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Arithmetic Progressionsसमांतर श्रेढ़ियाँArithmetic Progressions (Samantar Shredhi)

Class 10 Maths · Chapter 5 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 5 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 5 · UP Board

Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.

📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine

🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye

Ranked by how many years each topic came in the paper. Tap a topic to jump to its notes.हर टॉपिक कितने वर्ष पेपर में आया, उसी क्रम में। टॉपिक पर टैप करें, नोट्स पर पहुँचें।Har topic kitne saal paper mein aaya, usi order mein. Topic par tap kijiye, notes par pahunchiye.

1nth term: aₙ = a + (n − 1)dnवाँ पद: aₙ = a + (n − 1)dnth term: aₙ = a + (n − 1)d🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 4, 6अंक: 1, 4, 6Marks: 1, 4, 6 · + in 1 model paper(s)+ 1 मॉडल पेपर में+ 1 model paper mein2Sum of n terms: Sₙn पदों का योग: Sₙn terms ka sum: SₙAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 4, 6अंक: 1, 2, 4, 6Marks: 1, 2, 4, 63Two sums given: find a, d or nदो योग दिए हों: a, d या n ज्ञात करनाDo sums diye hon: a, d ya n nikalnaAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 2, 4, 6अंक: 2, 4, 6Marks: 2, 4, 64Word problems on APसमांतर श्रेढ़ी पर शाब्दिक प्रश्नAP par word problemsAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 2, 4, 6अंक: 2, 4, 6Marks: 2, 4, 65Is it an AP? Common difference; three terms in APक्या यह समांतर श्रेढ़ी है? सार्व अंतर; तीन पद समांतर श्रेढ़ी मेंKya yeh AP hai? Common difference; teen terms AP meinAsked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2अंक: 1, 2Marks: 1, 26Which term is a given number? Is a number a term?दी गई संख्या कौन-सा पद है? क्या संख्या पद है?Diya gaya number kaunsa term hai? Kya number term hai?Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2अंक: 1, 2Marks: 1, 2
Show all 8 topicsसभी 8 टॉपिक देखेंSaare 8 topics dekhiye
7Find the AP from given conditionsदी गई शर्तों से समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करनाDi gayi conditions se AP nikalnaAsked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 4अंक: 4Marks: 4
8Derivation of nth-term / sum formulaNot asked yetअभी तक नहीं पूछा गयाAbhi tak nahi aaya
🟢 PASSपासPASS

Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

Only two formulas run this whole chapter: the nth term aₙ = a + (n − 1)d and the sum Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]. Learn them first; the 1-mark MCQs (common difference, 20th term, which term) come straight from them. Then practise the longer questions where two sums are given and you find a and d.पूरा अध्याय केवल दो सूत्रों पर चलता है: nवाँ पद aₙ = a + (n − 1)d और योग Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]। इन्हें सबसे पहले याद कीजिए; 1 अंक के MCQ (सार्व अंतर, 20वाँ पद, कौन-सा पद) सीधे इन्हीं से आते हैं। फिर वे लंबे प्रश्न अभ्यास कीजिए जिनमें दो योग देकर a और d निकालने होते हैं।Poora chapter sirf do formulas par chalta hai: nth term aₙ = a + (n − 1)d aur sum Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]. Inhe sabse pehle yaad kijiye; 1 mark ke MCQ (common difference, 20th term, kaunsa term) seedhe inhi se aate hain. Phir woh lambe sawaal practice kijiye jinmein do sums dekar a aur d nikalne hote hain.

🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum

  • Learn aₙ = a + (n − 1)d and Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] by heart. Also Sₙ = n/2 (a + l).
  • Practise finding d (second minus first) for APs with negative terms and surds.
  • Do 5 'find the nth term' and 3 'which term' MCQs.
  • Do 2 questions where two sums are given and you find a and d.
  • Learn 'three numbers in AP ⇒ 2b = a + c'.
  • aₙ = a + (n − 1)d और Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] कंठस्थ कीजिए। साथ में Sₙ = n/2 (a + l)।
  • ऋणात्मक पदों और करणी वाली श्रेढ़ियों में d (दूसरा घटा पहला) निकालने का अभ्यास कीजिए।
  • 5 'nवाँ पद ज्ञात कीजिए' और 3 'कौन-सा पद' वाले MCQ कीजिए।
  • 2 ऐसे प्रश्न कीजिए जिनमें दो योग देकर a और d निकालने हों।
  • 'तीन संख्याएँ समांतर श्रेढ़ी में ⇒ 2b = a + c' याद कीजिए।
  • aₙ = a + (n − 1)d aur Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] ratt lijiye. Saath mein Sₙ = n/2 (a + l).
  • Negative terms aur surd wali APs mein d (doosra minus pehla) nikalne ki practice kijiye.
  • 5 'nth term nikaliye' aur 3 'kaunsa term' wale MCQ kijiye.
  • 2 aise sawaal kijiye jinmein do sums dekar a aur d nikalne hon.
  • 'Teen numbers AP mein ⇒ 2b = a + c' yaad kijiye.

🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts

  • d = a₂ − a₁.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l).
  • nth term from end = l − (n − 1)d.
  • a, b, c in AP ⇔ 2b = a + c.
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; sum of first n odd numbers = n².
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • If aₙ = pn + q, the common difference is p.
  • d = a₂ − a₁।
  • aₙ = a + (n − 1)d।
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l)।
  • अंत से nवाँ पद = l − (n − 1)d।
  • a, b, c समांतर श्रेढ़ी में ⇔ 2b = a + c।
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁।
  • यदि aₙ = pn + q, तो सार्व अंतर p है।
  • d = a₂ − a₁.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l).
  • End se nth term = l − (n − 1)d.
  • a, b, c AP mein ⇔ 2b = a + c.
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; pehle n odd numbers ka sum = n².
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • Agar aₙ = pn + q, to common difference p hai.
🟡 SCOREस्कोरSCORE

The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.

nth term: aₙ = a + (n − 1)dnवाँ पद: aₙ = a + (n − 1)dnth term: aₙ = a + (n − 1)d

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • AP: a list where each term is got by adding the same number d (common difference) to the previous term.
  • a = first term, d = a₂ − a₁ (second minus first), n = position of the term.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • nth term from the END: l − (n − 1)d, where l is the last term.
  • Difference of two terms: aₘ − aₖ = (m − k)d. Example: a₁₂ − a₈ = 4d.
  • If aₙ is given in terms of n (like aₙ = 3 + 2n), put n = 1, 2, 3 to get the terms; d = coefficient of n.
  • समांतर श्रेढ़ी: ऐसी सूची जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद में एक ही संख्या d (सार्व अंतर) जोड़कर मिलता है।
  • a = प्रथम पद, d = a₂ − a₁ (दूसरा घटा पहला), n = पद का स्थान।
  • aₙ = a + (n − 1)d।
  • अंत से nवाँ पद: l − (n − 1)d, जहाँ l अंतिम पद है।
  • दो पदों का अंतर: aₘ − aₖ = (m − k)d। उदाहरण: a₁₂ − a₈ = 4d।
  • यदि aₙ, n के पदों में दिया हो (जैसे aₙ = 3 + 2n), तो n = 1, 2, 3 रखकर पद निकालिए; d = n का गुणांक।
  • AP: aisi list jismein har term pichhle term mein ek hi number d (common difference) jodkar milta hai.
  • a = first term, d = a₂ − a₁ (doosra minus pehla), n = term ki position.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • END se nth term: l − (n − 1)d, jahan l last term hai.
  • Do terms ka difference: aₘ − aₖ = (m − k)d. Example: a₁₂ − a₈ = 4d.
  • Agar aₙ, n ke terms mein diya ho (jaise aₙ = 3 + 2n), to n = 1, 2, 3 rakhkar terms nikaliye; d = n ka coefficient.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
aₙ = a + (n − 1)d
nth from end = l − (n − 1)d
aₘ − aₖ = (m − k)d
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 1 mark1 अंक1 mark

MCQ: The 15th term of the AP 7, 11, 15, … is: (A) 63 (B) 67 (C) 59 (D) 60MCQ: समांतर श्रेढ़ी 7, 11, 15, … का 15वाँ पद है: (A) 63 (B) 67 (C) 59 (D) 60MCQ: AP 7, 11, 15, … ka 15th term hai: (A) 63 (B) 67 (C) 59 (D) 60

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a = 7, d = 4.
  • a₁₅ = 7 + 14 × 4 = 63.
  • Answer: (A) 63
  • a = 7, d = 4।
  • a₁₅ = 7 + 14 × 4 = 63।
  • उत्तर: (A) 63
  • a = 7, d = 4.
  • a₁₅ = 7 + 14 × 4 = 63.
  • Answer: (A) 63
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Find the 10th term from the end of the AP 3, 8, 13, …, 253.समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, …, 253 का अंत से 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।AP 3, 8, 13, …, 253 ka end se 10th term nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Last term l = 253, d = 5.
  • 10th term from the end = l − (10 − 1)d = 253 − 45 = 208.
  • अंतिम पद l = 253, d = 5।
  • अंत से 10वाँ पद = l − (10 − 1)d = 253 − 45 = 208।
  • Last term l = 253, d = 5.
  • End se 10th term = l − (10 − 1)d = 253 − 45 = 208.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

The 12th term of an AP exceeds its 8th term by 20. Find the common difference.किसी समांतर श्रेढ़ी का 12वाँ पद उसके 8वें पद से 20 अधिक है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।Kisi AP ka 12th term uske 8th term se 20 zyada hai. Common difference nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a₁₂ − a₈ = 20
  • (a + 11d) − (a + 7d) = 20 ⇒ 4d = 20
  • d = 5.
  • a₁₂ − a₈ = 20
  • (a + 11d) − (a + 7d) = 20 ⇒ 4d = 20
  • d = 5।
  • a₁₂ − a₈ = 20
  • (a + 11d) − (a + 7d) = 20 ⇒ 4d = 20
  • d = 5.

