Quadratic Equationsद्विघात समीकरणQuadratic Equations (Dwighat Samikaran)
Class 10 Maths · Chapter 4 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 4 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 4 · UP Board
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📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
This chapter gives one big word problem (consecutive numbers, right triangle, rectangle, train speed) and a few short questions. First learn to solve by factorisation (splitting the middle term) and by the quadratic formula. Then learn the discriminant D = b² − 4ac: the nature of roots and the 'find k for equal roots' question come from it almost every year. Then practise the word-problem types.इस अध्याय से एक बड़ा शाब्दिक प्रश्न (क्रमागत संख्याएँ, समकोण त्रिभुज, आयत, रेलगाड़ी की चाल) और कुछ छोटे प्रश्न आते हैं। पहले गुणनखंड विधि (मध्य पद विभक्त करके) और द्विघाती सूत्र से हल करना सीखिए। फिर विविक्तकर D = b² − 4ac सीखिए: मूलों की प्रकृति और 'बराबर मूलों के लिए k ज्ञात कीजिए' वाला प्रश्न इसी से बनता है। फिर शाब्दिक प्रश्नों के प्रकारों का अभ्यास कीजिए।Is chapter se ek bada word problem (consecutive numbers, right triangle, rectangle, train ki speed) aur kuch chhote sawaal aate hain. Pehle factorisation (middle term split karke) aur quadratic formula se solve karna seekhiye. Phir discriminant D = b² − 4ac seekhiye: roots ki nature aur 'equal roots ke liye k nikaliye' wala sawaal isi se banta hai. Phir word problems ke types ki practice kijiye.
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- Learn D = b² − 4ac and its three cases. This alone gives 1–2 MCQs.
- Learn 'equal roots ⇒ D = 0' and practise 3 'find k' questions (give ± values).
- Practise factorisation on 5 equations, including one with √3.
- Learn the quadratic formula x = (−b ± √D)/(2a).
- Prepare 3 word-problem types fully: consecutive integers (sum of squares), right triangle (altitude and base), train speed.
- D = b² − 4ac और इसकी तीन स्थितियाँ याद कीजिए। इसी से 1–2 MCQ बनते हैं।
- 'बराबर मूल ⇒ D = 0' याद कीजिए और 3 'k ज्ञात कीजिए' प्रश्नों का अभ्यास कीजिए (± दोनों मान दीजिए)।
- 5 समीकरणों पर गुणनखंड विधि का अभ्यास कीजिए, एक √3 वाला भी।
- द्विघाती सूत्र x = (−b ± √D)/(2a) याद कीजिए।
- 3 शाब्दिक प्रश्न-प्रकार पूरे तैयार कीजिए: क्रमागत पूर्णांक (वर्गों का योग), समकोण त्रिभुज (शीर्षलंब और आधार), रेलगाड़ी की चाल।
- D = b² − 4ac aur iske teen cases yaad kijiye. Isi se 1–2 MCQ bante hain.
- 'Equal roots ⇒ D = 0' yaad kijiye aur 3 'k nikaliye' sawaalon ki practice kijiye (± dono values dijiye).
- 5 equations par factorisation ki practice kijiye, ek √3 wala bhi.
- Quadratic formula x = (−b ± √D)/(2a) yaad kijiye.
- 3 word-problem types poore taiyar kijiye: consecutive integers (squares ka sum), right triangle (altitude aur base), train ki speed.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- D = b² − 4ac.
- D > 0: two distinct real roots; D = 0: two equal real roots; D < 0: no real roots.
- Equal roots: each root = −b/(2a).
- A quadratic equation has at most 2 roots.
- Quadratic formula: x = (−b ± √D)/(2a).
- If a number is a root, it satisfies the equation.
- Sum of roots = −b/a, product = c/a (same as for zeroes of a polynomial).
- D = b² − 4ac।
- D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल; D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।
- बराबर मूल: प्रत्येक मूल = −b/(2a)।
- द्विघात समीकरण के अधिकतम 2 मूल होते हैं।
- द्विघाती सूत्र: x = (−b ± √D)/(2a)।
- यदि कोई संख्या मूल है, तो वह समीकरण को संतुष्ट करती है।
- मूलों का योग = −b/a, गुणनफल = c/a (बहुपद के शून्यकों जैसा ही)।
- D = b² − 4ac.
- D > 0: do alag real roots; D = 0: do barabar real roots; D < 0: koi real root nahi.
- Equal roots: har root = −b/(2a).
- Quadratic equation ke maximum 2 roots hote hain.
- Quadratic formula: x = (−b ± √D)/(2a).
- Agar koi number root hai, to woh equation ko satisfy karta hai.
- Roots ka sum = −b/a, product = c/a (polynomial ke zeroes jaisa hi).
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Word problems that give a quadratic equationद्विघात समीकरण वाले शाब्दिक प्रश्नQuadratic equation wale word problems
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: let the unknown be x. Step 2: write the condition as an equation. Step 3: bring it to ax² + bx + c = 0. Step 4: solve. Step 5: reject the value that is not possible (negative length, speed, age) and write the answer with units.
- Consecutive integers: x and x + 1. Consecutive odd (or even) integers: x and x + 2.
- Two numbers with sum S: x and S − x; product given ⇒ x(S − x) = product.
- Right triangle: (base)² + (altitude)² = (hypotenuse)².
- Rectangle: area = length × breadth; perimeter = 2(l + b).
