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Ch 4Quadratic Equationsद्विघात समीकरणQuadratic Equations

What a quadratic equation is, solving it by splitting the middle term, the quadratic formula, and the discriminant that tells you the nature of the roots before you solve — with our own solved examples, word problems, common mistakes and a quiz.द्विघात समीकरण क्या है, मध्य पद को तोड़कर हल करना, द्विघाती सूत्र, और विविक्तकर जो हल करने से पहले ही मूलों की प्रकृति बता देता है — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, शब्द प्रश्न, आम गलतियाँ और क्विज़।Quadratic equation kya hai, middle term todkar hal karna, quadratic formula, aur discriminant jo hal karne se pehle hi roots ka nature bata deta hai — humare apne solved examples, word problems, common mistakes aur quiz.

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∑ Formulas✎ practice Qs🎯 Quiz
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 4.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 4.2Quadratic Equationsद्विघात समीकरणQuadratic Equations
  3. 4.3Solution of a Quadratic Equation by Factorisationगुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण का हलFactorisation se hal
  4. 4.4Nature of Rootsमूलों की प्रकृतिRoots ka nature
  5. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  6. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  7. ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
  8. 🎯Quizक्विज़Quiz

4.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Many real problems — areas, speeds, ages, numbers — lead to an equation with an x^2 term. Such equations are quadratic equations, and this chapter shows how to solve them and how to know in advance what kind of answers they have.बहुत-सी वास्तविक समस्याएँ — क्षेत्रफल, चाल, आयु, संख्याएँ — ऐसे समीकरण तक ले जाती हैं जिसमें x^2 का पद होता है। ऐसे समीकरण द्विघात समीकरण हैं, और यह अध्याय बताता है कि इन्हें कैसे हल करें और पहले से कैसे जानें कि इनके हल किस प्रकार के होंगे।Bahut si real problems — area, speed, age, numbers — aisi equation tak le jaati hain jismein x^2 ka term hota hai. Aisi equations quadratic equations hain, aur yeh chapter batata hai ki inhe kaise hal karein aur pehle se kaise jaanein ki inke answers kis type ke honge.

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4.2Quadratic Equationsद्विघात समीकरणQuadratic Equations

Quadratic equationAn equation of the form ax^2 + bx + c = 0, where a, b, c are real numbers and a \neq 0. This is its standard form.द्विघात समीकरणax^2 + bx + c = 0 के रूप का समीकरण, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a \neq 0। यह इसका मानक रूप है।Quadratic equationax^2 + bx + c = 0 roop ki equation, jahan a, b, c real numbers hain aur a \neq 0. Yeh iska standard form hai.
Example 1Check whether these are quadratic equations: (i) x(x + 4) = 2x + 3 (ii) (x - 1)(x + 3) = x^2 + 5.उदाहरण 1जाँच कीजिए कि क्या ये द्विघात समीकरण हैं: (i) x(x + 4) = 2x + 3 (ii) (x - 1)(x + 3) = x^2 + 5।Example 1Check kijiye ki kya yeh quadratic equations hain: (i) x(x + 4) = 2x + 3 (ii) (x - 1)(x + 3) = x^2 + 5.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Bring everything to one side and simplify; then look at the highest power.सब कुछ एक तरफ़ लाकर सरल कीजिए; फिर सबसे बड़ी घात देखिए।Sab kuch ek taraf laakar simplify kijiye; phir sabse badi power dekhiye.
    \text{(i) } x^2 + 4x - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0
  2. \text{(ii) } x^2 + 2x - 3 = x^2 + 5 \Rightarrow 2x - 8 = 0

✔ (i) Yes, quadratic. (ii) No — the x^2 terms cancel, leaving a linear equation.(i) हाँ, द्विघात है। (ii) नहीं — x^2 के पद कट जाते हैं, रैखिक समीकरण बचता है।(i) Haan, quadratic hai. (ii) Nahi — x^2 ke terms cut jaate hain, linear equation bachti hai.

Example 2The product of two consecutive positive integers is 132. Write this as a quadratic equation and find the integers.उदाहरण 2दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 132 है। इसे द्विघात समीकरण के रूप में लिखिए और पूर्णांक ज्ञात कीजिए।Example 2Do consecutive positive integers ka product 132 hai. Ise quadratic equation ke roop mein likhiye aur integers nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. x(x + 1) = 132 \Rightarrow x^2 + x - 132 = 0
  2. (x + 12)(x - 11) = 0 \Rightarrow x = 11 \;\text{or}\; -12(x + 12)(x - 11) = 0 \Rightarrow x = 11 \;\text{या}\; -12(x + 12)(x - 11) = 0 \Rightarrow x = 11 \;\text{ya}\; -12

✔ x must be positive, so the integers are 11 and 12.x धनात्मक होना चाहिए, अतः पूर्णांक 11 और 12 हैं।x positive hona chahiye, isliye integers 11 aur 12 hain.