💡 d can be negative or a surd: for 10, 7, 4, … d = −3; for 2, 2 + √3, … d = √3. Always find d as second term minus first.d ऋणात्मक या करणी भी हो सकता है: 10, 7, 4, … में d = −3; 2, 2 + √3, … में d = √3। d हमेशा दूसरा पद घटा पहला पद से निकालिए।d negative ya surd bhi ho sakta hai: 10, 7, 4, … mein d = −3; 2, 2 + √3, … mein d = √3. d hamesha doosra term minus pehla term se nikaliye.

Sum of n terms: Sₙn पदों का योग: Sₙn terms ka sum: Sₙ

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d].
  • If the last term l is known: Sₙ = n/2 (a + l).
  • Sum of first n natural numbers = n(n + 1)/2. Example: 1 + 2 + … + 100 = 5050.
  • Sum of first n odd numbers = n².
  • If Sₙ is given (like 2n² + 3n): a₁ = S₁, and aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • Number of terms when a, d and l are known: n = (l − a)/d + 1.
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]।
  • यदि अंतिम पद l ज्ञात हो: Sₙ = n/2 (a + l)।
  • प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2। उदाहरण: 1 + 2 + … + 100 = 5050।
  • प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
  • यदि Sₙ दिया हो (जैसे 2n² + 3n): a₁ = S₁, तथा aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁।
  • a, d और l ज्ञात हों तो पदों की संख्या: n = (l − a)/d + 1।
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d].
  • Agar last term l pata ho: Sₙ = n/2 (a + l).
  • Pehle n natural numbers ka sum = n(n + 1)/2. Example: 1 + 2 + … + 100 = 5050.
  • Pehle n odd numbers ka sum = n².
  • Agar Sₙ diya ho (jaise 2n² + 3n): a₁ = S₁, aur aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • a, d aur l pata hon to terms ki sankhya: n = (l − a)/d + 1.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
Sₙ = n/2 (a + l)
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Find the sum of the first 20 terms of the AP 4, 7, 10, …समांतर श्रेढ़ी 4, 7, 10, … के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।AP 4, 7, 10, … ke pehle 20 terms ka sum nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a = 4, d = 3, n = 20.
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 3] = 10 [8 + 57] = 10 × 65 = 650.
  • a = 4, d = 3, n = 20।
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 3] = 10 [8 + 57] = 10 × 65 = 650।
  • a = 4, d = 3, n = 20.
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 3] = 10 [8 + 57] = 10 × 65 = 650.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

The sum of the first n terms of an AP is 2n² + 3n. Find its 20th term.किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग 2n² + 3n है। इसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।Kisi AP ke pehle n terms ka sum 2n² + 3n hai. Iska 20th term nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • S₁ = 2 + 3 = 5 = a₁.
  • S₂ = 8 + 6 = 14 ⇒ a₂ = 14 − 5 = 9. So d = 4.
  • a₂₀ = 5 + 19 × 4 = 81.
  • (Check: S₂₀ − S₁₉ = 860 − 779 = 81 ✓)
  • S₁ = 2 + 3 = 5 = a₁।
  • S₂ = 8 + 6 = 14 ⇒ a₂ = 14 − 5 = 9। अतः d = 4।
  • a₂₀ = 5 + 19 × 4 = 81।
  • (जाँच: S₂₀ − S₁₉ = 860 − 779 = 81 ✓)
  • S₁ = 2 + 3 = 5 = a₁.
  • S₂ = 8 + 6 = 14 ⇒ a₂ = 14 − 5 = 9. To d = 4.
  • a₂₀ = 5 + 19 × 4 = 81.
  • (Check: S₂₀ − S₁₉ = 860 − 779 = 81 ✓)
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

The first term of an AP is 5, the last term is 95 and the common difference is 5. Find the number of terms and their sum.किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 95 और सार्व अंतर 5 है। पदों की संख्या और उनका योग ज्ञात कीजिए।Kisi AP ka pehla term 5, last term 95 aur common difference 5 hai. Terms ki sankhya aur unka sum nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • l = a + (n − 1)d ⇒ 95 = 5 + (n − 1)5 ⇒ n − 1 = 18 ⇒ n = 19.
  • Sₙ = n/2 (a + l) = 19/2 × (5 + 95) = 19 × 50 = 950.
  • l = a + (n − 1)d ⇒ 95 = 5 + (n − 1)5 ⇒ n − 1 = 18 ⇒ n = 19।
  • Sₙ = n/2 (a + l) = 19/2 × (5 + 95) = 19 × 50 = 950।
  • l = a + (n − 1)d ⇒ 95 = 5 + (n − 1)5 ⇒ n − 1 = 18 ⇒ n = 19.
  • Sₙ = n/2 (a + l) = 19/2 × (5 + 95) = 19 × 50 = 950.

