bade aperture ke liye sasta.

• Two convex lenses: objective (small focal length fo, small aperture) near the object, and eyepiece (focal length fe) near the eye.
• Objective forms a real, inverted, magnified image; the eyepiece acts as a simple microscope and magnifies it further. Final image is virtual, inverted (relative to the object) and highly magnified.
• Magnifying power m = mo × me.
• Final image at infinity (normal adjustment): m = (L/fo)(D/fe), where L = tube length (distance between the second focal point of the objective and the first focal point of the eyepiece), D = 25 cm.
• Final image at the near point D: m = (L/fo)(1 + D/fe).
• For large magnifying power, both fo and fe should be small.

• दो उत्तल लेंस: अभिदृश्यक (छोटी फोकस दूरी fo, छोटा द्वारक) वस्तु के पास, और नेत्रिका (फोकस दूरी fe) आँख के पास।
• अभिदृश्यक वास्तविक, उल्टा, बड़ा प्रतिबिंब बनाता है; नेत्रिका सरल सूक्ष्मदर्शी की तरह उसे और बड़ा करती है। अंतिम प्रतिबिंब आभासी, (वस्तु के सापेक्ष) उल्टा और बहुत बड़ा होता है।
• आवर्धन क्षमता m = mo × me।
• अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर (सामान्य समायोजन): m = (L/fo)(D/fe), जहाँ L = नली की लंबाई (अभिदृश्यक के द्वितीय फोकस और नेत्रिका के प्रथम फोकस के बीच दूरी), D = 25 cm।
• अंतिम प्रतिबिंब निकट बिंदु D पर: m = (L/fo)(1 + D/fe)।
• अधिक आवर्धन क्षमता के लिए fo और fe दोनों छोटे होने चाहिए।

• Do convex lens: objective (chhoti focal length fo, chhota aperture) object ke paas, aur eyepiece (focal length fe) aankh ke paas.
• Objective real, ulti, badi image banata hai; eyepiece simple microscope ki tarah use aur bada karta hai. Final image virtual, (object ke relative) ulti aur bahut badi hoti hai.
• Magnifying power m = mo × me.
• Final image infinity par (normal adjustment): m = (L/fo)(D/fe), jahan L = tube length (objective ke second focus aur eyepiece ke first focus ke beech doori), D = 25 cm.
• Final image near point D par: m = (L/fo)(1 + D/fe).
• Zyada magnifying power ke liye fo aur fe dono chhote hone chahiye.

• Snell's law: n₁ sin i = n₂ sin r, or sin i/sin r = n₂₁ = n₂/n₁.
• Incident ray, refracted ray and normal lie in the same plane.
• Absolute refractive index n = c/v (speed of light in vacuum / in the medium). It has no unit.
• Going into a denser medium (n₂₁ > 1) the ray bends towards the normal; into a rarer medium, away from it. Also n₁₂ = 1/n₂₁.
• Apparent depth: an object under water looks raised; real depth/apparent depth = n (for viewing near the normal).
• A ray passing through a parallel glass slab comes out parallel to the incident ray but shifted sideways (lateral shift).
• Frequency does not change on refraction; speed and wavelength change.

• स्नेल का नियम: n₁ sin i = n₂ sin r, या sin i/sin r = n₂₁ = n₂/n₁।
• आपतित किरण, अपवर्तित किरण और अभिलंब एक ही तल में होते हैं।
• निरपेक्ष अपवर्तनांक n = c/v (निर्वात में प्रकाश की चाल / माध्यम में चाल)। इसका कोई मात्रक नहीं।
• सघन माध्यम में जाने पर (n₂₁ > 1) किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है; विरल में अभिलंब से दूर। साथ ही n₁₂ = 1/n₂₁।
• आभासी गहराई: जल में रखी वस्तु उठी हुई दिखती है; वास्तविक गहराई/आभासी गहराई = n (अभिलंब के निकट से देखने पर)।
• समांतर काँच की पट्टिका से निकली किरण आपतित किरण के समांतर पर पार्श्व में खिसकी होती है (पार्श्विक विस्थापन)।
• अपवर्तन में आवृत्ति नहीं बदलती; चाल और तरंगदैर्ध्य बदलते हैं।

• Snell ka niyam: n₁ sin i = n₂ sin r, ya sin i/sin r = n₂₁ = n₂/n₁.
• Incident ray, refracted ray aur normal ek hi plane mein hote hain.
• Absolute refractive index n = c/v (vacuum mein light ki speed / medium mein speed). Iska koi unit nahi.
• Denser medium mein jaane par (n₂₁ > 1) ray normal ki taraf mudti hai; rarer mein normal se door. Saath hi n₁₂ = 1/n₂₁.
• Apparent depth: paani mein rakhi cheez upar uthi dikhti hai; real depth/apparent depth = n (normal ke paas se dekhne par).
• Parallel glass slab se nikli ray incident ray ke parallel par side mein khiski hoti hai (lateral shift).
• Refraction mein frequency nahi badalti; speed aur wavelength badalte hain.