Ch 10Circlesवृत्तCircles

Tangents to a circle: why a tangent is perpendicular to the radius, how many tangents a point can have, and why the two tangents from an outside point are equal — with our own solved examples, common mistakes and a quiz.वृत्त की स्पर्श रेखाएँ: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब क्यों होती है, किसी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, और बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर क्यों होती हैं — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और क्विज़।Circle ki tangents: tangent radius par perpendicular kyun hoti hai, kisi point se kitni tangents kheenchi ja sakti hain, aur bahar ke point se kheenchi gayi dono tangents barabar kyun hoti hain — humare apne solved examples, common mistakes aur quiz.

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∑ Formulas ✎ practice Qs 🎯 Quiz

In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)

10.1IntroductionभूमिकाIntroduction
10.2Tangent to a Circleवृत्त की स्पर्श रेखाTangent to a Circle
10.3Number of Tangents from a Point on a Circleएक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्याEk point se tangents ki sankhya
★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
🎯Quizक्विज़Quiz

10.1IntroductionभूमिकाIntroduction

A line and a circle can be related in three ways: the line may not meet the circle, it may cut it at two points (a secant), or it may touch it at exactly one point (a tangent). This chapter is about tangents.एक रेखा और वृत्त के तीन संबंध हो सकते हैं: रेखा वृत्त को न मिले, उसे दो बिंदुओं पर काटे (छेदक रेखा), या उसे ठीक एक बिंदु पर छुए (स्पर्श रेखा)। यह अध्याय स्पर्श रेखाओं के बारे में है।Ek line aur circle ke teen relations ho sakte hain: line circle ko na mile, use do points par kaate (secant), ya use theek ek point par chhue (tangent). Yeh chapter tangents ke baare mein hai.

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10.2Tangent to a Circleवृत्त की स्पर्श रेखाTangent to a Circle

TangentA line that meets the circle at only one point. That point is the point of contact. At any point of a circle there is exactly one tangent.स्पर्श रेखावह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर मिलती है। वह बिंदु स्पर्श बिंदु है। वृत्त के किसी भी बिंदु पर ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।TangentWoh line jo circle ko sirf ek point par milti hai. Woh point point of contact hai. Circle ke kisi bhi point par theek ek tangent hoti hai.

Theorem 1The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact. (Reason in short: every other point of the tangent lies outside the circle, so the radius OP is the shortest distance from O to the tangent — and the shortest distance is the perpendicular.)प्रमेय 1वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। (संक्षेप में कारण: स्पर्श रेखा का हर दूसरा बिंदु वृत्त के बाहर है, इसलिए त्रिज्या OP, O से स्पर्श रेखा तक की सबसे छोटी दूरी है — और सबसे छोटी दूरी लंब ही होती है।)Theorem 1Circle ke kisi point par tangent, point of contact se jaane wali radius par perpendicular hoti hai. (Short mein reason: tangent ka har doosra point circle ke bahar hai, isliye radius OP, O se tangent tak ki sabse chhoti doori hai — aur sabse chhoti doori perpendicular hi hoti hai.)

Example 1A point P is 13 cm from the centre O of a circle of radius 5 cm. Find the length of the tangent from P.उदाहरण 1बिंदु P, 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र O से 13 cm दूर है। P से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।Example 1Point P, 5 cm radius wale circle ke centre O se 13 cm door hai. P se tangent ki length nikaliye.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

Radius ⟂ tangent, so \triangle OTP is right-angled at T.त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा, अतः \triangle OTP, T पर समकोण है।Radius ⟂ tangent, isliye \triangle OTP, T par right angle hai.
PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

✔ 12 cm

Example 2The tangent from a point Q to a circle is 24 cm long, and Q is 25 cm from the centre. Find the radius.उदाहरण 2बिंदु Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा 24 cm लंबी है, और Q केंद्र से 25 cm दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।Example 2Point Q se circle par tangent 24 cm lambi hai, aur Q centre se 25 cm door hai. Radius nikaliye.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

r = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7

✔ 7 cm

Example 3PA is a tangent from P to a circle with centre O and radius 4 cm, and \angle OPA = 30°. Find OP and PA.उदाहरण 3PA, बिंदु P से केंद्र O और त्रिज्या 4 cm वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है, और \angle OPA = 30°। OP और PA ज्ञात कीजिए।Example 3PA, point P se centre O aur radius 4 cm wale circle par tangent hai, aur \angle OPA = 30°. OP aur PA nikaliye.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

\sin 30° = \frac{OA}{OP} \Rightarrow OP = \frac{4}{1/2} = 8, \qquad PA = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}

✔ OP = 8 cm, PA = 4\sqrt{3} cm ≈ 6.93 cm

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10.3Number of Tangents from a Point on a Circleएक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्याEk point se tangents ki sankhya

Point inside the circle → no tangent.बिंदु वृत्त के अंदर → कोई स्पर्श रेखा नहीं।Point circle ke andar → koi tangent nahi.
Point on the circle → exactly one tangent.बिंदु वृत्त पर → ठीक एक स्पर्श रेखा।Point circle par → theek ek tangent.
Point outside the circle → exactly two tangents.बिंदु वृत्त के बाहर → ठीक दो स्पर्श रेखाएँ।Point circle ke bahar → theek do tangents.