Two sums given: find a, d or nदो योग दिए हों: a, d या n ज्ञात करनाDo sums diye hon: a, d ya n nikalna

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Write each given sum with the formula Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]. You get two equations in a and d.
  • Simplify each (divide out common numbers), then solve the pair like Chapter 3.
  • To find n from a sum: put a, d and Sₙ in the formula; you get a quadratic in n. Keep only positive whole-number values of n.
  • If both values of n are positive (like 8 and 13), both are correct: the extra terms add up to zero.
  • प्रत्येक दिए गए योग को सूत्र Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] से लिखिए। a और d में दो समीकरण मिलेंगे।
  • प्रत्येक को सरल कीजिए (उभयनिष्ठ संख्या से भाग), फिर अध्याय 3 की तरह युग्म हल कीजिए।
  • योग से n निकालने के लिए: a, d और Sₙ को सूत्र में रखिए; n में द्विघात समीकरण बनेगा। केवल धनात्मक पूर्ण संख्या वाले n लीजिए।
  • यदि n के दोनों मान धनात्मक हों (जैसे 8 और 13), तो दोनों सही हैं: बीच के अतिरिक्त पदों का योग शून्य होता है।
  • Har diye gaye sum ko formula Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] se likhiye. a aur d mein do equations milenge.
  • Har ek ko simplify kijiye (common number se divide), phir Chapter 3 ki tarah pair solve kijiye.
  • Sum se n nikalne ke liye: a, d aur Sₙ ko formula mein rakhiye; n mein quadratic banega. Sirf positive whole-number n lijiye.
  • Agar n ki dono values positive hon (jaise 8 aur 13), to dono sahi hain: beech ke extra terms ka sum zero hota hai.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 6 marks6 अंक6 marks

The sum of the first 5 terms of an AP is 40 and the sum of the first 10 terms is 130. Find the first term, the common difference and the sum of the first 20 terms.किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम 5 पदों का योग 40 और प्रथम 10 पदों का योग 130 है। प्रथम पद, सार्व अंतर और प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।Kisi AP ke pehle 5 terms ka sum 40 aur pehle 10 terms ka sum 130 hai. Pehla term, common difference aur pehle 20 terms ka sum nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • S₅ = 5/2 [2a + 4d] = 40 ⇒ 2a + 4d = 16 ⇒ a + 2d = 8 …(1)
  • S₁₀ = 10/2 [2a + 9d] = 130 ⇒ 2a + 9d = 26 …(2)
  • (2) − 2 × (1): 9d − 4d = 26 − 16 ⇒ 5d = 10 ⇒ d = 2.
  • From (1): a = 8 − 4 = 4.
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 2] = 10 [8 + 38] = 460.
  • Answer: a = 4, d = 2, S₂₀ = 460.
  • S₅ = 5/2 [2a + 4d] = 40 ⇒ 2a + 4d = 16 ⇒ a + 2d = 8 …(1)
  • S₁₀ = 10/2 [2a + 9d] = 130 ⇒ 2a + 9d = 26 …(2)
  • (2) − 2 × (1): 9d − 4d = 26 − 16 ⇒ 5d = 10 ⇒ d = 2।
  • (1) से: a = 8 − 4 = 4।
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 2] = 10 [8 + 38] = 460।
  • उत्तर: a = 4, d = 2, S₂₀ = 460।
  • S₅ = 5/2 [2a + 4d] = 40 ⇒ 2a + 4d = 16 ⇒ a + 2d = 8 …(1)
  • S₁₀ = 10/2 [2a + 9d] = 130 ⇒ 2a + 9d = 26 …(2)
  • (2) − 2 × (1): 9d − 4d = 26 − 16 ⇒ 5d = 10 ⇒ d = 2.
  • (1) se: a = 8 − 4 = 4.
  • S₂₀ = 20/2 [2 × 4 + 19 × 2] = 10 [8 + 38] = 460.
  • Answer: a = 4, d = 2, S₂₀ = 460.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

How many terms of the AP 30, 27, 24, … must be taken so that their sum is 156?समांतर श्रेढ़ी 30, 27, 24, … के कितने पद लिए जाएँ कि उनका योग 156 हो?AP 30, 27, 24, … ke kitne terms liye jayein ki unka sum 156 ho?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a = 30, d = −3, Sₙ = 156.
  • n/2 [60 + (n − 1)(−3)] = 156 ⇒ n(63 − 3n) = 312 ⇒ 3n² − 63n + 312 = 0 ⇒ n² − 21n + 104 = 0.
  • (n − 8)(n − 13) = 0 ⇒ n = 8 or n = 13.
  • Both are correct: terms 9th to 13th are 6, 3, 0, −3, −6, whose sum is 0. So 8 terms or 13 terms.
  • a = 30, d = −3, Sₙ = 156।
  • n/2 [60 + (n − 1)(−3)] = 156 ⇒ n(63 − 3n) = 312 ⇒ 3n² − 63n + 312 = 0 ⇒ n² − 21n + 104 = 0।
  • (n − 8)(n − 13) = 0 ⇒ n = 8 या n = 13।
  • दोनों सही हैं: 9वें से 13वें पद 6, 3, 0, −3, −6 हैं, जिनका योग 0 है। अतः 8 पद या 13 पद।
  • a = 30, d = −3, Sₙ = 156.
  • n/2 [60 + (n − 1)(−3)] = 156 ⇒ n(63 − 3n) = 312 ⇒ 3n² − 63n + 312 = 0 ⇒ n² − 21n + 104 = 0.
  • (n − 8)(n − 13) = 0 ⇒ n = 8 ya n = 13.
  • Dono sahi hain: 9th se 13th terms 6, 3, 0, −3, −6 hain, jinka sum 0 hai. To 8 terms ya 13 terms.

