Ch 12Surface Areas and Volumesपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतनSurface Areas and Volumes

Surface areas and volumes of solids made by joining cubes, cuboids, cylinders, cones, spheres and hemispheres — which surfaces to add, which to leave out — with our own solved examples (toy, capsule, tent, scooped cube), all formulas in one place, common mistakes and a quiz.घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला जोड़कर बने ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन — कौन-से पृष्ठ जोड़ें, कौन-से छोड़ें — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण (खिलौना, कैप्सूल, तंबू, खोखला किया घन), सारे सूत्र एक जगह, आम गलतियाँ और क्विज़।Cube, cuboid, cylinder, cone, sphere aur hemisphere jodkar bane solids ke surface area aur volume — kaunse surfaces jodein, kaunse chhodein — humare apne solved examples (toy, capsule, tent, scooped cube), saare formulas ek jagah, common mistakes aur quiz.

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∑ Formulas ✎ practice Qs 🎯 Quiz

In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)

12.1IntroductionभूमिकाIntroduction
12.2Surface Area of a Combination of Solidsठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफलSolids ke combination ka surface area
12.3Volume of a Combination of Solidsठोसों के संयोजन का आयतनSolids ke combination ka volume
★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
🎯Quizक्विज़Quiz

12.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Real objects are often combinations of basic solids: an ice-cream cone with a scoop on top, a capsule, a tent, a pencil. To find how much material covers them (surface area) or how much they hold (volume), we break them into the basic solids we already know.असली वस्तुएँ अक्सर मूल ठोसों का संयोजन होती हैं: ऊपर स्कूप वाली आइसक्रीम कोन, कैप्सूल, तंबू, पेंसिल। उन्हें ढकने वाली सामग्री (पृष्ठीय क्षेत्रफल) या उनकी धारिता (आयतन) ज्ञात करने के लिए हम उन्हें जाने-पहचाने मूल ठोसों में तोड़ते हैं।Asli cheezein aksar basic solids ka combination hoti hain: upar scoop wali ice-cream cone, capsule, tent, pencil. Unhe dhakne wala material (surface area) ya unki capacity (volume) nikalne ke liye hum unhe jaane-pehchaane basic solids mein todte hain.

\text{Cylinder: } CSA = 2\pi rh, \;\; TSA = 2\pi r(r + h), \;\; V = \pi r^2 h\text{बेलन: } CSA = 2\pi rh, \;\; TSA = 2\pi r(r + h), \;\; V = \pi r^2 h\text{Cylinder: } CSA = 2\pi rh, \;\; TSA = 2\pi r(r + h), \;\; V = \pi r^2 h

\text{Cone: } CSA = \pi r l, \;\; l = \sqrt{r^2 + h^2}, \;\; V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{शंकु: } CSA = \pi r l, \;\; l = \sqrt{r^2 + h^2}, \;\; V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{Cone: } CSA = \pi r l, \;\; l = \sqrt{r^2 + h^2}, \;\; V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h

\text{Sphere: } 4\pi r^2, \;\; V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \qquad \text{Hemisphere: } CSA = 2\pi r^2, \;\; TSA = 3\pi r^2, \;\; V = \tfrac{2}{3}\pi r^3\text{गोला: } 4\pi r^2, \;\; V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \qquad \text{अर्धगोला: } CSA = 2\pi r^2, \;\; TSA = 3\pi r^2, \;\; V = \tfrac{2}{3}\pi r^3\text{Sphere: } 4\pi r^2, \;\; V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \qquad \text{Hemisphere: } CSA = 2\pi r^2, \;\; TSA = 3\pi r^2, \;\; V = \tfrac{2}{3}\pi r^3

\text{Cuboid: } TSA = 2(lb + bh + hl), \; V = lbh \qquad \text{Cube: } TSA = 6a^2, \; V = a^3\text{घनाभ: } TSA = 2(lb + bh + hl), \; V = lbh \qquad \text{घन: } TSA = 6a^2, \; V = a^3\text{Cuboid: } TSA = 2(lb + bh + hl), \; V = lbh \qquad \text{Cube: } TSA = 6a^2, \; V = a^3

