Ch 3Pair of Linear Equations in Two Variablesदो चर वाले रैखिक समीकरण युग्मPair of Linear Equations in Two Variables
Two linear equations together: what their graphs tell you (meet, parallel or same line), the ratio test for consistency, and the substitution and elimination methods — with our own word problems, common mistakes and a quiz.दो रैखिक समीकरण एक साथ: उनके ग्राफ़ क्या बताते हैं (प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती रेखाएँ), संगतता की अनुपात जाँच, तथा प्रतिस्थापन और विलोपन विधियाँ — हमारे अपने शब्द प्रश्न, आम गलतियाँ और क्विज़।Do linear equations ek saath: unke graph kya batate hain (milti hain, parallel ya same line), consistency ka ratio test, aur substitution aur elimination methods — humare apne word problems, common mistakes aur quiz.
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Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 7 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 7 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 7 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna haiIn this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
- 3.1IntroductionभूमिकाIntroduction
- 3.2Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equationsरैखिक समीकरण युग्म को हल करने की ग्राफ़ीय विधिGraph se hal karne ka tareeka
- 3.3Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equationsरैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँAlgebra se hal karne ke tareeke
- ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
- ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
- ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
- 🎯Quizक्विज़Quiz
3.1IntroductionभूमिकाIntroduction
A linear equation in two variables has the form ax + by + c = 0 (a, b not both zero). Its graph is a straight line, and every point on the line is a solution. Two such equations in the same x and y form a pair of linear equations. A solution of the pair is a pair (x, y) that satisfies both equations.दो चर वाले रैखिक समीकरण का रूप ax + by + c = 0 है (a, b दोनों शून्य नहीं)। इसका ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, और रेखा का हर बिंदु एक हल है। समान x और y में ऐसे दो समीकरण मिलकर रैखिक समीकरण युग्म बनाते हैं। युग्म का हल वह (x, y) है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करे।Do variables wali linear equation ka roop ax + by + c = 0 hai (a, b dono zero nahi). Iska graph ek seedhi line hai, aur line ka har point ek solution hai. Same x aur y mein aisi do equations milkar pair of linear equations banati hain. Pair ka solution woh (x, y) hai jo dono equations ko satisfy kare.
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3.2Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equationsरैखिक समीकरण युग्म को हल करने की ग्राफ़ीय विधिGraph se hal karne ka tareeka
Draw both lines on the same graph. Only three things can happen:दोनों रेखाएँ एक ही ग्राफ़ पर खींचिए। केवल तीन बातें हो सकती हैं:Dono lines ek hi graph par banaiye. Sirf teen cheezein ho sakti hain:
- The lines intersect at one point → exactly one solution (the pair is consistent).रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं → ठीक एक हल (युग्म संगत है)।Lines ek point par intersect karti hain → theek ek solution (pair consistent hai).
- The lines are parallel → no solution (the pair is inconsistent).रेखाएँ समांतर हैं → कोई हल नहीं (युग्म असंगत है)।Lines parallel hain → koi solution nahi (pair inconsistent hai).
- The lines coincide (same line) → infinitely many solutions (the pair is dependent and consistent).रेखाएँ संपाती हैं (एक ही रेखा) → अपरिमित रूप से अनेक हल (युग्म आश्रित और संगत है)।Lines coincide karti hain (ek hi line) → infinitely many solutions (pair dependent aur consistent hai).
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- \text{(i) } \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{6} = \tfrac{-7}{-14} = \tfrac{1}{2}
- \text{(ii) } \tfrac{1}{3} = \tfrac{-2}{-6} = \tfrac{1}{3}, \;\; \tfrac{c_1}{c_2} = \tfrac{-3}{-5} = \tfrac{3}{5} \neq \tfrac{1}{3}
- \text{(iii) } \tfrac{2}{3} \neq \tfrac{1}{-2}
✔ (i) coincident — infinitely many solutions (ii) parallel — no solution (iii) intersecting — one solution (it is x = 2, y = 1).(i) संपाती — अपरिमित रूप से अनेक हल (ii) समांतर — कोई हल नहीं (iii) प्रतिच्छेदी — एक हल (यह x = 2, y = 1 है)।(i) coincident — infinitely many solutions (ii) parallel — koi solution nahi (iii) intersecting — ek solution (yeh x = 2, y = 1 hai).