Word problems on APसमांतर श्रेढ़ी पर शाब्दिक प्रश्नAP par word problems

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Spot the AP: first value = a, the fixed increase = d, number of months/days/rows = n.
  • 'Total paid / saved / number of logs' ⇒ use Sₙ. 'Payment in the 10th month' ⇒ use aₙ.
  • Counting numbers: two-digit numbers divisible by 7 are 14, 21, …, 98 ⇒ n = (98 − 14)/7 + 1 = 13.
  • Sum of first 15 multiples of 6 = 6 + 12 + … + 90 = 15/2 × (6 + 90) = 720.
  • श्रेढ़ी पहचानिए: पहला मान = a, निश्चित वृद्धि = d, महीनों/दिनों/पंक्तियों की संख्या = n।
  • 'कुल भुगतान / बचत / लट्ठों की संख्या' ⇒ Sₙ लगाइए। '10वें महीने का भुगतान' ⇒ aₙ लगाइए।
  • संख्याएँ गिनना: 7 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ 14, 21, …, 98 ⇒ n = (98 − 14)/7 + 1 = 13।
  • 6 के प्रथम 15 गुणजों का योग = 6 + 12 + … + 90 = 15/2 × (6 + 90) = 720।
  • AP pehchaniye: pehli value = a, fixed badhotri = d, mahino/dino/rows ki sankhya = n.
  • 'Total payment / saving / logs ki sankhya' ⇒ Sₙ lagaiye. '10th mahine ki payment' ⇒ aₙ lagaiye.
  • Numbers ginna: 7 se divisible do digit ke numbers 14, 21, …, 98 ⇒ n = (98 − 14)/7 + 1 = 13.
  • 6 ke pehle 15 multiples ka sum = 6 + 12 + … + 90 = 15/2 × (6 + 90) = 720.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A man repays a loan by paying ₹100 in the first month and increasing the payment by ₹50 every month. How much does he pay in total in 12 months?एक व्यक्ति ऋण चुकाने के लिए पहले महीने ₹100 देता है और हर महीने भुगतान ₹50 बढ़ाता है। 12 महीनों में वह कुल कितना चुकाता है?Ek aadmi loan chukane ke liye pehle mahine ₹100 deta hai aur har mahine payment ₹50 badhata hai. 12 mahino mein woh total kitna chukata hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Payments form an AP: a = 100, d = 50, n = 12.
  • S₁₂ = 12/2 [2 × 100 + 11 × 50] = 6 [200 + 550] = 6 × 750 = 4500.
  • He pays ₹4500 in 12 months.
  • भुगतान समांतर श्रेढ़ी में हैं: a = 100, d = 50, n = 12।
  • S₁₂ = 12/2 [2 × 100 + 11 × 50] = 6 [200 + 550] = 6 × 750 = 4500।
  • वह 12 महीनों में ₹4500 चुकाता है।
  • Payments AP mein hain: a = 100, d = 50, n = 12.
  • S₁₂ = 12/2 [2 × 100 + 11 × 50] = 6 [200 + 550] = 6 × 750 = 4500.
  • Woh 12 mahino mein ₹4500 chukata hai.

Is it an AP? Common difference; three terms in APक्या यह समांतर श्रेढ़ी है? सार्व अंतर; तीन पद समांतर श्रेढ़ी मेंKya yeh AP hai? Common difference; teen terms AP mein

Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Check: a₂ − a₁, a₃ − a₂, a₄ − a₃ must all be equal. Then it is an AP with that d.
  • d can be positive, negative, zero, a fraction or a surd.
  • Three numbers a, b, c are in AP ⇔ 2b = a + c (middle term is the average).
  • Examples: 3, 1, −1, −3 has d = −2; −5, −1, 3, 7 has d = 4; 1, 4, 9, 16 is NOT an AP.
  • जाँच: a₂ − a₁, a₃ − a₂, a₄ − a₃ सभी बराबर होने चाहिए। तब यह उस d वाली समांतर श्रेढ़ी है।
  • d धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, भिन्न या करणी हो सकता है।
  • तीन संख्याएँ a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं ⇔ 2b = a + c (मध्य पद औसत है)।
  • उदाहरण: 3, 1, −1, −3 में d = −2; −5, −1, 3, 7 में d = 4; 1, 4, 9, 16 समांतर श्रेढ़ी नहीं है।
  • Check: a₂ − a₁, a₃ − a₂, a₄ − a₃ sab barabar hone chahiye. Tab yeh us d wali AP hai.
  • d positive, negative, zero, fraction ya surd ho sakta hai.
  • Teen numbers a, b, c AP mein hain ⇔ 2b = a + c (beech wala term average hai).
  • Examples: 3, 1, −1, −3 mein d = −2; −5, −1, 3, 7 mein d = 4; 1, 4, 9, 16 AP NAHI hai.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
d = a₂ − a₁
a, b, c in AP ⇔ 2b = a + c
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