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4.3Solution of a Quadratic Equation by Factorisationगुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण का हलFactorisation se hal

A number α is a root of ax^2 + bx + c = 0 if a\alpha^2 + b\alpha + c = 0. The roots of the equation are the same as the zeroes of the polynomial ax^2 + bx + c. To factorise, split the middle term: find two numbers whose product is ac and sum is b.संख्या α, ax^2 + bx + c = 0 का मूल है यदि a\alpha^2 + b\alpha + c = 0। समीकरण के मूल वही हैं जो बहुपद ax^2 + bx + c के शून्यक हैं। गुणनखंड के लिए मध्य पद को तोड़िए: ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल ac और योग b हो।Number α, ax^2 + bx + c = 0 ka root hai agar a\alpha^2 + b\alpha + c = 0. Equation ke roots wahi hain jo polynomial ax^2 + bx + c ke zeroes hain. Factorise karne ke liye middle term todiye: aise do numbers dhoondhiye jinka product ac aur sum b ho.

Example 3Solve 2x^2 - 7x + 3 = 0 by factorisation.उदाहरण 3गुणनखंडन द्वारा 2x^2 - 7x + 3 = 0 हल कीजिए।Example 3Factorisation se 2x^2 - 7x + 3 = 0 hal kijiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. ac = 6; two numbers with product 6 and sum −7 are −6 and −1.ac = 6; गुणनफल 6 और योग −7 वाली संख्याएँ −6 और −1 हैं।ac = 6; product 6 aur sum −7 wale numbers −6 aur −1 hain.
    2x^2 - 6x - x + 3 = 2x(x - 3) - 1(x - 3) = (2x - 1)(x - 3) = 0

✔ x = \frac{1}{2} or x = 3x = \frac{1}{2} या x = 3x = \frac{1}{2} ya x = 3

Example 4Solve 3x^2 - 2\sqrt{6}\,x + 2 = 0.उदाहरण 43x^2 - 2\sqrt{6}\,x + 2 = 0 हल कीजिए।Example 43x^2 - 2\sqrt{6}\,x + 2 = 0 hal kijiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. It is a perfect square: (\sqrt{3}x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2.यह पूर्ण वर्ग है: (\sqrt{3}x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2।Yeh perfect square hai: (\sqrt{3}x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2.
    (\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

✔ Both roots equal \frac{\sqrt{6}}{3}.दोनों मूल \frac{\sqrt{6}}{3} के बराबर हैं।Dono roots \frac{\sqrt{6}}{3} ke barabar hain.

Example 5A rectangular garden is 3 m longer than it is wide, and its area is 108 m². Find its length and breadth.उदाहरण 5एक आयताकार बगीचे की लंबाई चौड़ाई से 3 m अधिक है और इसका क्षेत्रफल 108 m² है। लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।Example 5Ek rectangular garden ki length breadth se 3 m zyada hai aur iska area 108 m² hai. Length aur breadth nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. b(b + 3) = 108 \Rightarrow b^2 + 3b - 108 = 0 \Rightarrow (b + 12)(b - 9) = 0

✔ Breadth 9 m, length 12 m (a length cannot be −12).चौड़ाई 9 m, लंबाई 12 m (लंबाई −12 नहीं हो सकती)।Breadth 9 m, length 12 m (length −12 nahi ho sakti).

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4.4Nature of Rootsमूलों की प्रकृतिRoots ka nature

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
quadratic formula (roots of ax² + bx + c = 0)द्विघाती सूत्र (ax² + bx + c = 0 के मूल)quadratic formula (ax² + bx + c = 0 ke roots)
D = b^2 - 4ac
discriminantविविक्तकरdiscriminant
What D tells youD > 0 → two distinct real roots. D = 0 → two equal real roots, each -\frac{b}{2a}. D < 0 → no real roots.D क्या बताता हैD > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल। D = 0 → दो बराबर वास्तविक मूल, प्रत्येक -\frac{b}{2a}। D < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं।D kya batata haiD > 0 → do alag real roots. D = 0 → do barabar real roots, har ek -\frac{b}{2a}. D < 0 → koi real root nahi.
Example 6Solve x^2 + 4x - 1 = 0 using the quadratic formula.उदाहरण 6द्विघाती सूत्र से x^2 + 4x - 1 = 0 हल कीजिए।Example 6Quadratic formula se x^2 + 4x - 1 = 0 hal kijiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. a = 1, \; b = 4, \; c = -1, \quad D = 16 + 4 = 20
  2. x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}