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- No solution means parallel lines: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.कोई हल नहीं = समांतर रेखाएँ: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}।Koi solution nahi = parallel lines: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \;\Rightarrow\; k = 6, \qquad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-1} = 5 \neq 2 \;\checkmark
✔ k = 6
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3.3Algebraic Methods of Solving a Pair of Linear Equationsरैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँAlgebra se hal karne ke tareeke
A graph can be slow and gives non-integer answers only roughly, so we use algebra.ग्राफ़ धीमा हो सकता है और भिन्नात्मक उत्तर केवल लगभग देता है, इसलिए हम बीजगणित का प्रयोग करते हैं।Graph slow ho sakta hai aur fraction wale answers sirf lagbhag deta hai, isliye hum algebra use karte hain.
3.3.1Substitution Methodप्रतिस्थापन विधिSubstitution method
Steps: (1) From one equation, write one variable in terms of the other, e.g. y = \dots (2) Put it into the other equation and solve for the remaining variable. (3) Put that value back to get the first variable.चरण: (1) एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखिए, जैसे y = \dots (2) इसे दूसरे समीकरण में रखकर बचा हुआ चर ज्ञात कीजिए। (3) वह मान वापस रखकर पहला चर ज्ञात कीजिए।Steps: (1) Ek equation se ek variable ko doosre ke terms mein likhiye, jaise y = \dots (2) Ise doosri equation mein rakhkar bacha hua variable nikaliye. (3) Woh value wapas rakhkar pehla variable nikaliye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- x = 8 + y
- (8 + y) + y = 36 \;\Rightarrow\; 2y = 28 \;\Rightarrow\; y = 14
- x = 8 + 14 = 22
✔ x = 22, y = 14 (check: 22 + 14 = 36, 22 − 14 = 8 ✓)x = 22, y = 14 (जाँच: 22 + 14 = 36, 22 − 14 = 8 ✓)x = 22, y = 14 (check: 22 + 14 = 36, 22 − 14 = 8 ✓)
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- Let a pen cost ₹p and a notebook ₹n.मान लीजिए एक पेन ₹p का और एक कॉपी ₹n की है।Maan lijiye ek pen ₹p ka aur ek notebook ₹n ki hai.2p + 3n = 80, \qquad p + 2n = 50 \Rightarrow p = 50 - 2n
- 2(50 - 2n) + 3n = 80 \;\Rightarrow\; 100 - n = 80 \;\Rightarrow\; n = 20
- p = 50 - 40 = 10
✔ Pen ₹10, notebook ₹20.पेन ₹10, कॉपी ₹20।Pen ₹10, notebook ₹20.