For what value of x are 2x, x + 10 and 3x + 2 in AP?x के किस मान के लिए 2x, x + 10 और 3x + 2 समांतर श्रेढ़ी में हैं?x ki kis value ke liye 2x, x + 10 aur 3x + 2 AP mein hain?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • In AP: 2 × (middle) = first + third.
  • 2(x + 10) = 2x + 3x + 2 ⇒ 2x + 20 = 5x + 2 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6.
  • Check: 12, 16, 20 — d = 4 ✓
  • समांतर श्रेढ़ी में: 2 × (मध्य पद) = पहला + तीसरा।
  • 2(x + 10) = 2x + 3x + 2 ⇒ 2x + 20 = 5x + 2 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6।
  • जाँच: 12, 16, 20 — d = 4 ✓
  • AP mein: 2 × (beech wala) = pehla + teesra.
  • 2(x + 10) = 2x + 3x + 2 ⇒ 2x + 20 = 5x + 2 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6.
  • Check: 12, 16, 20 — d = 4 ✓

Which term is a given number? Is a number a term?दी गई संख्या कौन-सा पद है? क्या संख्या पद है?Diya gaya number kaunsa term hai? Kya number term hai?

Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Put aₙ = given number in a + (n − 1)d and solve for n.
  • If n comes out a positive whole number, the number IS a term (the nth term).
  • If n is a fraction or negative, the number is NOT a term of the AP.
  • Number of terms in a finite AP: n = (l − a)/d + 1.
  • aₙ = दी गई संख्या को a + (n − 1)d में रखकर n ज्ञात कीजिए।
  • यदि n धनात्मक पूर्ण संख्या आए, तो संख्या पद है (nवाँ पद)।
  • यदि n भिन्न या ऋणात्मक आए, तो संख्या उस श्रेढ़ी का पद नहीं है।
  • परिमित श्रेढ़ी में पदों की संख्या: n = (l − a)/d + 1।
  • aₙ = diya gaya number ko a + (n − 1)d mein rakhkar n nikaliye.
  • Agar n positive whole number aaye, to number term HAI (nth term).
  • Agar n fraction ya negative aaye, to number us AP ka term NAHI hai.
  • Finite AP mein terms ki sankhya: n = (l − a)/d + 1.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Which term of the AP 5, 8, 11, … is 92?समांतर श्रेढ़ी 5, 8, 11, … का कौन-सा पद 92 है?AP 5, 8, 11, … ka kaunsa term 92 hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a = 5, d = 3, aₙ = 92.
  • 5 + (n − 1)3 = 92 ⇒ (n − 1)3 = 87 ⇒ n − 1 = 29 ⇒ n = 30.
  • 92 is the 30th term.
  • a = 5, d = 3, aₙ = 92।
  • 5 + (n − 1)3 = 92 ⇒ (n − 1)3 = 87 ⇒ n − 1 = 29 ⇒ n = 30।
  • 92, 30वाँ पद है।
  • a = 5, d = 3, aₙ = 92.
  • 5 + (n − 1)3 = 92 ⇒ (n − 1)3 = 87 ⇒ n − 1 = 29 ⇒ n = 30.
  • 92, 30th term hai.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Is 200 a term of the AP 7, 11, 15, …?क्या 200, समांतर श्रेढ़ी 7, 11, 15, … का एक पद है?Kya 200, AP 7, 11, 15, … ka ek term hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • 7 + (n − 1)4 = 200 ⇒ (n − 1)4 = 193 ⇒ n − 1 = 48.25 ⇒ n = 49.25.
  • n is not a whole number, so 200 is not a term of this AP.
  • 7 + (n − 1)4 = 200 ⇒ (n − 1)4 = 193 ⇒ n − 1 = 48.25 ⇒ n = 49.25।
  • n पूर्ण संख्या नहीं है, अतः 200 इस श्रेढ़ी का पद नहीं है।
  • 7 + (n − 1)4 = 200 ⇒ (n − 1)4 = 193 ⇒ n − 1 = 48.25 ⇒ n = 49.25.
  • n whole number nahi hai, isliye 200 is AP ka term nahi hai.

