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Ch 11Areas Related to Circlesवृत्तों से संबंधित क्षेत्रफलAreas Related to Circles

Area of a sector, length of an arc and area of a segment of a circle — with our own solved examples (clock hands, grazing, minor and major segments), the formulas in one place, common mistakes and a quiz.त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, चाप की लंबाई और वृत्तखंड का क्षेत्रफल — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण (घड़ी की सुइयाँ, चरना, लघु और दीर्घ वृत्तखंड), सारे सूत्र एक जगह, आम गलतियाँ और क्विज़।Sector ka area, arc ki length aur segment ka area — humare apne solved examples (ghadi ki suiyaan, ghaas charna, minor aur major segment), saare formulas ek jagah, common mistakes aur quiz.

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∑ Formulas✎ practice Qs🎯 Quiz
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 11.1Areas of Sector and Segment of a Circleवृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफलSector aur segment ke area
  2. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  3. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  4. ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
  5. 🎯Quizक्विज़Quiz

11.1Areas of Sector and Segment of a Circleवृत्त के त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफलSector aur segment ke area

Recall: a circle of radius r has circumference 2\pi r and area \pi r^2. A sector is the "pizza slice" between two radii and the arc; a segment is the region between a chord and the arc. The smaller one is minor, the larger one major.याद कीजिए: त्रिज्या r वाले वृत्त की परिधि 2\pi r और क्षेत्रफल \pi r^2 है। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और चाप के बीच का "पिज़्ज़ा स्लाइस" है; वृत्तखंड जीवा और चाप के बीच का भाग है। छोटा भाग लघु और बड़ा भाग दीर्घ कहलाता है।Yaad kijiye: radius r wale circle ki circumference 2\pi r aur area \pi r^2 hai. Sector do radii aur arc ke beech ka "pizza slice" hai; segment chord aur arc ke beech ka hissa hai. Chhota hissa minor aur bada hissa major kehlata hai.

\text{Area of sector} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2\text{Sector ka area} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2
θ = angle of the sector at the centreθ = केंद्र पर त्रिज्यखंड का कोणθ = centre par sector ka angle
\text{Length of arc} = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r\text{चाप की लंबाई} = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r\text{Arc ki length} = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
\text{Area of minor segment} = \text{area of sector} - \text{area of } \triangle OAB\text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} = \text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल} - \triangle OAB \text{ का क्षेत्रफल}\text{Minor segment ka area} = \text{sector ka area} - \triangle OAB \text{ ka area}
\text{Major part} = \pi r^2 - \text{minor part}\text{दीर्घ भाग} = \pi r^2 - \text{लघु भाग}\text{Major hissa} = \pi r^2 - \text{minor hissa}

Why the formulas work: a full turn is 360°, so a sector of angle θ is the fraction \frac{\theta}{360} of the whole circle — both of its area and of its boundary.सूत्र क्यों सही हैं: पूरा चक्कर 360° है, इसलिए कोण θ वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का \frac{\theta}{360} भाग है — क्षेत्रफल का भी और परिधि का भी।Formulas kyun sahi hain: poora chakkar 360° hai, isliye angle θ wala sector poore circle ka \frac{\theta}{360} hissa hai — area ka bhi aur boundary ka bhi.

Example 1Find the area and the arc length of a sector of radius 7 cm and angle 90°. (Use \pi = \frac{22}{7}.)उदाहरण 17 cm त्रिज्या और 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। (\pi = \frac{22}{7} लीजिए।)Example 17 cm radius aur 90° angle wale sector ka area aur arc ki length nikaliye. (\pi = \frac{22}{7} lijiye.)
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. \text{Area} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{4} \times 154 = 38.5\text{क्षेत्रफल} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{4} \times 154 = 38.5\text{Area} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{1}{4} \times 154 = 38.5
  2. \text{Arc} = \frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 11\text{चाप} = \frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 11\text{Arc} = \frac{1}{4} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 11

✔ Area 38.5 cm², arc 11 cmक्षेत्रफल 38.5 cm², चाप 11 cmArea 38.5 cm², arc 11 cm

Example 2The minute hand of a wall clock is 21 cm long. What area does it sweep in 10 minutes?उदाहरण 2दीवार घड़ी की मिनट की सुई 21 cm लंबी है। 10 मिनट में यह कितना क्षेत्रफल तय करती है?Example 2Deewar ghadi ki minute wali sui 21 cm lambi hai. 10 minute mein yeh kitna area cover karti hai?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. In 60 minutes the hand turns 360°, so in 10 minutes it turns 60°.60 मिनट में सुई 360° घूमती है, अतः 10 मिनट में 60°।60 minute mein sui 360° ghoomti hai, isliye 10 minute mein 60°.
    \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 21^2 = \frac{1}{6} \times 1386 = 231