3.3.2Elimination Methodविलोपन विधिElimination method
Steps: (1) Multiply the equations so that one variable has the same coefficient (up to sign) in both. (2) Add or subtract to remove that variable. (3) Solve, then substitute back.चरण: (1) समीकरणों को ऐसी संख्याओं से गुणा कीजिए कि किसी एक चर का गुणांक दोनों में बराबर (चिह्न छोड़कर) हो जाए। (2) जोड़कर या घटाकर उस चर को हटा दीजिए। (3) हल कीजिए, फिर मान वापस रखिए।Steps: (1) Equations ko aise numbers se guna kijiye ki kisi ek variable ka coefficient dono mein barabar (sign chhodkar) ho jaye. (2) Jodkar ya ghatakar us variable ko hata dijiye. (3) Hal kijiye, phir value wapas rakhiye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- Multiply the first equation by 2 so that y has coefficient 2 in both.पहले समीकरण को 2 से गुणा कीजिए ताकि दोनों में y का गुणांक 2 हो।Pehli equation ko 2 se guna kijiye taaki dono mein y ka coefficient 2 ho.8x + 2y = 300
- (8x + 2y) - (3x + 2y) = 300 - 150 \;\Rightarrow\; 5x = 150 \;\Rightarrow\; x = 30
- 4(30) + y = 150 \;\Rightarrow\; y = 30
✔ x = 30, y = 30
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Let the tens digit be x and the units digit be y. The number is 10x + y; reversed it is 10y + x.मान लीजिए दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। संख्या 10x + y है; उलटने पर 10y + x।Maan lijiye tens digit x aur units digit y hai. Number 10x + y hai; ulatne par 10y + x.x + y = 9, \qquad (10y + x) - (10x + y) = 27 \Rightarrow y - x = 3
- \text{adding: } 2y = 12 \Rightarrow y = 6, \; x = 3\text{जोड़ने पर: } 2y = 12 \Rightarrow y = 6, \; x = 3\text{jodne par: } 2y = 12 \Rightarrow y = 6, \; x = 3
✔ The number is 36 (reversed: 63 = 36 + 27 ✓).संख्या 36 है (उलटने पर: 63 = 36 + 27 ✓)।Number 36 hai (ulatne par: 63 = 36 + 27 ✓).
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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas
- Intersecting: \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} → one solution.प्रतिच्छेदी: \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} → एक हल।Intersecting: \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} → ek solution.
- Coincident: all three ratios equal → infinitely many solutions.संपाती: तीनों अनुपात बराबर → अपरिमित रूप से अनेक हल।Coincident: teeno ratios barabar → infinitely many solutions.
- Parallel: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} → no solution.समांतर: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} → कोई हल नहीं।Parallel: \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} → koi solution nahi.
- Consistent = has at least one solution; inconsistent = no solution.संगत = कम से कम एक हल; असंगत = कोई हल नहीं।Consistent = kam se kam ek solution; inconsistent = koi solution nahi.
- Always check your answer in both original equations.अपना उत्तर हमेशा दोनों मूल समीकरणों में जाँचिए।Apna answer hamesha dono original equations mein check kijiye.
⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes
- Using the ratio test before writing both equations in the form ax + by + c = 0 — signs of c go wrong.दोनों समीकरणों को ax + by + c = 0 रूप में लिखे बिना अनुपात जाँच करना — c के चिह्न गलत हो जाते हैं।Dono equations ko ax + by + c = 0 roop mein likhe bina ratio test karna — c ke signs galat ho jaate hain.
- Multiplying only one side of an equation in elimination.विलोपन में समीकरण के केवल एक पक्ष को गुणा करना।Elimination mein equation ki sirf ek side ko guna karna.
- Subtracting equations but forgetting to change the signs of every term.समीकरण घटाते समय हर पद का चिह्न बदलना भूल जाना।Equations ghatate waqt har term ka sign badalna bhool jaana.
- In word problems, not saying what x and y stand for — write "Let …" first.शब्द प्रश्नों में x और y क्या हैं, यह न लिखना — पहले "मान लीजिए …" लिखिए।Word problems mein x aur y kya hain, yeh na likhna — pehle "Maan lijiye …" likhiye.
- Stopping after finding one variable — find both.एक चर ज्ञात करके रुक जाना — दोनों ज्ञात कीजिए।Ek variable nikalkar ruk jaana — dono nikaliye.
✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions
5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.
Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q
Q1. Solve by substitution: x + y = 25, 5x + 2y = 80.प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: x + y = 25, 5x + 2y = 80।Substitution se hal kijiye: x + y = 25, 5x + 2y = 80.
- y = 25 - x \Rightarrow 5x + 2(25 - x) = 80 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10
✔ x = 10, y = 15
Q2. Solve by elimination: 2x + y = 5, 3x - 2y = 4.विलोपन विधि से हल कीजिए: 2x + y = 5, 3x - 2y = 4।Elimination se hal kijiye: 2x + y = 5, 3x - 2y = 4.