✔ x = -2 + \sqrt{5} or x = -2 - \sqrt{5}x = -2 + \sqrt{5} या x = -2 - \sqrt{5}x = -2 + \sqrt{5} ya x = -2 - \sqrt{5}

Example 7Find the nature of the roots: (i) 2x^2 - 4x + 3 = 0 (ii) 9x^2 - 12x + 4 = 0.उदाहरण 7मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए: (i) 2x^2 - 4x + 3 = 0 (ii) 9x^2 - 12x + 4 = 0।Example 7Roots ka nature nikaliye: (i) 2x^2 - 4x + 3 = 0 (ii) 9x^2 - 12x + 4 = 0.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. \text{(i) } D = 16 - 24 = -8 < 0
  2. \text{(ii) } D = 144 - 144 = 0 \Rightarrow x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

✔ (i) no real roots (ii) two equal roots, both \frac{2}{3}.(i) कोई वास्तविक मूल नहीं (ii) दो बराबर मूल, दोनों \frac{2}{3}।(i) koi real root nahi (ii) do barabar roots, dono \frac{2}{3}.

Example 8Find k so that kx^2 - 6x + 1 = 0 has two equal roots.उदाहरण 8k ज्ञात कीजिए ताकि kx^2 - 6x + 1 = 0 के दो बराबर मूल हों।Example 8k nikaliye taaki kx^2 - 6x + 1 = 0 ke do barabar roots hon.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. D = 36 - 4k = 0 \Rightarrow k = 9

✔ k = 9 (then the roots are both \frac{1}{3}).k = 9 (तब दोनों मूल \frac{1}{3} हैं)।k = 9 (tab dono roots \frac{1}{3} hain).

Example 9A car covers 240 km at a steady speed. Had it gone 10 km/h faster, it would have taken 2 hours less. Find its speed.उदाहरण 9एक कार एकसमान चाल से 240 km चलती है। यदि चाल 10 km/h अधिक होती, तो 2 घंटे कम लगते। उसकी चाल ज्ञात कीजिए।Example 9Ek car ek jaisi speed se 240 km chalti hai. Agar speed 10 km/h zyada hoti, to 2 ghante kam lagte. Uski speed nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Time = distance ÷ speed. Let the speed be v km/h.समय = दूरी ÷ चाल। मान लीजिए चाल v km/h है।Time = distance ÷ speed. Maan lijiye speed v km/h hai.
    \frac{240}{v} - \frac{240}{v + 10} = 2 \Rightarrow 2400 = 2v(v + 10)
  2. v^2 + 10v - 1200 = 0 \Rightarrow (v + 40)(v - 30) = 0

✔ 30 km/h (check: 240 ÷ 30 = 8 h, 240 ÷ 40 = 6 h ✓)30 km/h (जाँच: 240 ÷ 30 = 8 घंटे, 240 ÷ 40 = 6 घंटे ✓)30 km/h (check: 240 ÷ 30 = 8 ghante, 240 ÷ 40 = 6 ghante ✓)