Find the AP from given conditionsदी गई शर्तों से समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करनाDi gayi conditions se AP nikalna

Asked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Write each given term as a + (n − 1)d. Solve the two equations for a and d.
  • Then write the AP: a, a + d, a + 2d, …
  • '7th term is 12 more than the 5th' ⇒ a₇ − a₅ = 2d = 12.
  • प्रत्येक दिए गए पद को a + (n − 1)d के रूप में लिखिए। दोनों समीकरणों से a और d ज्ञात कीजिए।
  • फिर श्रेढ़ी लिखिए: a, a + d, a + 2d, …
  • '7वाँ पद 5वें से 12 अधिक' ⇒ a₇ − a₅ = 2d = 12।
  • Har diye gaye term ko a + (n − 1)d ki tarah likhiye. Dono equations se a aur d nikaliye.
  • Phir AP likhiye: a, a + d, a + 2d, …
  • '7th term 5th se 12 zyada' ⇒ a₇ − a₅ = 2d = 12.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

Find the AP whose 4th term is 18 and whose 9th term exceeds its 6th term by 15.वह समांतर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए जिसका चौथा पद 18 है और 9वाँ पद 6वें पद से 15 अधिक है।Woh AP nikaliye jiska 4th term 18 hai aur 9th term 6th term se 15 zyada hai.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • a₉ − a₆ = 3d = 15 ⇒ d = 5.
  • a₄ = a + 3d = 18 ⇒ a = 18 − 15 = 3.
  • AP: 3, 8, 13, 18, …
  • a₉ − a₆ = 3d = 15 ⇒ d = 5।
  • a₄ = a + 3d = 18 ⇒ a = 18 − 15 = 3।
  • समांतर श्रेढ़ी: 3, 8, 13, 18, …
  • a₉ − a₆ = 3d = 15 ⇒ d = 5.
  • a₄ = a + 3d = 18 ⇒ a = 18 − 15 = 3.
  • AP: 3, 8, 13, 18, …
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Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.

📐 Derivation: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]व्युत्पत्ति: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]Derivation: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

  1. Let the AP be a, a + d, a + 2d, …, with n terms; the last term l = a + (n − 1)d.
  2. Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n − 1)d] …(1)
  3. Write the same sum in reverse order: Sₙ = [a + (n − 1)d] + [a + (n − 2)d] + … + a …(2)
  4. Add (1) and (2) term by term. Each pair adds to 2a + (n − 1)d, and there are n pairs.
  5. 2Sₙ = n[2a + (n − 1)d]
  6. So Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]. Since a + (n − 1)d = l, this is also Sₙ = n/2 (a + l).
  1. माना श्रेढ़ी a, a + d, a + 2d, … है, जिसमें n पद हैं; अंतिम पद l = a + (n − 1)d।
  2. Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n − 1)d] …(1)
  3. यही योग उल्टे क्रम में लिखिए: Sₙ = [a + (n − 1)d] + [a + (n − 2)d] + … + a …(2)
  4. (1) और (2) को पद-दर-पद जोड़िए। प्रत्येक जोड़ी का योग 2a + (n − 1)d है, और n जोड़ियाँ हैं।
  5. 2Sₙ = n[2a + (n − 1)d]
  6. अतः Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]। चूँकि a + (n − 1)d = l, इसलिए Sₙ = n/2 (a + l) भी।
  1. Maan lijiye AP a, a + d, a + 2d, … hai, jismein n terms hain; last term l = a + (n − 1)d.
  2. Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + … + [a + (n − 1)d] …(1)
  3. Yahi sum ulte order mein likhiye: Sₙ = [a + (n − 1)d] + [a + (n − 2)d] + … + a …(2)
  4. (1) aur (2) ko term-by-term jodiye. Har pair ka sum 2a + (n − 1)d hai, aur n pairs hain.
  5. 2Sₙ = n[2a + (n − 1)d]
  6. To Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]. Kyunki a + (n − 1)d = l, isliye Sₙ = n/2 (a + l) bhi.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

Find the sum of all two-digit numbers divisible by 7.7 से विभाज्य सभी दो अंकों वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।7 se divisible saare do digit ke numbers ka sum nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • The numbers are 14, 21, …, 98: a = 14, d = 7, l = 98.
  • n = (98 − 14)/7 + 1 = 12 + 1 = 13.
  • S = 13/2 × (14 + 98) = 13 × 56 = 728.
  • संख्याएँ 14, 21, …, 98 हैं: a = 14, d = 7, l = 98।
  • n = (98 − 14)/7 + 1 = 12 + 1 = 13।
  • S = 13/2 × (14 + 98) = 13 × 56 = 728।
  • Numbers 14, 21, …, 98 hain: a = 14, d = 7, l = 98.
  • n = (98 − 14)/7 + 1 = 12 + 1 = 13.
  • S = 13/2 × (14 + 98) = 13 × 56 = 728.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

If aₙ = 3 + 2n, find the sum of the first 24 terms.यदि aₙ = 3 + 2n, तो प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।Agar aₙ = 3 + 2n, to pehle 24 terms ka sum nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • a₁ = 5, a₂ = 7 ⇒ d = 2. a₂₄ = 3 + 48 = 51.
  • S₂₄ = 24/2 × (a₁ + a₂₄) = 12 × (5 + 51) = 12 × 56 = 672.
  • a₁ = 5, a₂ = 7 ⇒ d = 2। a₂₄ = 3 + 48 = 51।
  • S₂₄ = 24/2 × (a₁ + a₂₄) = 12 × (5 + 51) = 12 × 56 = 672।
  • a₁ = 5, a₂ = 7 ⇒ d = 2. a₂₄ = 3 + 48 = 51.
  • S₂₄ = 24/2 × (a₁ + a₂₄) = 12 × (5 + 51) = 12 × 56 = 672.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