- Speed: time = distance ÷ speed. 'Speed more by 10, time less by 3 h' ⇒ D/x − D/(x + 10) = 3.
- Boat: upstream speed = (u − v), downstream = (u + v).
- Two squares with sides x and y: areas x², y²; perimeters 4x, 4y.
- चरण 1: अज्ञात को x मानिए। चरण 2: शर्त को समीकरण के रूप में लिखिए। चरण 3: उसे ax² + bx + c = 0 रूप में लाइए। चरण 4: हल कीजिए। चरण 5: असंभव मान (ऋणात्मक लंबाई, चाल, आयु) छोड़िए और मात्रक सहित उत्तर लिखिए।
- क्रमागत पूर्णांक: x और x + 1। क्रमागत विषम (या सम) पूर्णांक: x और x + 2।
- योग S वाली दो संख्याएँ: x और S − x; गुणनफल दिया हो ⇒ x(S − x) = गुणनफल।
- समकोण त्रिभुज: (आधार)² + (शीर्षलंब)² = (कर्ण)²।
- आयत: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई; परिमाप = 2(l + b)।
- चाल: समय = दूरी ÷ चाल। 'चाल 10 अधिक, समय 3 घंटे कम' ⇒ D/x − D/(x + 10) = 3।
- नाव: धारा के प्रतिकूल चाल = (u − v), अनुकूल = (u + v)।
- भुजाएँ x और y वाले दो वर्ग: क्षेत्रफल x², y²; परिमाप 4x, 4y।
- Step 1: unknown ko x maaniye. Step 2: condition ko equation ki tarah likhiye. Step 3: use ax² + bx + c = 0 form mein laiye. Step 4: solve kijiye. Step 5: jo value possible nahi (negative length, speed, age) use chhodiye aur units ke saath answer likhiye.
- Consecutive integers: x aur x + 1. Consecutive odd (ya even) integers: x aur x + 2.
- Sum S wale do numbers: x aur S − x; product diya ho ⇒ x(S − x) = product.
- Right triangle: (base)² + (altitude)² = (hypotenuse)².
- Rectangle: area = length × breadth; perimeter = 2(l + b).
- Speed: time = distance ÷ speed. 'Speed 10 zyada, time 3 ghante kam' ⇒ D/x − D/(x + 10) = 3.
- Naav: upstream speed = (u − v), downstream = (u + v).
- Sides x aur y wale do squares: areas x², y²; perimeters 4x, 4y.
Find two consecutive positive integers the sum of whose squares is 313.ऐसे दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 313 है।Aise do consecutive positive integers nikaliye jinke squares ka sum 313 hai.
- Let the integers be x and x + 1.
- x² + (x + 1)² = 313 ⇒ 2x² + 2x + 1 = 313 ⇒ 2x² + 2x − 312 = 0 ⇒ x² + x − 156 = 0.
- x² + 13x − 12x − 156 = 0 ⇒ (x + 13)(x − 12) = 0 ⇒ x = 12 or x = −13.
- x is positive, so x = 12.
- The integers are 12 and 13. Check: 144 + 169 = 313 ✓
- माना पूर्णांक x और x + 1 हैं।
- x² + (x + 1)² = 313 ⇒ 2x² + 2x + 1 = 313 ⇒ 2x² + 2x − 312 = 0 ⇒ x² + x − 156 = 0।
- x² + 13x − 12x − 156 = 0 ⇒ (x + 13)(x − 12) = 0 ⇒ x = 12 या x = −13।
- x धनात्मक है, अतः x = 12।
- पूर्णांक 12 और 13 हैं। जाँच: 144 + 169 = 313 ✓
- Maan lijiye integers x aur x + 1 hain.
- x² + (x + 1)² = 313 ⇒ 2x² + 2x + 1 = 313 ⇒ 2x² + 2x − 312 = 0 ⇒ x² + x − 156 = 0.
- x² + 13x − 12x − 156 = 0 ⇒ (x + 13)(x − 12) = 0 ⇒ x = 12 ya x = −13.
- x positive hai, isliye x = 12.
- Integers 12 aur 13 hain. Check: 144 + 169 = 313 ✓
The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 17 cm, find the other two sides.एक समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 17 cm है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।Ek right triangle ki altitude uske base se 7 cm kam hai. Agar hypotenuse 17 cm hai, to baaki do sides nikaliye.
- Let the base be x cm. Then the altitude is (x − 7) cm.
- By Pythagoras: x² + (x − 7)² = 17²
- x² + x² − 14x + 49 = 289 ⇒ 2x² − 14x − 240 = 0 ⇒ x² − 7x − 120 = 0
- x² − 15x + 8x − 120 = 0 ⇒ (x − 15)(x + 8) = 0 ⇒ x = 15 or x = −8.
- Length cannot be negative, so x = 15.
- Base = 15 cm, altitude = 15 − 7 = 8 cm. Check: 225 + 64 = 289 = 17² ✓
- माना आधार x cm है। तब शीर्षलंब (x − 7) cm है।
- पाइथागोरस से: x² + (x − 7)² = 17²
- x² + x² − 14x + 49 = 289 ⇒ 2x² − 14x − 240 = 0 ⇒ x² − 7x − 120 = 0
- x² − 15x + 8x − 120 = 0 ⇒ (x − 15)(x + 8) = 0 ⇒ x = 15 या x = −8।
- लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 15।
- आधार = 15 cm, शीर्षलंब = 15 − 7 = 8 cm। जाँच: 225 + 64 = 289 = 17² ✓
- Maan lijiye base x cm hai. Tab altitude (x − 7) cm hai.