✔ 231 cm²

Example 3A chord of a circle of radius 10 cm subtends a right angle at the centre. Find the areas of the minor and major segments. (Use \pi = 3.14.)उदाहरण 310 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\pi = 3.14 लीजिए।)Example 310 cm radius wale circle ki ek chord centre par right angle banati hai. Minor aur major segments ke area nikaliye. (\pi = 3.14 lijiye.)
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. \text{sector} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5, \qquad \triangle OAB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\text{त्रिज्यखंड} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5, \qquad \triangle OAB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50\text{sector} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.5, \qquad \triangle OAB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50
  2. \text{minor} = 78.5 - 50 = 28.5, \qquad \text{major} = 314 - 28.5 = 285.5\text{लघु} = 78.5 - 50 = 28.5, \qquad \text{दीर्घ} = 314 - 28.5 = 285.5\text{minor} = 78.5 - 50 = 28.5, \qquad \text{major} = 314 - 28.5 = 285.5

✔ Minor segment 28.5 cm², major segment 285.5 cm²लघु वृत्तखंड 28.5 cm², दीर्घ वृत्तखंड 285.5 cm²Minor segment 28.5 cm², major segment 285.5 cm²

Example 4Find the area of the minor segment cut off by a chord that subtends 60° at the centre of a circle of radius 12 cm. (Use \pi = 3.14, \sqrt{3} = 1.73.)उदाहरण 412 cm त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्र पर 60° अंतरित करने वाली जीवा से बने लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\pi = 3.14, \sqrt{3} = 1.73 लीजिए।)Example 412 cm radius wale circle mein centre par 60° banane wali chord se bane minor segment ka area nikaliye. (\pi = 3.14, \sqrt{3} = 1.73 lijiye.)
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. With a 60° angle and OA = OB, triangle OAB is equilateral (side 12).60° कोण और OA = OB होने से त्रिभुज OAB समबाहु है (भुजा 12)।60° angle aur OA = OB hone se triangle OAB equilateral hai (side 12).
    \text{sector} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 144 = 75.36, \qquad \triangle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} \approx 62.28\text{त्रिज्यखंड} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 144 = 75.36, \qquad \triangle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} \approx 62.28\text{sector} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 144 = 75.36, \qquad \triangle = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} \approx 62.28

✔ About 13.08 cm²लगभग 13.08 cm²Lagbhag 13.08 cm²

Example 5A sector of a circle of radius 6 cm has area 6\pi cm². Find its angle.उदाहरण 56 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 6\pi cm² है। उसका कोण ज्ञात कीजिए।Example 56 cm radius wale circle ke ek sector ka area 6\pi cm² hai. Uska angle nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \frac{\theta}{360} \times 36\pi = 6\pi \Rightarrow \theta = 60°

✔ 60°

Example 6Find the perimeter of a sector of radius 7 cm and angle 60°.उदाहरण 67 cm त्रिज्या और 60° कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए।Example 67 cm radius aur 60° angle wale sector ka perimeter nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Perimeter = two radii + arc.परिमाप = दो त्रिज्याएँ + चाप।Perimeter = do radii + arc.
    \text{arc} = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{22}{3}, \qquad 7 + 7 + \frac{22}{3} = \frac{64}{3}\text{चाप} = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{22}{3}, \qquad 7 + 7 + \frac{22}{3} = \frac{64}{3}\text{arc} = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{22}{3}, \qquad 7 + 7 + \frac{22}{3} = \frac{64}{3}

