Ch 6Trianglesत्रिभुजTriangles

Similar figures, the Basic Proportionality Theorem (Thales) and its converse, and the AAA, AA, SSS and SAS similarity criteria — with our own solved examples (including a shadow problem), common mistakes and a quiz.समरूप आकृतियाँ, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स) और उसका विलोम, तथा समरूपता की AAA, AA, SSS और SAS कसौटियाँ — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण (छाया वाला प्रश्न भी), आम गलतियाँ और क्विज़।Similar figures, Basic Proportionality Theorem (Thales) aur uska converse, aur similarity ke AAA, AA, SSS aur SAS criteria — humare apne solved examples (shadow wala sawaal bhi), common mistakes aur quiz.

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6.1IntroductionभूमिकाIntroduction

Two figures that have the same shape but not necessarily the same size are called similar. A photo and its enlargement, a map and the real land, a model plane and the real plane are similar. In this chapter we study similar triangles and use them to find lengths we cannot measure directly.जिन दो आकृतियों का आकार (shape) समान हो, पर माप (size) समान होना ज़रूरी न हो, वे समरूप कहलाती हैं। फ़ोटो और उसका बड़ा प्रिंट, नक्शा और असली ज़मीन, मॉडल विमान और असली विमान समरूप हैं। इस अध्याय में हम समरूप त्रिभुजों को पढ़ते हैं और उनसे वे लंबाइयाँ ज्ञात करते हैं जो सीधे मापी नहीं जा सकतीं।Jin do figures ka shape same ho, par size same hona zaroori na ho, woh similar kehlati hain. Photo aur uska bada print, map aur asli zameen, model plane aur asli plane similar hain. Is chapter mein hum similar triangles padhte hain aur unse woh lengths nikalte hain jo seedhe naapi nahi ja saktin.HI

6.2Similar Figuresसमरूप आकृतियाँSimilar Figures

• All circles are similar; all squares are similar; all equilateral triangles are similar.सभी वृत्त समरूप हैं; सभी वर्ग समरूप हैं; सभी समबाहु त्रिभुज समरूप हैं।Saare circles similar hain; saare squares similar hain; saare equilateral triangles similar hain.
• Two polygons with the same number of sides are similar if (i) their corresponding angles are equal and (ii) their corresponding sides are in the same ratio. Both conditions are needed (a square and a rectangle have equal angles but are not similar).समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों और (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। दोनों शर्तें ज़रूरी हैं (वर्ग और आयत के कोण बराबर हैं, पर वे समरूप नहीं)।Same number of sides wale do polygons similar hote hain agar (i) unke corresponding angles barabar hon aur (ii) unki corresponding sides same ratio mein hon. Dono conditions zaroori hain (square aur rectangle ke angles barabar hain, par woh similar nahi).
• Congruent figures are always similar (ratio 1), but similar figures need not be congruent.सर्वांगसम आकृतियाँ हमेशा समरूप होती हैं (अनुपात 1), पर समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना ज़रूरी नहीं।Congruent figures hamesha similar hoti hain (ratio 1), par similar figures ka congruent hona zaroori nahi.

6.3Similarity of Trianglesत्रिभुजों की समरूपताTriangles ki similarity

\triangle ABC \sim \triangle PQR means \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R and \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP}. The order of letters tells which vertices correspond.\triangle ABC \sim \triangle PQR का अर्थ है \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R और \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP}। अक्षरों का क्रम बताता है कि कौन-से शीर्ष संगत हैं।\triangle ABC \sim \triangle PQR ka matlab hai \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R aur \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP}. Letters ka order batata hai ki kaunse vertices corresponding hain.HI

6.4Criteria for Similarity of Trianglesत्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँSimilarity ke criteria

• AAA: if the corresponding angles of two triangles are equal, the triangles are similar. Since the angles add to 180°, two equal angles are enough — this is the AA criterion.AAA: यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। कोणों का योग 180° होने से दो कोण बराबर होना ही काफ़ी है — यह AA कसौटी है।AAA: agar do triangles ke corresponding angles barabar hon, to triangles similar hote hain. Angles ka sum 180° hone se do angles barabar hona hi kaafi hai — yeh AA criterion hai.
• SSS: if the corresponding sides are in the same ratio, the triangles are similar.SSS: यदि संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।SSS: agar corresponding sides same ratio mein hon, to triangles similar hote hain.
• SAS: if one angle of a triangle equals one angle of the other and the sides including these angles are in the same ratio, the triangles are similar.SAS: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।SAS: agar ek triangle ka ek angle doosre ke ek angle ke barabar ho aur in angles ko banane wali sides same ratio mein hon, to triangles similar hote hain.

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.