- Pythagoras se: x² + (x − 7)² = 17²
- x² + x² − 14x + 49 = 289 ⇒ 2x² − 14x − 240 = 0 ⇒ x² − 7x − 120 = 0
- x² − 15x + 8x − 120 = 0 ⇒ (x − 15)(x + 8) = 0 ⇒ x = 15 ya x = −8.
- Length negative nahi ho sakti, isliye x = 15.
- Base = 15 cm, altitude = 15 − 7 = 8 cm. Check: 225 + 64 = 289 = 17² ✓
A train travels 360 km at a uniform speed. If the speed had been 10 km/h more, it would have taken 3 hours less. Find the speed of the train.एक रेलगाड़ी 360 km की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि चाल 10 km/h अधिक होती, तो 3 घंटे कम लगते। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।Ek train 360 km ki doori ek samaan speed se tay karti hai. Agar speed 10 km/h zyada hoti, to 3 ghante kam lagte. Train ki speed nikaliye.
- Let the speed be x km/h. Time = 360/x hours.
- New time = 360/(x + 10) hours.
- 360/x − 360/(x + 10) = 3
- 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) ⇒ 3600 = 3x² + 30x ⇒ x² + 10x − 1200 = 0
- (x + 40)(x − 30) = 0 ⇒ x = 30 or x = −40.
- Speed cannot be negative: speed = 30 km/h. Check: 360/30 = 12 h, 360/40 = 9 h, difference 3 h ✓
- माना चाल x km/h है। समय = 360/x घंटे।
- नया समय = 360/(x + 10) घंटे।
- 360/x − 360/(x + 10) = 3
- 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) ⇒ 3600 = 3x² + 30x ⇒ x² + 10x − 1200 = 0
- (x + 40)(x − 30) = 0 ⇒ x = 30 या x = −40।
- चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती: चाल = 30 km/h। जाँच: 360/30 = 12 घंटे, 360/40 = 9 घंटे, अंतर 3 घंटे ✓
- Maan lijiye speed x km/h hai. Time = 360/x ghante.
- Naya time = 360/(x + 10) ghante.
- 360/x − 360/(x + 10) = 3
- 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) ⇒ 3600 = 3x² + 30x ⇒ x² + 10x − 1200 = 0
- (x + 40)(x − 30) = 0 ⇒ x = 30 ya x = −40.
- Speed negative nahi ho sakti: speed = 30 km/h. Check: 360/30 = 12 h, 360/40 = 9 h, difference 3 h ✓
The length of a rectangular field is 3 m more than twice its breadth. Its area is 189 m². Find its length and breadth.एक आयताकार खेत की लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से 3 m अधिक है। उसका क्षेत्रफल 189 m² है। लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।Ek rectangular khet ki length uski breadth ke dugne se 3 m zyada hai. Uska area 189 m² hai. Length aur breadth nikaliye.
- Let breadth = x m. Length = (2x + 3) m.
- x(2x + 3) = 189 ⇒ 2x² + 3x − 189 = 0
- 2x² + 21x − 18x − 189 = 0 ⇒ x(2x + 21) − 9(2x + 21) = 0 ⇒ (x − 9)(2x + 21) = 0
- x = 9 or x = −21/2 (not possible).
- Breadth = 9 m, length = 21 m. Check: 9 × 21 = 189 ✓
- माना चौड़ाई = x m। लंबाई = (2x + 3) m।
- x(2x + 3) = 189 ⇒ 2x² + 3x − 189 = 0
- 2x² + 21x − 18x − 189 = 0 ⇒ x(2x + 21) − 9(2x + 21) = 0 ⇒ (x − 9)(2x + 21) = 0
- x = 9 या x = −21/2 (संभव नहीं)।
- चौड़ाई = 9 m, लंबाई = 21 m। जाँच: 9 × 21 = 189 ✓
- Maan lijiye breadth = x m. Length = (2x + 3) m.
- x(2x + 3) = 189 ⇒ 2x² + 3x − 189 = 0
- 2x² + 21x − 18x − 189 = 0 ⇒ x(2x + 21) − 9(2x + 21) = 0 ⇒ (x − 9)(2x + 21) = 0
- x = 9 ya x = −21/2 (possible nahi).
- Breadth = 9 m, length = 21 m. Check: 9 × 21 = 189 ✓
💡 Always write the line 'x cannot be negative, so …'. The examiner looks for it.यह पंक्ति अवश्य लिखिए: 'x ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः …'। परीक्षक इसे देखता है।Yeh line zaroor likhiye: 'x negative nahi ho sakta, isliye …'. Examiner ise dekhta hai.
Solve by factorisation (splitting the middle term)गुणनखंड विधि से हल (मध्य पद विभक्त करके)Factorisation se solve (middle term split karke)
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Write the equation as ax² + bx + c = 0.
- Find two numbers whose product = a × c and sum = b.
- Split bx into these two parts, group in pairs, take common factors.
- Put each factor = 0 to get the two roots.
- With roots like √2 or √3: a × c may be a whole number. For √3x² + 4x + √3: a × c = 3, so split 4x = 3x + x.
- Check one root by putting it back in the equation.