Theorem 2The lengths of the two tangents drawn from an external point to a circle are equal. (Proof idea: for tangents PA and PB, triangles OAP and OBP are congruent by RHS — right angles at A and B, OA = OB radii, OP common — so PA = PB.)प्रमेय 2बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। (प्रमाण का विचार: स्पर्श रेखाओं PA और PB के लिए त्रिभुज OAP और OBP, RHS से सर्वांगसम हैं — A और B पर समकोण, OA = OB त्रिज्याएँ, OP उभयनिष्ठ — अतः PA = PB।)Theorem 2Bahar ke point se circle par kheenchi gayi dono tangents ki lengths barabar hoti hain. (Proof ka idea: tangents PA aur PB ke liye triangles OAP aur OBP, RHS se congruent hain — A aur B par right angle, OA = OB radii, OP common — isliye PA = PB.)

Example 4From an external point P, tangents PA and PB are drawn to a circle with centre O. If \angle APB = 70°, find \angle AOB.उदाहरण 4बाहरी बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि \angle APB = 70°, तो \angle AOB ज्ञात कीजिए।Example 4Bahar ke point P se centre O wale circle par tangents PA aur PB kheenchi gayi hain. Agar \angle APB = 70°, to \angle AOB nikaliye.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

In quadrilateral OAPB, the angles at A and B are 90° each, and the angles add to 360°.चतुर्भुज OAPB में A और B पर कोण 90° हैं, और कोणों का योग 360° है।Quadrilateral OAPB mein A aur B par angles 90° hain, aur angles ka sum 360° hai.
\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°

✔ \angle AOB = 110° (in general, \angle AOB + \angle APB = 180°)\angle AOB = 110° (सामान्यतः \angle AOB + \angle APB = 180°)\angle AOB = 110° (general rule: \angle AOB + \angle APB = 180°)

Example 5A circle touches all four sides of quadrilateral ABCD. If AB = 6 cm, BC = 7 cm and CD = 4 cm, find AD.उदाहरण 5एक वृत्त चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है। यदि AB = 6 cm, BC = 7 cm और CD = 4 cm, तो AD ज्ञात कीजिए।Example 5Ek circle quadrilateral ABCD ki chaaron sides ko touch karta hai. Agar AB = 6 cm, BC = 7 cm aur CD = 4 cm, to AD nikaliye.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

Equal tangents from each corner give AB + CD = AD + BC.हर कोने से बराबर स्पर्श रेखाओं के कारण AB + CD = AD + BC।Har kone se barabar tangents ki wajah se AB + CD = AD + BC.
6 + 4 = AD + 7 \Rightarrow AD = 3

✔ AD = 3 cm

Example 6Two concentric circles have radii 10 cm and 6 cm. Find the length of the chord of the larger circle that touches the smaller circle.उदाहरण 6दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।Example 6Do concentric circles ki radii 10 cm aur 6 cm hain. Bade circle ki us chord ki length nikaliye jo chhote circle ko touch karti hai.

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

The chord is a tangent to the small circle, so the small radius is perpendicular to it and bisects it.जीवा छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए छोटी त्रिज्या उस पर लंब है और उसे समद्विभाजित करती है।Chord chhote circle ki tangent hai, isliye chhoti radius us par perpendicular hai aur use bisect karti hai.
\text{half chord} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{आधी जीवा} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{aadhi chord} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8

✔ 16 cm

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

Tangent touches the circle at exactly one point; a secant cuts it at two.स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है; छेदक रेखा दो बिंदुओं पर काटती है।Tangent circle ko theek ek point par chhooti hai; secant do points par kaat-ti hai.
Radius ⟂ tangent at the point of contact.स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा।Point of contact par radius ⟂ tangent.
Inside: 0 tangents · on: 1 · outside: 2.अंदर: 0 स्पर्श रेखाएँ · पर: 1 · बाहर: 2।Andar: 0 tangents · par: 1 · bahar: 2.
Tangents from an external point are equal: PA = PB.बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर: PA = PB।Bahar ke point se tangents barabar: PA = PB.
\angle AOB + \angle APB = 180°; for a circle inside a quadrilateral: AB + CD = AD + BC.\angle AOB + \angle APB = 180°; चतुर्भुज के अंदर वृत्त हो तो: AB + CD = AD + BC।\angle AOB + \angle APB = 180°; quadrilateral ke andar circle ho to: AB + CD = AD + BC.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