If the sum of the first n terms of an AP is n² + 3n, write the AP.यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग n² + 3n है, तो श्रेढ़ी लिखिए।Agar kisi AP ke pehle n terms ka sum n² + 3n hai, to AP likhiye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • a₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.
  • S₂ = 4 + 6 = 10 ⇒ a₂ = 10 − 4 = 6 ⇒ d = 2.
  • AP: 4, 6, 8, 10, …
  • a₁ = S₁ = 1 + 3 = 4।
  • S₂ = 4 + 6 = 10 ⇒ a₂ = 10 − 4 = 6 ⇒ d = 2।
  • समांतर श्रेढ़ी: 4, 6, 8, 10, …
  • a₁ = S₁ = 1 + 3 = 4.
  • S₂ = 4 + 6 = 10 ⇒ a₂ = 10 − 4 = 6 ⇒ d = 2.
  • AP: 4, 6, 8, 10, …

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Using n instead of (n − 1) in aₙ → a₁₅ = a + 14d.
  • Taking d = first − second → d = second − first.
  • Forgetting the bracket in Sₙ: n/2 × 2a + (n − 1)d → keep [2a + (n − 1)d] together.
  • Accepting a fraction or negative value of n → n must be a positive whole number.
  • Writing Sₙ when the question asks for the nth term (or the other way) → read 'term' vs 'sum' carefully.
  • aₙ में (n − 1) की जगह n लेना → a₁₅ = a + 14d।
  • d = पहला − दूसरा लेना → d = दूसरा − पहला।
  • Sₙ में कोष्ठक भूलना: n/2 × 2a + (n − 1)d → [2a + (n − 1)d] को साथ रखिए।
  • n का भिन्न या ऋणात्मक मान स्वीकार करना → n धनात्मक पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
  • nवाँ पद पूछा हो तब Sₙ लिखना (या उल्टा) → 'पद' और 'योग' ध्यान से पढ़िए।
  • aₙ mein (n − 1) ki jagah n lena → a₁₅ = a + 14d.
  • d = pehla − doosra lena → d = doosra − pehla.
  • Sₙ mein bracket bhoolna: n/2 × 2a + (n − 1)d → [2a + (n − 1)d] ko saath rakhiye.
  • n ki fraction ya negative value maan lena → n positive whole number honi chahiye.
  • nth term poochha ho tab Sₙ likhna (ya ulta) → 'term' aur 'sum' dhyan se padhiye.

💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori

  • Middle term of an AP with an odd number of terms n is the ((n + 1)/2)th term.
  • If each term of an AP is increased, decreased or multiplied by the same non-zero number, it is still an AP.
  • The derivation of Sₙ (write the sum twice, once reversed, and add) can be asked as a 4-mark question.
  • विषम संख्या n पदों वाली श्रेढ़ी का मध्य पद ((n + 1)/2)वाँ पद होता है।
  • यदि श्रेढ़ी के प्रत्येक पद में एक ही शून्येतर संख्या जोड़ें, घटाएँ या गुणा करें, तो वह फिर भी समांतर श्रेढ़ी रहती है।
  • Sₙ की व्युत्पत्ति (योग दो बार लिखो, एक बार उल्टा, और जोड़ो) 4 अंक के प्रश्न के रूप में पूछी जा सकती है।
  • Odd number n terms wali AP ka beech wala term ((n + 1)/2)th term hota hai.
  • Agar AP ke har term mein ek hi non-zero number jodein, ghatayein ya multiply karein, to woh phir bhi AP rehti hai.
  • Sₙ ka derivation (sum do baar likho, ek baar ulta, aur jodo) 4 marks ke sawaal ki tarah poochha ja sakta hai.

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • AP: same difference d between terms.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d].
  • Sₙ = n/2 (a + l).
  • n = (l − a)/d + 1.
  • nth from end = l − (n − 1)d.
  • aₘ − aₖ = (m − k)d.
  • 2b = a + c for three terms in AP.
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • Sum of 1 to n = n(n + 1)/2.
  • Sum of first n odd numbers = n².
  • समांतर श्रेढ़ी: पदों में समान अंतर d।
  • aₙ = a + (n − 1)d।
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]।
  • Sₙ = n/2 (a + l)।
  • n = (l − a)/d + 1।
  • अंत से nवाँ पद = l − (n − 1)d।
  • aₘ − aₖ = (m − k)d।
  • तीन पद समांतर श्रेढ़ी में: 2b = a + c।
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁।
  • 1 से n तक का योग = n(n + 1)/2।
  • प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।
  • AP: terms mein same difference d.
  • aₙ = a + (n − 1)d.
  • Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d].
  • Sₙ = n/2 (a + l).
  • n = (l − a)/d + 1.
  • End se nth term = l − (n − 1)d.
  • aₘ − aₖ = (m − k)d.
  • Teen terms AP mein: 2b = a + c.
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.
  • 1 se n tak ka sum = n(n + 1)/2.
  • Pehle n odd numbers ka sum = n².
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Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.