- समीकरण को ax² + bx + c = 0 रूप में लिखिए।
- ऐसी दो संख्याएँ खोजिए जिनका गुणनफल = a × c और योग = b हो।
- bx को इन दो भागों में बाँटिए, जोड़ों में समूह बनाइए, उभयनिष्ठ निकालिए।
- प्रत्येक गुणनखंड = 0 रखकर दोनों मूल निकालिए।
- √2 या √3 वाले गुणांक: a × c पूर्ण संख्या हो सकता है। √3x² + 4x + √3 में a × c = 3, अतः 4x = 3x + x।
- एक मूल को समीकरण में रखकर जाँचिए।
- Equation ko ax² + bx + c = 0 form mein likhiye.
- Aise do numbers dhoondhiye jinka product = a × c aur sum = b ho.
- bx ko in do parts mein baantiye, pairs mein group kijiye, common nikaliye.
- Har factor = 0 rakhkar dono roots nikaliye.
- √2 ya √3 wale coefficients: a × c whole number ho sakta hai. √3x² + 4x + √3 mein a × c = 3, to 4x = 3x + x.
- Ek root ko equation mein rakhkar check kijiye.
Find the roots of 3x² − 5x − 2 = 0 by factorisation.गुणनखंड विधि से 3x² − 5x − 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।Factorisation se 3x² − 5x − 2 = 0 ke roots nikaliye.
- a × c = 3 × (−2) = −6; numbers with product −6 and sum −5: −6 and 1.
- 3x² − 6x + x − 2 = 0 ⇒ 3x(x − 2) + 1(x − 2) = 0 ⇒ (x − 2)(3x + 1) = 0
- x = 2 or x = −1/3.
- a × c = 3 × (−2) = −6; गुणनफल −6 और योग −5 वाली संख्याएँ: −6 और 1।
- 3x² − 6x + x − 2 = 0 ⇒ 3x(x − 2) + 1(x − 2) = 0 ⇒ (x − 2)(3x + 1) = 0
- x = 2 या x = −1/3।
- a × c = 3 × (−2) = −6; product −6 aur sum −5 wale numbers: −6 aur 1.
- 3x² − 6x + x − 2 = 0 ⇒ 3x(x − 2) + 1(x − 2) = 0 ⇒ (x − 2)(3x + 1) = 0
- x = 2 ya x = −1/3.
Find the roots of √3x² + 4x + √3 = 0.√3x² + 4x + √3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।√3x² + 4x + √3 = 0 ke roots nikaliye.
- a × c = √3 × √3 = 3; numbers with product 3 and sum 4: 3 and 1.
- √3x² + 3x + x + √3 = 0
- √3x(x + √3) + 1(x + √3) = 0 (since 3x = √3·√3·x)
- (x + √3)(√3x + 1) = 0
- x = −√3 or x = −1/√3 = −√3/3.
- a × c = √3 × √3 = 3; गुणनफल 3 और योग 4 वाली संख्याएँ: 3 और 1।
- √3x² + 3x + x + √3 = 0
- √3x(x + √3) + 1(x + √3) = 0 (क्योंकि 3x = √3·√3·x)
- (x + √3)(√3x + 1) = 0
- x = −√3 या x = −1/√3 = −√3/3।
- a × c = √3 × √3 = 3; product 3 aur sum 4 wale numbers: 3 aur 1.
- √3x² + 3x + x + √3 = 0
- √3x(x + √3) + 1(x + √3) = 0 (kyunki 3x = √3·√3·x)
- (x + √3)(√3x + 1) = 0
- x = −√3 ya x = −1/√3 = −√3/3.
Discriminant and nature of rootsविविक्तकर और मूलों की प्रकृतिDiscriminant aur roots ki nature
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- For ax² + bx + c = 0, discriminant D = b² − 4ac.
- D > 0 ⇒ two distinct real roots.
- D = 0 ⇒ two equal real roots, each = −b/(2a).
- D < 0 ⇒ no real roots.
- If D is a perfect square (like 25, 49), the roots are rational and you can also factorise.
- Write D with its value, then the conclusion in words.
- ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac।
- D > 0 ⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल।
- D = 0 ⇒ दो बराबर वास्तविक मूल, प्रत्येक = −b/(2a)।
- D < 0 ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं।
- यदि D पूर्ण वर्ग हो (जैसे 25, 49), तो मूल परिमेय हैं और गुणनखंड भी हो सकते हैं।
- D का मान लिखिए, फिर शब्दों में निष्कर्ष।
- ax² + bx + c = 0 ke liye discriminant D = b² − 4ac.
- D > 0 ⇒ do alag real roots.
- D = 0 ⇒ do barabar real roots, har ek = −b/(2a).
- D < 0 ⇒ koi real root nahi.
- Agar D perfect square ho (jaise 25, 49), to roots rational hain aur factorise bhi ho sakta hai.
- D ki value likhiye, phir shabdon mein conclusion.
Find the nature of the roots of 2x² − 4x + 3 = 0.2x² − 4x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।2x² − 4x + 3 = 0 ke roots ki nature nikaliye.
- a = 2, b = −4, c = 3.
- D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8.
- D < 0, so the equation has no real roots.
- a = 2, b = −4, c = 3।
- D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8।
- D < 0, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
- a = 2, b = −4, c = 3.
- D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8.
- D < 0, isliye equation ke koi real roots nahi hain.
MCQ: The roots of 4x² − 12x + 9 = 0 are: (A) real and distinct (B) real and equal (C) not real (D) noneMCQ: 4x² − 12x + 9 = 0 के मूल हैं: (A) वास्तविक और भिन्न (B) वास्तविक और बराबर (C) वास्तविक नहीं (D) कोई नहींMCQ: 4x² − 12x + 9 = 0 ke roots hain: (A) real aur alag (B) real aur barabar (C) real nahi (D) koi nahi
- D = 144 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0.