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Standard form: ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0.मानक रूप: ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0।Standard form: ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0.
  2. Splitting the middle term: two numbers with product ac and sum b.मध्य पद तोड़ना: गुणनफल ac और योग b वाली दो संख्याएँ।Middle term todna: product ac aur sum b wale do numbers.
  3. x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, D = b^2 - 4ac.x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, D = b^2 - 4ac।x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, D = b^2 - 4ac.
  4. D > 0 distinct real · D = 0 equal real · D < 0 no real roots.D > 0 भिन्न वास्तविक · D = 0 बराबर वास्तविक · D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं।D > 0 alag real · D = 0 barabar real · D < 0 koi real root nahi.
  5. In word problems, reject roots that make no sense (negative length, speed, age).शब्द प्रश्नों में अर्थहीन मूल (ऋणात्मक लंबाई, चाल, आयु) छोड़ दीजिए।Word problems mein bematlab roots (negative length, speed, age) chhod dijiye.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Not bringing the equation to standard form before reading a, b, c.a, b, c पढ़ने से पहले समीकरण को मानक रूप में न लाना।a, b, c padhne se pehle equation ko standard form mein na laana.
  • Writing -b \pm \sqrt{D} over 2 instead of over 2a.-b \pm \sqrt{D} को 2a की जगह 2 से भाग देना।-b \pm \sqrt{D} ko 2a ki jagah 2 se divide karna.
  • Sign errors in D when c is negative: for x^2 + 4x - 1, D = 16 - 4(1)(-1) = 20, not 12.c ऋणात्मक होने पर D में चिह्न की गलती: x^2 + 4x - 1 के लिए D = 16 - 4(1)(-1) = 20, 12 नहीं।c negative hone par D mein sign ki galti: x^2 + 4x - 1 ke liye D = 16 - 4(1)(-1) = 20, 12 nahi.
  • Dividing both sides by x — this loses the root x = 0.दोनों पक्षों को x से भाग देना — इससे मूल x = 0 खो जाता है।Dono sides ko x se divide karna — isse root x = 0 kho jaata hai.
  • Keeping a negative answer for a length or speed in a word problem.शब्द प्रश्न में लंबाई या चाल का ऋणात्मक उत्तर रखना।Word problem mein length ya speed ka negative answer rakhna.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. Solve x^2 - 3x - 10 = 0.x^2 - 3x - 10 = 0 हल कीजिए।x^2 - 3x - 10 = 0 hal kijiye.
  1. (x - 5)(x + 2) = 0

✔ x = 5 or x = −2x = 5 या x = −2x = 5 ya x = −2

Q2. Solve 2x^2 + x - 6 = 0.2x^2 + x - 6 = 0 हल कीजिए।2x^2 + x - 6 = 0 hal kijiye.
  1. 2x^2 + 4x - 3x - 6 = (2x - 3)(x + 2) = 0

✔ x = \frac{3}{2} or x = -2x = \frac{3}{2} या x = -2x = \frac{3}{2} ya x = -2

Q3. Find the nature of the roots of 3x^2 - 5x + 2 = 0 and then find them.3x^2 - 5x + 2 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए और फिर मूल ज्ञात कीजिए।3x^2 - 5x + 2 = 0 ke roots ka nature nikaliye aur phir roots nikaliye.
  1. D = 25 - 24 = 1 > 0, \quad x = \frac{5 \pm 1}{6}

✔ Two distinct real roots: 1 and \frac{2}{3}.दो भिन्न वास्तविक मूल: 1 और \frac{2}{3}।Do alag real roots: 1 aur \frac{2}{3}.

Q4. For what values of k does x^2 + kx + 16 = 0 have equal roots?k के किन मानों के लिए x^2 + kx + 16 = 0 के मूल बराबर हैं?k ki kin values ke liye x^2 + kx + 16 = 0 ke roots barabar hain?
  1. k^2 - 64 = 0 \Rightarrow k = \pm 8

✔ k = 8 or k = −8k = 8 या k = −8k = 8 ya k = −8

Q5. The sum of a number and its reciprocal is \frac{10}{3}. Find the number.एक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग \frac{10}{3} है। संख्या ज्ञात कीजिए।Ek number aur uske reciprocal ka sum \frac{10}{3} hai. Number nikaliye.
  1. x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \Rightarrow 3x^2 - 10x + 3 = 0 \Rightarrow (3x - 1)(x - 3) = 0

✔ 3 or \frac{1}{3}3 या \frac{1}{3}3 ya \frac{1}{3}

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The discriminant of x^2 - 5x + 6 = 0 is:x^2 - 5x + 6 = 0 का विविक्तकर है:x^2 - 5x + 6 = 0 ka discriminant hai:

2. The equation x^2 + x + 1 = 0 has:समीकरण x^2 + x + 1 = 0 के:Equation x^2 + x + 1 = 0 ke:

3. Which of these is a quadratic equation?इनमें से कौन द्विघात समीकरण है?Inmein se kaunsi quadratic equation hai?

4. The roots of x^2 - 16 = 0 are:x^2 - 16 = 0 के मूल हैं:x^2 - 16 = 0 ke roots hain:

5. For equal roots of 2x^2 + kx + 2 = 0, k is:2x^2 + kx + 2 = 0 के बराबर मूलों के लिए k है:2x^2 + kx + 2 = 0 ke barabar roots ke liye k hai:

6. Which number is a root of 2x^2 - x - 1 = 0?कौन-सी संख्या 2x^2 - x - 1 = 0 का मूल है?Kaunsa number 2x^2 - x - 1 = 0 ka root hai?

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.