Using Pythagoras without first saying that the radius is perpendicular to the tangent.यह कहे बिना कि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है, सीधे पाइथागोरस लगाना।Yeh kahe bina ki radius tangent par perpendicular hai, seedhe Pythagoras lagana.
Taking OP as a side instead of the hypotenuse — the line from the centre to the external point is always the hypotenuse.OP को कर्ण की जगह भुजा मान लेना — केंद्र से बाहरी बिंदु की रेखा हमेशा कर्ण है।OP ko hypotenuse ki jagah side maan lena — centre se bahar ke point ki line hamesha hypotenuse hai.
Saying a point inside the circle has one tangent — it has none.यह कहना कि वृत्त के अंदर के बिंदु से एक स्पर्श रेखा होती है — कोई नहीं होती।Yeh kehna ki circle ke andar ke point se ek tangent hoti hai — koi nahi hoti.
Adding the wrong pairs of sides: in a circumscribed quadrilateral it is opposite sides that add up equally.गलत भुजाएँ जोड़ना: परिगत चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं।Galat sides jodna: circumscribed quadrilateral mein opposite sides ke sum barabar hote hain.
Forgetting that two tangents from a point are equal when finding the sides of a triangle around a circle.वृत्त के चारों ओर बने त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करते समय यह भूल जाना कि एक बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं।Circle ke chaaron taraf bane triangle ki sides nikalte waqt yeh bhool jaana ki ek point se dono tangents barabar hain.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. Find the length of the tangent from a point 10 cm away from the centre of a circle of radius 6 cm.6 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 10 cm दूर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।6 cm radius wale circle ke centre se 10 cm door point se tangent ki length nikaliye.

\sqrt{100 - 36} = 8

✔ 8 cm

Q2. Tangents PA and PB from P to a circle with centre O make \angle APB = 50°. Find \angle AOB and \angle OAB.P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB, \angle APB = 50° बनाती हैं। \angle AOB और \angle OAB ज्ञात कीजिए।P se centre O wale circle par tangents PA aur PB, \angle APB = 50° banati hain. \angle AOB aur \angle OAB nikaliye.

\angle AOB = 180° - 50° = 130°, \quad \angle OAB = \frac{180° - 130°}{2} = 25° \;(OA = OB)

✔ \angle AOB = 130°, \angle OAB = 25°

Q3. A circle is inscribed in quadrilateral ABCD with AB = 5 cm, BC = 8 cm and AD = 6 cm. Find CD.चतुर्भुज ABCD के अंदर एक वृत्त बना है, AB = 5 cm, BC = 8 cm और AD = 6 cm। CD ज्ञात कीजिए।Quadrilateral ABCD ke andar ek circle bana hai, AB = 5 cm, BC = 8 cm aur AD = 6 cm. CD nikaliye.

AB + CD = AD + BC \Rightarrow 5 + CD = 6 + 8

✔ CD = 9 cm

Q4. The circle inside \triangle ABC touches AB at F, BC at D and CA at E. If AF = 4 cm, BD = 6 cm and CE = 3 cm, find the sides of the triangle.\triangle ABC के अंदर का वृत्त AB को F, BC को D और CA को E पर स्पर्श करता है। यदि AF = 4 cm, BD = 6 cm और CE = 3 cm, तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।\triangle ABC ke andar ka circle AB ko F, BC ko D aur CA ko E par touch karta hai. Agar AF = 4 cm, BD = 6 cm aur CE = 3 cm, to triangle ki sides nikaliye.

Equal tangents: AE = AF = 4, BF = BD = 6, CD = CE = 3.बराबर स्पर्श रेखाएँ: AE = AF = 4, BF = BD = 6, CD = CE = 3।Barabar tangents: AE = AF = 4, BF = BD = 6, CD = CE = 3.

✔ AB = 10 cm, BC = 9 cm, CA = 7 cm

Q5. Prove that the tangents drawn at the two ends of a diameter of a circle are parallel.सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी व्यास के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।Prove kijiye ki circle ke kisi diameter ke dono siron par kheenchi gayi tangents parallel hoti hain.

Both tangents are perpendicular to the same line (the diameter), so the co-interior angles are 90° + 90° = 180°.दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा (व्यास) पर लंब हैं, अतः अंतः कोण 90° + 90° = 180° हैं।Dono tangents ek hi line (diameter) par perpendicular hain, isliye co-interior angles 90° + 90° = 180° hain.

✔ Hence the tangents are parallel.अतः स्पर्श रेखाएँ समांतर हैं।Isliye tangents parallel hain.

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. A line that meets a circle at exactly one point is called a:जो रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर मिलती है, वह कहलाती है:Jo line circle ko theek ek point par milti hai, woh kehlati hai:

2. The angle between a tangent and the radius at the point of contact is:स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण है:Point of contact par tangent aur radius ke beech ka angle hai:

3. How many tangents can be drawn from a point outside a circle?वृत्त के बाहर के एक बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?Circle ke bahar ke ek point se kitni tangents kheenchi ja sakti hain?

4. The tangent from a point 5 cm from the centre of a circle of radius 3 cm has length:3 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर के बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई है:3 cm radius wale circle ke centre se 5 cm door ke point se tangent ki length hai:

5. If tangents PA and PB make \angle APB = 80°, then \angle AOB is:यदि स्पर्श रेखाएँ PA और PB, \angle APB = 80° बनाती हैं, तो \angle AOB है:Agar tangents PA aur PB, \angle APB = 80° banati hain, to \angle AOB hai:

6. Tangents drawn at the ends of a diameter are:व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ होती हैं:Diameter ke siron par kheenchi gayi tangents hoti hain:

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.