- Answer: (B) real and equal (each root = 12/8 = 3/2).
- D = 144 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0।
- उत्तर: (B) वास्तविक और बराबर (प्रत्येक मूल = 12/8 = 3/2)।
- D = 144 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0.
- Answer: (B) real aur barabar (har root = 12/8 = 3/2).
Find k for equal (or real) rootsबराबर (या वास्तविक) मूलों के लिए k ज्ञात करनाEqual (ya real) roots ke liye k nikalna
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Equal roots ⇒ D = 0, i.e. b² − 4ac = 0. Put the values and solve for k.
- Real roots ⇒ D ≥ 0. No real roots ⇒ D < 0.
- If k is in b, you often get k² = number ⇒ k = ±√number. Give BOTH values.
- If b = 2(k + 1), then b² = 4(k + 1)². Take 4 common to keep numbers small.
- After finding k, you can also find the equal root: x = −b/(2a).
- बराबर मूल ⇒ D = 0, अर्थात b² − 4ac = 0। मान रखकर k ज्ञात कीजिए।
- वास्तविक मूल ⇒ D ≥ 0। कोई वास्तविक मूल नहीं ⇒ D < 0।
- यदि k, b में है, तो प्रायः k² = संख्या ⇒ k = ±√संख्या आता है। दोनों मान दीजिए।
- यदि b = 2(k + 1), तो b² = 4(k + 1)²। संख्याएँ छोटी रखने के लिए 4 उभयनिष्ठ लीजिए।
- k मिलने के बाद बराबर मूल भी निकाल सकते हैं: x = −b/(2a)।
- Equal roots ⇒ D = 0, yaani b² − 4ac = 0. Values rakhkar k nikaliye.
- Real roots ⇒ D ≥ 0. Koi real root nahi ⇒ D < 0.
- Agar k, b mein hai, to aksar k² = number ⇒ k = ±√number aata hai. DONO values dijiye.
- Agar b = 2(k + 1), to b² = 4(k + 1)². Numbers chhote rakhne ke liye 4 common lijiye.
- k milne ke baad equal root bhi nikal sakte hain: x = −b/(2a).
Find k if 3x² + kx + 12 = 0 has equal roots.यदि 3x² + kx + 12 = 0 के मूल बराबर हैं, तो k ज्ञात कीजिए।Agar 3x² + kx + 12 = 0 ke roots barabar hain, to k nikaliye.
- Equal roots ⇒ D = b² − 4ac = 0.
- k² − 4 × 3 × 12 = 0 ⇒ k² = 144.
- k = ±12.
- बराबर मूल ⇒ D = b² − 4ac = 0।
- k² − 4 × 3 × 12 = 0 ⇒ k² = 144।
- k = ±12।
- Equal roots ⇒ D = b² − 4ac = 0.
- k² − 4 × 3 × 12 = 0 ⇒ k² = 144.
- k = ±12.
If the roots of x² − 2(k + 1)x + (k + 7) = 0 are real and equal, find k.यदि x² − 2(k + 1)x + (k + 7) = 0 के मूल वास्तविक और बराबर हैं, तो k ज्ञात कीजिए।Agar x² − 2(k + 1)x + (k + 7) = 0 ke roots real aur barabar hain, to k nikaliye.
- a = 1, b = −2(k + 1), c = k + 7.
- D = 0 ⇒ 4(k + 1)² − 4(k + 7) = 0
- (k + 1)² − (k + 7) = 0 ⇒ k² + 2k + 1 − k − 7 = 0 ⇒ k² + k − 6 = 0
- (k + 3)(k − 2) = 0 ⇒ k = 2 or k = −3.
- Check k = 2: x² − 6x + 9 = (x − 3)² ✓; k = −3: x² + 4x + 4 = (x + 2)² ✓
- a = 1, b = −2(k + 1), c = k + 7।
- D = 0 ⇒ 4(k + 1)² − 4(k + 7) = 0
- (k + 1)² − (k + 7) = 0 ⇒ k² + 2k + 1 − k − 7 = 0 ⇒ k² + k − 6 = 0
- (k + 3)(k − 2) = 0 ⇒ k = 2 या k = −3।
- जाँच k = 2: x² − 6x + 9 = (x − 3)² ✓; k = −3: x² + 4x + 4 = (x + 2)² ✓
- a = 1, b = −2(k + 1), c = k + 7.
- D = 0 ⇒ 4(k + 1)² − 4(k + 7) = 0
- (k + 1)² − (k + 7) = 0 ⇒ k² + 2k + 1 − k − 7 = 0 ⇒ k² + k − 6 = 0
- (k + 3)(k − 2) = 0 ⇒ k = 2 ya k = −3.
- Check k = 2: x² − 6x + 9 = (x − 3)² ✓; k = −3: x² + 4x + 4 = (x + 2)² ✓
Solve by the quadratic formulaद्विघाती सूत्र से हलQuadratic formula se solve
🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- For ax² + bx + c = 0 with D = b² − 4ac ≥ 0: x = (−b ± √D)/(2a).
- Step 1: write a, b, c with signs. Step 2: find D. Step 3: put in the formula. Step 4: simplify both roots.
- Use it when splitting the middle term is hard, or when the roots are like 3 ± √5.
- If D < 0, write 'no real roots' and stop.