✔ \frac{64}{3} cm ≈ 21.33 cm

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Sector area = \frac{\theta}{360} \pi r^2; arc = \frac{\theta}{360} 2\pi r.त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{\theta}{360} \pi r^2; चाप = \frac{\theta}{360} 2\pi r।Sector area = \frac{\theta}{360} \pi r^2; arc = \frac{\theta}{360} 2\pi r.
  2. Minor segment = sector − triangle; major = circle − minor.लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज; दीर्घ = वृत्त − लघु।Minor segment = sector − triangle; major = circle − minor.
  3. θ = 90°: triangle area = \frac{1}{2} r^2. θ = 60°: triangle is equilateral, area = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2.θ = 90°: त्रिभुज का क्षेत्रफल = \frac{1}{2} r^2। θ = 60°: त्रिभुज समबाहु, क्षेत्रफल = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2।θ = 90°: triangle ka area = \frac{1}{2} r^2. θ = 60°: triangle equilateral, area = \frac{\sqrt{3}}{4} r^2.
  4. Minute hand turns 6° per minute; hour hand 30° per hour.मिनट की सुई प्रति मिनट 6° घूमती है; घंटे की सुई प्रति घंटा 30°।Minute ki sui har minute 6° ghoomti hai; ghante ki sui har ghante 30°.
  5. Perimeter of a sector = 2r + arc length.त्रिज्यखंड का परिमाप = 2r + चाप की लंबाई।Sector ka perimeter = 2r + arc ki length.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Using the diameter in place of the radius.त्रिज्या की जगह व्यास का प्रयोग करना।Radius ki jagah diameter use karna.
  • Forgetting to subtract the triangle when a segment (not a sector) is asked.वृत्तखंड (त्रिज्यखंड नहीं) पूछे जाने पर त्रिभुज घटाना भूल जाना।Segment (sector nahi) poochha jaye to triangle ghatana bhool jaana.
  • Giving the arc length as the perimeter of the sector — add the two radii.चाप की लंबाई को ही त्रिज्यखंड का परिमाप बता देना — दोनों त्रिज्याएँ जोड़िए।Arc ki length ko hi sector ka perimeter bata dena — dono radii jodiye.
  • Mixing π values: use the value the question gives (22/7 or 3.14) all the way through.π के मान मिलाना: प्रश्न में दिया गया मान (22/7 या 3.14) पूरे हल में लीजिए।π ki values milana: question mein di gayi value (22/7 ya 3.14) poore hal mein lijiye.
  • Writing area in cm instead of cm².क्षेत्रफल को cm² की जगह cm में लिखना।Area ko cm² ki jagah cm mein likhna.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. Find the area of a sector of radius 21 cm and angle 120°. (π = 22/7)21 cm त्रिज्या और 120° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)21 cm radius aur 120° angle wale sector ka area nikaliye. (π = 22/7)
  1. \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 441 = 462

✔ 462 cm²

Q2. Find the length of the arc of a sector of radius 14 cm and angle 30°. (π = 22/7)14 cm त्रिज्या और 30° कोण वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)14 cm radius aur 30° angle wale sector ke arc ki length nikaliye. (π = 22/7)
  1. \frac{30}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{22}{3}

✔ \frac{22}{3} cm ≈ 7.33 cm

Q3. A goat is tied with a 7 m rope at a corner of a square field (side larger than 7 m). Find the area it can graze. (π = 22/7)एक बकरी वर्गाकार खेत (भुजा 7 m से अधिक) के एक कोने पर 7 m रस्सी से बंधी है। वह कितने क्षेत्रफल में चर सकती है? (π = 22/7)Ek bakri square field (side 7 m se zyada) ke ek kone par 7 m rassi se bandhi hai. Woh kitne area mein char sakti hai? (π = 22/7)
  1. The corner angle is 90°, so it grazes a quarter circle.कोने का कोण 90° है, अतः वह चौथाई वृत्त में चरती है।Kone ka angle 90° hai, isliye woh quarter circle mein charti hai.
    \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 49 = 38.5

✔ 38.5 m²

Q4. Find the area of the minor segment of a circle of radius 14 cm when the angle at the centre is 90°. (π = 22/7)14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जब केंद्र पर कोण 90° हो। (π = 22/7)14 cm radius wale circle ke minor segment ka area nikaliye jab centre par angle 90° ho. (π = 22/7)
  1. 154 - \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 154 - 98 = 56

✔ 56 cm²

Q5. The area of a sector is one-fifth of the area of its circle. Find the angle of the sector.एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके वृत्त के क्षेत्रफल का पाँचवाँ भाग है। त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात कीजिए।Ek sector ka area uske circle ke area ka paanchva hissa hai. Sector ka angle nikaliye.
  1. \frac{\theta}{360} = \frac{1}{5} \Rightarrow \theta = 72°

✔ 72°

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The area of a sector of angle θ and radius r is:कोण θ और त्रिज्या r वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:Angle θ aur radius r wale sector ka area hai:

2. The angle turned by the minute hand in 15 minutes is:15 मिनट में मिनट की सुई द्वारा घूमा गया कोण है:15 minute mein minute ki sui kitna angle ghoomti hai:

3. Area of a minor segment =लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल =Minor segment ka area =

4. The arc length of a semicircle of radius 7 cm (π = 22/7) is:7 cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के चाप की लंबाई (π = 22/7) है:7 cm radius wale semicircle ke arc ki length (π = 22/7) hai:

5. If the area of a sector is \frac{1}{4} of its circle, its angle is:यदि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त का \frac{1}{4} है, तो उसका कोण है:Agar sector ka area circle ka \frac{1}{4} hai, to uska angle hai:

6. When the angle at the centre is 60°, the triangle OAB is:जब केंद्र पर कोण 60° हो, तो त्रिभुज OAB है:Jab centre par angle 60° ho, to triangle OAB hai:

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.