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12.2Surface Area of a Combination of Solidsठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफलSolids ke combination ka surface area

The golden rule for surface areaAdd only the surfaces you can see and touch from outside. Where two solids are joined, the joining faces are hidden, so leave them out. That is why we usually add curved surface areas, not total surface areas.पृष्ठीय क्षेत्रफल का सुनहरा नियमकेवल वही पृष्ठ जोड़िए जो बाहर से दिखते और छुए जा सकते हैं। जहाँ दो ठोस जुड़ते हैं, वहाँ के फलक छिप जाते हैं, इसलिए उन्हें छोड़ दीजिए। इसी कारण हम आमतौर पर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ते हैं, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं।Surface area ka golden ruleSirf wahi surfaces jodiye jo bahar se dikhte aur chhue ja sakte hain. Jahan do solids judte hain, wahan ke faces chhup jaate hain, isliye unhe chhod dijiye. Isi wajah se hum aam taur par curved surface areas jodte hain, total surface areas nahi.

Example 1A toy is a cone of radius 7 cm and height 24 cm standing on a hemisphere of the same radius. Find its total surface area. (π = 22/7)उदाहरण 1एक खिलौना 7 cm त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई वाला शंकु है जो समान त्रिज्या के अर्धगोले पर लगा है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 1Ek toy 7 cm radius aur 24 cm height wala cone hai jo same radius ke hemisphere par laga hai. Iska total surface area nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)

l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25
\text{SA} = 2\pi r^2 + \pi r l = \pi r(2r + l) = \frac{22}{7} \times 7 \times (14 + 25) = 22 \times 39

✔ 858 cm²

Example 2A capsule is a cylinder with a hemisphere at each end. The radius is 3 mm and the cylindrical part is 10 mm long. Find its surface area. (π = 22/7)उदाहरण 2एक कैप्सूल ऐसा बेलन है जिसके दोनों सिरों पर अर्धगोले हैं। त्रिज्या 3 mm है और बेलनाकार भाग 10 mm लंबा है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 2Ek capsule aisa cylinder hai jiske dono siron par hemispheres hain. Radius 3 mm hai aur cylinder wala hissa 10 mm lamba hai. Iska surface area nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

Two hemispheres together make one full sphere.दो अर्धगोले मिलकर एक पूरा गोला बनाते हैं।Do hemispheres milkar ek poora sphere banate hain.
\text{SA} = 2\pi rh + 4\pi r^2 = 2\pi(3)(10) + 4\pi(9) = 96\pi = \frac{2112}{7}

✔ ≈ 301.71 mm²

Example 3A tent is a cylinder of radius 7 m and height 3 m with a conical top of slant height 25 m. How much canvas is needed (no floor)? (π = 22/7)उदाहरण 3एक तंबू 7 m त्रिज्या और 3 m ऊँचाई वाला बेलन है जिस पर 25 m तिर्यक ऊँचाई वाला शंक्वाकार शीर्ष है। कितना कैनवास चाहिए (फ़र्श नहीं)? (π = 22/7)Example 3Ek tent 7 m radius aur 3 m height wala cylinder hai jis par 25 m slant height wala cone ka top hai. Kitna canvas chahiye (floor nahi)? (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

2\pi rh + \pi rl = \pi r(2h + l) = \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 25) = 22 \times 31

✔ 682 m²

Example 4A hemisphere of radius 3.5 cm is scooped out of one face of a cube of edge 10 cm. Find the total surface area of the remaining solid. (π = 22/7)उदाहरण 410 cm कोर वाले घन के एक फलक से 3.5 cm त्रिज्या का अर्धगोला खोदकर निकाला गया है। बचे हुए ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 410 cm edge wale cube ke ek face se 3.5 cm radius ka hemisphere khodkar nikala gaya hai. Bache hue solid ka total surface area nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