- Equations like x + 1/x = 3: multiply by x first to get x² − 3x + 1 = 0.
- ax² + bx + c = 0 के लिए, D = b² − 4ac ≥ 0 हो तो: x = (−b ± √D)/(2a)।
- चरण 1: चिह्न सहित a, b, c लिखिए। चरण 2: D निकालिए। चरण 3: सूत्र में रखिए। चरण 4: दोनों मूल सरल कीजिए।
- जब मध्य पद विभक्त करना कठिन हो, या मूल 3 ± √5 जैसे हों, तब इसका प्रयोग कीजिए।
- यदि D < 0, तो 'कोई वास्तविक मूल नहीं' लिखकर रुक जाइए।
- x + 1/x = 3 जैसे समीकरण: पहले x से गुणा करके x² − 3x + 1 = 0 बनाइए।
- ax² + bx + c = 0 ke liye, D = b² − 4ac ≥ 0 ho to: x = (−b ± √D)/(2a).
- Step 1: signs ke saath a, b, c likhiye. Step 2: D nikaliye. Step 3: formula mein rakhiye. Step 4: dono roots simplify kijiye.
- Jab middle term split karna mushkil ho, ya roots 3 ± √5 jaise hon, tab yeh use kijiye.
- Agar D < 0, to 'koi real root nahi' likhkar ruk jaiye.
- x + 1/x = 3 jaise equations: pehle x se multiply karke x² − 3x + 1 = 0 banaiye.
Solve x² − 6x + 4 = 0 using the quadratic formula.द्विघाती सूत्र से x² − 6x + 4 = 0 हल कीजिए।Quadratic formula se x² − 6x + 4 = 0 solve kijiye.
- a = 1, b = −6, c = 4.
- D = b² − 4ac = 36 − 16 = 20 > 0, so real roots exist.
- x = (−b ± √D)/(2a) = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2√5)/2
- x = 3 + √5 or x = 3 − √5.
- a = 1, b = −6, c = 4।
- D = b² − 4ac = 36 − 16 = 20 > 0, अतः वास्तविक मूल हैं।
- x = (−b ± √D)/(2a) = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2√5)/2
- x = 3 + √5 या x = 3 − √5।
- a = 1, b = −6, c = 4.
- D = b² − 4ac = 36 − 16 = 20 > 0, isliye real roots hain.
- x = (−b ± √D)/(2a) = (6 ± √20)/2 = (6 ± 2√5)/2
- x = 3 + √5 ya x = 3 − √5.
Find the roots of 2x² − 7x + 3 = 0 using the quadratic formula.द्विघाती सूत्र से 2x² − 7x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।Quadratic formula se 2x² − 7x + 3 = 0 ke roots nikaliye.
- D = 49 − 24 = 25, √D = 5.
- x = (7 ± 5)/4
- x = 12/4 = 3 or x = 2/4 = 1/2.
- D = 49 − 24 = 25, √D = 5।
- x = (7 ± 5)/4
- x = 12/4 = 3 या x = 2/4 = 1/2।
- D = 49 − 24 = 25, √D = 5.
- x = (7 ± 5)/4
- x = 12/4 = 3 ya x = 2/4 = 1/2.
Is it a quadratic equation? / root givenक्या यह द्विघात समीकरण है? / मूल दिया होKya yeh quadratic equation hai? / root diya ho
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- Quadratic equation: ax² + bx + c = 0 with a ≠ 0 (highest power 2).
- To check: open all brackets, bring everything to one side, simplify. If the x² term survives, it is quadratic.
- If x² cancels (like x(2x + 3) = 2x² + 5 ⇒ 3x − 5 = 0), it is NOT quadratic.
- A quadratic equation has at most 2 roots.
- If a value is a root, it satisfies the equation: put it in and solve for the unknown.
- द्विघात समीकरण: ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0 (सबसे बड़ी घात 2)।
- जाँचने के लिए: सभी कोष्ठक खोलिए, सब कुछ एक ओर लाइए, सरल कीजिए। यदि x² वाला पद बचे, तो द्विघात है।
- यदि x² कट जाए (जैसे x(2x + 3) = 2x² + 5 ⇒ 3x − 5 = 0), तो द्विघात नहीं है।
- द्विघात समीकरण के अधिकतम 2 मूल होते हैं।
- यदि कोई मान मूल है, तो वह समीकरण को संतुष्ट करता है: उसे रखकर अज्ञात ज्ञात कीजिए।
- Quadratic equation: ax² + bx + c = 0, jahan a ≠ 0 (sabse badi power 2).
- Check karne ke liye: saare brackets kholiye, sab ek taraf laiye, simplify kijiye. Agar x² wala term bache, to quadratic hai.
- Agar x² cut jaye (jaise x(2x + 3) = 2x² + 5 ⇒ 3x − 5 = 0), to quadratic NAHI hai.
- Quadratic equation ke maximum 2 roots hote hain.
- Agar koi value root hai, to woh equation ko satisfy karti hai: use rakhkar unknown nikaliye.
Check whether (x − 2)² + 1 = 2x − 3 is a quadratic equation.जाँचिए कि (x − 2)² + 1 = 2x − 3 द्विघात समीकरण है या नहीं।Check kijiye ki (x − 2)² + 1 = 2x − 3 quadratic equation hai ya nahi.
- LHS = x² − 4x + 4 + 1 = x² − 4x + 5.
- x² − 4x + 5 = 2x − 3 ⇒ x² − 6x + 8 = 0.