- 4x + 2y = 10 \;\text{(first} \times 2\text{)}4x + 2y = 10 \;\text{(पहला} \times 2\text{)}4x + 2y = 10 \;\text{(pehla} \times 2\text{)}
- (4x + 2y) + (3x - 2y) = 14 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2, \; y = 1
✔ x = 2, y = 1
Q3. Find k so that 2x + 3y = 7 and kx + 9y = 21 have infinitely many solutions.k ज्ञात कीजिए ताकि 2x + 3y = 7 और kx + 9y = 21 के अपरिमित रूप से अनेक हल हों।k nikaliye taaki 2x + 3y = 7 aur kx + 9y = 21 ke infinitely many solutions hon.
- \frac{2}{k} = \frac{3}{9} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = 6
✔ k = 6
Q4. Is the pair 3x - y = 2, 6x - 2y = 7 consistent?क्या युग्म 3x - y = 2, 6x - 2y = 7 संगत है?Kya pair 3x - y = 2, 6x - 2y = 7 consistent hai?
- \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7} \neq \frac{1}{2}
✔ No — the lines are parallel, so the pair is inconsistent.नहीं — रेखाएँ समांतर हैं, अतः युग्म असंगत है।Nahi — lines parallel hain, isliye pair inconsistent hai.
Q5. A shop sells 25 items, some at ₹5 and some at ₹2, for ₹80 in total. How many of each?एक दुकान कुछ वस्तुएँ ₹5 और कुछ ₹2 में बेचकर कुल 25 वस्तुओं से ₹80 पाती है। प्रत्येक प्रकार की कितनी वस्तुएँ हैं?Ek dukaan kuch items ₹5 aur kuch ₹2 mein bechkar kul 25 items se ₹80 kamaati hai. Har type ke kitne items hain?
- Let x items cost ₹5 each and y items ₹2 each.मान लीजिए x वस्तुएँ ₹5 की और y वस्तुएँ ₹2 की हैं।Maan lijiye x items ₹5 ke aur y items ₹2 ke hain.x + y = 25, \quad 5x + 2y = 80 \Rightarrow x = 10, \; y = 15
✔ 10 items at ₹5 and 15 items at ₹2 (check: 50 + 30 = 80 ✓).₹5 वाली 10 और ₹2 वाली 15 वस्तुएँ (जाँच: 50 + 30 = 80 ✓)।₹5 wale 10 aur ₹2 wale 15 items (check: 50 + 30 = 80 ✓).
🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions
Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.
1. The lines of a pair of linear equations are parallel. The pair has:एक रैखिक समीकरण युग्म की रेखाएँ समांतर हैं। युग्म के:Pair of linear equations ki lines parallel hain. Pair ke:
2. The pair x + 2y = 4, 2x + 4y = 8 has:युग्म x + 2y = 4, 2x + 4y = 8 के:Pair x + 2y = 4, 2x + 4y = 8 ke:
3. Solve x + y = 10, x - y = 2.हल कीजिए x + y = 10, x - y = 2।Hal kijiye x + y = 10, x - y = 2.
4. For which k do 3x + ky = 9 and 6x + 4y = 18 coincide?k के किस मान के लिए 3x + ky = 9 और 6x + 4y = 18 संपाती हैं?k ki kis value ke liye 3x + ky = 9 aur 6x + 4y = 18 coincide karti hain?
5. A pair of linear equations that has no solution is called:जिस रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं, वह कहलाता है:Jis pair of linear equations ka koi solution nahi, woh kehlata hai:
6. The sum of two numbers is 20 and their difference is 4. The larger number is:दो संख्याओं का योग 20 और अंतर 4 है। बड़ी संख्या है:Do numbers ka sum 20 aur difference 4 hai. Bada number hai:
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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.