A circle of area \pi r^2 is removed from the face, but the inside of the hollow (2\pi r^2) is added.फलक से \pi r^2 क्षेत्रफल का वृत्त हट जाता है, पर खोखले भाग की भीतरी सतह (2\pi r^2) जुड़ जाती है।Face se \pi r^2 area ka circle hat jaata hai, par khokhle hisse ki andar ki surface (2\pi r^2) jud jaati hai.
6a^2 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = 600 + \pi r^2 = 600 + \frac{22}{7} \times 12.25 = 600 + 38.5

✔ 638.5 cm²

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12.3Volume of a Combination of Solidsठोसों के संयोजन का आयतनSolids ke combination ka volume

For volume there are no hidden faces to worry about: just add the volumes of the parts (or subtract a part that is removed).आयतन में छिपे फलकों की चिंता नहीं: बस भागों के आयतन जोड़िए (या हटाए गए भाग का आयतन घटाइए)।Volume mein chhupe faces ki chinta nahi: bas parts ke volumes jodiye (ya hataye gaye part ka volume ghataiye).

Example 5Find the volume of the toy in Example 1. (π = 22/7)उदाहरण 5उदाहरण 1 के खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 5Example 1 ke toy ka volume nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

V = \tfrac{2}{3}\pi r^3 + \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = \tfrac{1}{3}\pi r^2(2r + h) = \tfrac{1}{3} \times \tfrac{22}{7} \times 49 \times 38 = \tfrac{5852}{3}

✔ ≈ 1950.67 cm³

Example 6Find the volume of the capsule in Example 2. (π = 22/7)उदाहरण 6उदाहरण 2 के कैप्सूल का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 6Example 2 ke capsule ka volume nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

V = \pi r^2 h + \tfrac{4}{3}\pi r^3 = 90\pi + 36\pi = 126\pi = 126 \times \tfrac{22}{7}

✔ 396 mm³

Example 7A solid is a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm with a cone of the same radius and height 24 cm on top. Find its volume. (π = 22/7)उदाहरण 7एक ठोस 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाला बेलन है जिसके ऊपर समान त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई का शंकु है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 7Ek solid 7 cm radius aur 10 cm height wala cylinder hai jiske upar same radius aur 24 cm height ka cone hai. Iska volume nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

V = \pi r^2 \left(10 + \tfrac{24}{3}\right) = 154 \times 18

✔ 2772 cm³

Example 8Find the volume of the cube left in Example 4. (π = 22/7)उदाहरण 8उदाहरण 4 में बचे घन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Example 8Example 4 mein bache cube ka volume nikaliye. (π = 22/7)

Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)

10^3 - \tfrac{2}{3} \times \tfrac{22}{7} \times (3.5)^3 = 1000 - 89.83

✔ ≈ 910.17 cm³

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

Surface area: add only the outside surfaces; skip the joined faces.पृष्ठीय क्षेत्रफल: केवल बाहरी पृष्ठ जोड़िए; जुड़े फलक छोड़िए।Surface area: sirf bahar ke surfaces jodiye; jude faces chhodiye.
Volume: add the parts, subtract what is removed.आयतन: भाग जोड़िए, हटाया गया घटाइए।Volume: parts jodiye, hataya gaya ghataiye.
Slant height of a cone: l = \sqrt{r^2 + h^2}.शंकु की तिर्यक ऊँचाई: l = \sqrt{r^2 + h^2}।Cone ki slant height: l = \sqrt{r^2 + h^2}.
Hemisphere: CSA 2\pi r^2, TSA 3\pi r^2, volume \frac{2}{3}\pi r^3.अर्धगोला: CSA 2\pi r^2, TSA 3\pi r^2, आयतन \frac{2}{3}\pi r^3।Hemisphere: CSA 2\pi r^2, TSA 3\pi r^2, volume \frac{2}{3}\pi r^3.
Cone volume = ⅓ of the cylinder with the same base and height.शंकु का आयतन = समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का ⅓।Cone ka volume = same base aur height wale cylinder ka ⅓.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