- It is of the form ax² + bx + c = 0 with a = 1 ≠ 0, so it is a quadratic equation.
- बायाँ पक्ष = x² − 4x + 4 + 1 = x² − 4x + 5।
- x² − 4x + 5 = 2x − 3 ⇒ x² − 6x + 8 = 0।
- यह ax² + bx + c = 0 रूप में है, a = 1 ≠ 0, अतः यह द्विघात समीकरण है।
- LHS = x² − 4x + 4 + 1 = x² − 4x + 5.
- x² − 4x + 5 = 2x − 3 ⇒ x² − 6x + 8 = 0.
- Yeh ax² + bx + c = 0 form mein hai, a = 1 ≠ 0, isliye yeh quadratic equation hai.
If 2 is a root of x² + 3x − p = 0, find p.यदि 2, x² + 3x − p = 0 का एक मूल है, तो p ज्ञात कीजिए।Agar 2, x² + 3x − p = 0 ka ek root hai, to p nikaliye.
- Put x = 2: 4 + 6 − p = 0 ⇒ p = 10.
- x = 2 रखने पर: 4 + 6 − p = 0 ⇒ p = 10।
- x = 2 rakhne par: 4 + 6 − p = 0 ⇒ p = 10.
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
The sum of the areas of two squares is 400 m² and the difference of their perimeters is 16 m. Find the sides of the two squares.दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 400 m² है और उनके परिमापों का अंतर 16 m है। दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।Do squares ke areas ka sum 400 m² hai aur unke perimeters ka difference 16 m hai. Dono squares ki sides nikaliye.
- Let the sides be x m and y m (x > y).
- 4x − 4y = 16 ⇒ x = y + 4.
- x² + y² = 400 ⇒ (y + 4)² + y² = 400 ⇒ 2y² + 8y − 384 = 0 ⇒ y² + 4y − 192 = 0.
- (y + 16)(y − 12) = 0 ⇒ y = 12 (y = −16 not possible).
- x = 16. Sides: 16 m and 12 m. Check: 256 + 144 = 400 ✓; 64 − 48 = 16 ✓
- माना भुजाएँ x m और y m हैं (x > y)।
- 4x − 4y = 16 ⇒ x = y + 4।
- x² + y² = 400 ⇒ (y + 4)² + y² = 400 ⇒ 2y² + 8y − 384 = 0 ⇒ y² + 4y − 192 = 0।
- (y + 16)(y − 12) = 0 ⇒ y = 12 (y = −16 संभव नहीं)।
- x = 16। भुजाएँ: 16 m और 12 m। जाँच: 256 + 144 = 400 ✓; 64 − 48 = 16 ✓
- Maan lijiye sides x m aur y m hain (x > y).
- 4x − 4y = 16 ⇒ x = y + 4.
- x² + y² = 400 ⇒ (y + 4)² + y² = 400 ⇒ 2y² + 8y − 384 = 0 ⇒ y² + 4y − 192 = 0.
- (y + 16)(y − 12) = 0 ⇒ y = 12 (y = −16 possible nahi).
- x = 16. Sides: 16 m aur 12 m. Check: 256 + 144 = 400 ✓; 64 − 48 = 16 ✓
A boat's speed in still water is 10 km/h. It takes 1 hour more to go 24 km upstream than to return downstream. Find the speed of the stream.शांत जल में एक नाव की चाल 10 km/h है। धारा के प्रतिकूल 24 km जाने में, अनुकूल लौटने से 1 घंटा अधिक लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।Shant paani mein ek naav ki speed 10 km/h hai. Upstream 24 km jaane mein, downstream lautne se 1 ghanta zyada lagta hai. Dhaara ki speed nikaliye.
- Let the stream's speed be x km/h. Upstream speed = 10 − x, downstream = 10 + x.
- 24/(10 − x) − 24/(10 + x) = 1
- 24(10 + x) − 24(10 − x) = (10 − x)(10 + x) ⇒ 48x = 100 − x² ⇒ x² + 48x − 100 = 0
- (x + 50)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 (x = −50 not possible).
- Stream speed = 2 km/h. Check: 24/8 = 3 h, 24/12 = 2 h, difference 1 h ✓
- माना धारा की चाल x km/h है। प्रतिकूल चाल = 10 − x, अनुकूल = 10 + x।
- 24/(10 − x) − 24/(10 + x) = 1
- 24(10 + x) − 24(10 − x) = (10 − x)(10 + x) ⇒ 48x = 100 − x² ⇒ x² + 48x − 100 = 0
- (x + 50)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 (x = −50 संभव नहीं)।
- धारा की चाल = 2 km/h। जाँच: 24/8 = 3 घंटे, 24/12 = 2 घंटे, अंतर 1 घंटा ✓
- Maan lijiye dhaara ki speed x km/h hai. Upstream speed = 10 − x, downstream = 10 + x.
- 24/(10 − x) − 24/(10 + x) = 1
- 24(10 + x) − 24(10 − x) = (10 − x)(10 + x) ⇒ 48x = 100 − x² ⇒ x² + 48x − 100 = 0
- (x + 50)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2 (x = −50 possible nahi).
- Dhaara ki speed = 2 km/h. Check: 24/8 = 3 h, 24/12 = 2 h, difference 1 h ✓
The sum of a number and its reciprocal is 10/3. Find the number.एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 है। संख्या ज्ञात कीजिए।Ek number aur uske reciprocal ka sum 10/3 hai. Number nikaliye.
- Let the number be x: x + 1/x = 10/3.
- Multiply by 3x: 3x² + 3 = 10x ⇒ 3x² − 10x + 3 = 0.
- (3x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3 or x = 1/3.
- The number is 3 or 1/3.
- माना संख्या x है: x + 1/x = 10/3।
- 3x से गुणा: 3x² + 3 = 10x ⇒ 3x² − 10x + 3 = 0।
- (3x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3 या x = 1/3।
- संख्या 3 या 1/3 है।
- Maan lijiye number x hai: x + 1/x = 10/3.
- 3x se multiply: 3x² + 3 = 10x ⇒ 3x² − 10x + 3 = 0.
- (3x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3 ya x = 1/3.
- Number 3 ya 1/3 hai.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Using the formula without bringing the equation to ax² + bx + c = 0 first → rearrange first.
- Writing D = b² + 4ac → it is b² − 4ac.
- Keeping a negative length or speed in the final answer → reject it with a reason.
- Giving only +k when k² = 144 → give k = ±12.
- Dividing both sides by x (losing the root x = 0) → take x common instead.
- समीकरण को पहले ax² + bx + c = 0 रूप में लाए बिना सूत्र लगाना → पहले व्यवस्थित कीजिए।
- D = b² + 4ac लिखना → यह b² − 4ac है।
- अंतिम उत्तर में ऋणात्मक लंबाई या चाल रखना → कारण सहित उसे छोड़िए।
- k² = 144 पर केवल +k देना → k = ±12 दीजिए।
- दोनों पक्षों को x से भाग देना (मूल x = 0 खो जाता है) → इसकी जगह x उभयनिष्ठ लीजिए।
- Equation ko pehle ax² + bx + c = 0 form mein laaye bina formula lagana → pehle arrange kijiye.
- D = b² + 4ac likhna → yeh b² − 4ac hai.
- Final answer mein negative length ya speed rakhna → reason ke saath use chhodiye.
- k² = 144 par sirf +k dena → k = ±12 dijiye.
- Dono side x se divide karna (root x = 0 kho jata hai) → iski jagah x common lijiye.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Ancient link: the quadratic formula is credited in NCERT to Sridharacharya; a 1-mark fact may come from it.
- If the roots are α and β, the equation is x² − (α + β)x + αβ = 0.
- For real roots (not necessarily equal) use D ≥ 0; this can give a range of k, like k ≥ 4 or k ≤ −4.
- प्राचीन संबंध: NCERT में द्विघाती सूत्र का श्रेय श्रीधराचार्य को दिया गया है; इससे 1 अंक का तथ्य आ सकता है।
- यदि मूल α और β हैं, तो समीकरण x² − (α + β)x + αβ = 0 है।
- वास्तविक मूलों (आवश्यक नहीं बराबर) के लिए D ≥ 0 लीजिए; इससे k का परिसर मिल सकता है, जैसे k ≥ 4 या k ≤ −4।
- Purana connection: NCERT mein quadratic formula ka credit Sridharacharya ko diya gaya hai; isse 1 mark ka fact aa sakta hai.
- Agar roots α aur β hain, to equation x² − (α + β)x + αβ = 0 hai.
- Real roots (zaroori nahi barabar) ke liye D ≥ 0 lijiye; isse k ki range mil sakti hai, jaise k ≥ 4 ya k ≤ −4.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Standard form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
- Factorisation: product = ac, sum = b.
- x = (−b ± √D)/(2a).
- D = b² − 4ac.
- D > 0 distinct real; D = 0 equal; D < 0 no real roots.
- Equal root = −b/(2a).
- Equal roots ⇒ D = 0 ⇒ find k.
- Consecutive integers x, x + 1; consecutive odd x, x + 2.
- Time = distance/speed.
- Right triangle: base² + altitude² = hypotenuse².
- Reject negative values for lengths, speeds, ages.
- मानक रूप: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0।
- गुणनखंड: गुणनफल = ac, योग = b।
- x = (−b ± √D)/(2a)।
- D = b² − 4ac।
- D > 0 भिन्न वास्तविक; D = 0 बराबर; D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं।
- बराबर मूल = −b/(2a)।
- बराबर मूल ⇒ D = 0 ⇒ k ज्ञात कीजिए।
- क्रमागत पूर्णांक x, x + 1; क्रमागत विषम x, x + 2।
- समय = दूरी/चाल।
- समकोण त्रिभुज: आधार² + शीर्षलंब² = कर्ण²।
- लंबाई, चाल, आयु के ऋणात्मक मान छोड़िए।
- Standard form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
- Factorisation: product = ac, sum = b.
- x = (−b ± √D)/(2a).
- D = b² − 4ac.
- D > 0 alag real; D = 0 barabar; D < 0 koi real root nahi.
- Equal root = −b/(2a).
- Equal roots ⇒ D = 0 ⇒ k nikaliye.
- Consecutive integers x, x + 1; consecutive odd x, x + 2.
- Time = distance/speed.
- Right triangle: base² + altitude² = hypotenuse².
- Length, speed, age ki negative values chhodiye.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Solving by completing the square — not in the current NCERT book. Skip it; use factorisation or the quadratic formula.पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना — वर्तमान NCERT पुस्तक में नहीं है। छोड़ दीजिए; गुणनखंड विधि या द्विघाती सूत्र लगाइए।Completing the square se solve karna — current NCERT book mein nahi hai. Skip kijiye; factorisation ya quadratic formula use kijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.