Adding total surface areas of all parts — the joined faces get counted wrongly.सभी भागों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ देना — जुड़े फलक गलत गिने जाते हैं।Saare parts ke total surface areas jod dena — jude faces galat gine jaate hain.
Using the height h instead of the slant height l in \pi r l.\pi r l में तिर्यक ऊँचाई l की जगह ऊँचाई h लेना।\pi r l mein slant height l ki jagah height h lena.
Using the diameter as the radius.व्यास को त्रिज्या मान लेना।Diameter ko radius maan lena.
Mixing units (cm and m) or writing volume in cm².इकाइयाँ (cm और m) मिलाना या आयतन को cm² में लिखना।Units (cm aur m) milana ya volume ko cm² mein likhna.
Forgetting the ⅓ in the volume of a cone.शंकु के आयतन में ⅓ भूल जाना।Cone ke volume mein ⅓ bhool jaana.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. Find the volume of a hemisphere of radius 21 cm. (π = 22/7)21 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)21 cm radius wale hemisphere ka volume nikaliye. (π = 22/7)

\tfrac{2}{3} \times \tfrac{22}{7} \times 21^3 = 19404

✔ 19404 cm³

Q2. Find the curved surface area of a cone of radius 7 cm and height 24 cm. (π = 22/7)7 cm त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)7 cm radius aur 24 cm height wale cone ka curved surface area nikaliye. (π = 22/7)

l = 25, \quad \pi r l = \tfrac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550

✔ 550 cm²

Q3. An ice-cream cone (radius 3 cm, height 4 cm) is filled and topped with a hemisphere of ice-cream of the same radius. Find the volume of ice-cream. (π = 22/7)एक आइसक्रीम कोन (त्रिज्या 3 cm, ऊँचाई 4 cm) भरा हुआ है और ऊपर समान त्रिज्या का अर्धगोलाकार आइसक्रीम है। आइसक्रीम का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Ek ice-cream cone (radius 3 cm, height 4 cm) bhara hua hai aur upar same radius ka hemisphere jaisa ice-cream hai. Ice-cream ka volume nikaliye. (π = 22/7)

\tfrac{1}{3}\pi r^2 h + \tfrac{2}{3}\pi r^3 = \tfrac{1}{3}\pi \times 9 \times (4 + 6) = 30\pi

✔ 30\pi ≈ 94.29 cm³

Q4. Find the total surface area of a solid hemisphere of radius 7 cm. (π = 22/7)7 cm त्रिज्या वाले ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)7 cm radius wale solid hemisphere ka total surface area nikaliye. (π = 22/7)

3\pi r^2 = 3 \times \tfrac{22}{7} \times 49 = 462

✔ 462 cm²

Q5. A cylinder and a cone have the same radius and the same height. Find the ratio of their volumes.एक बेलन और एक शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।Ek cylinder aur ek cone ki radius aur height same hain. Unke volumes ka ratio nikaliye.

\pi r^2 h : \tfrac{1}{3}\pi r^2 h = 3 : 1

✔ 3 : 1

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The curved surface area of a hemisphere of radius r is:त्रिज्या r वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:Radius r wale hemisphere ka curved surface area hai:

2. The slant height of a cone with r = 6 and h = 8 is:r = 6 और h = 8 वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई है:r = 6 aur h = 8 wale cone ki slant height hai:

3. For the surface area of a cone placed on a hemisphere, we add:अर्धगोले पर रखे शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए हम जोड़ते हैं:Hemisphere par rakhe cone ke surface area ke liye hum jodte hain:

4. The volume of a cone is what fraction of a cylinder with the same base and height?शंकु का आयतन, समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन का कौन-सा भाग है?Cone ka volume, same base aur height wale cylinder ka kaunsa hissa hai?

5. Two hemispheres at the ends of a capsule together have the surface area of:कैप्सूल के सिरों के दो अर्धगोले मिलकर किसके बराबर पृष्ठीय क्षेत्रफल रखते हैं:Capsule ke siron ke do hemispheres milkar kiske barabar surface area rakhte hain:

6. The volume of a sphere of radius 3 cm is:3 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन है:3 cm radius wale sphere ka volume hai:

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.